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1、实验一Mathematica 软件简介实验目的:1.掌握软件的基本功能 ,为数学实验提供工具。2.掌握用 Mathematica软件作函数图形的语句或作图方法。实验过程与要求:教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。实验的内容: Mathematica 系统是目前世界上应用最广泛的符号计算系统，它是由美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram 负责研制的，能够完成符号运算，数学图形绘制，甚至动画制作等多种操作.这里主要介绍Windows 环境下的4. 1 版本在高等数学等领域的应用，其它版本类似. 一、 Mathematica软件功能简介（1
2、）作函数的图像：用作图程序，当输入被作函数时，计算机直接作出该函数的图像. （2）数值计算：可简单地计算函数值，积分值等，可求微分方程的数值解等. （3）符号运算： 可计算函数的极限，导数， 不定积分， 求微分方程的通解等.在这以前，计算机只能作数值计算，不能作符号运算. 二、 Mathematica的启动与基本操作（1）启动：系统安装好以后，在 Windows98 中，用鼠标点击开始程序Mathematica 4.1Mathematica 4.1 菜单即可进入系统.计算机屏幕出现Mathematica 的主工作窗口 （图 1） . （2）基本操作：进入系统后，出现Mathematica 的主
3、工作窗口，即可键入指令.如键入1+2,然后同时按下Shift+Enter ，即可得到结果 .窗口显示如图2，其中 In1 为第一输入行的标志， Out1 为第一输出行的标志（注意：输入行的标志In1 ：=， In2 ：=，, ；输出行的标志 Out1= ，Out2= ，, 均是计算机自动给出的）.如果输入的语句和表达式不能在一行显示完，可以按Enter 键后在下一行继续输入，但一个命令或表达式在没写完需换行则要加“ ” ，在后面接着按Enter 后继续输入 . 图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
4、 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 图 2三、 Mathematica 中的数、运算符、变量与表达式1数Mathematica 的数据分为两大类：一类是我们平常写出的数，叫普通数，另一类是系统内部的常数，有固定的写法. Mathematica 中的普通数有整数、有理数、实数、复数四种类型，见表1 表 1 类型描述实例特征说明整数Integer 33889 任意长度的精确数有理数Rational 27/79 化简过的分数实数Real 109.0 任意精确度的近似数复数Complex 12.0+2I 实部、虚部可为整数、有理数、实数Mathe
5、matica 的系统内部常数是指用特定的字符串表示的数学常数，如：Pi表示，E表示自然对数的底e， Degree表示角度制单位的度，I表示虚数单位i，Infinity表示. 要注意这些数书写时必须以大写字母开头. 2运算符(1)算术运算符+、-、* 、/、分别表示加、减，乘、除、乘方的运算，其中在不引起混淆的情况下乘法运算符“ *”也可省略不写，另外开方可以表示成分数指数，上述运算的优先顺序同数学运算完全一致 . (2)关系运算符= =、 ！=、 =、=分别表示等于、不等于、大于、大于等于、小于、小于等于. (3)逻辑运算符逻辑运算符及其意义见表2 表 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎
6、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 逻辑运算符名称实例意义！非!A 若 A 为真，则！ A 为假；若A 为假，则！ A 为真& 与A&B 当 A， B 均真时，则A&B为真；否则A&B为假| 或A|B 当 A，B 中有一为真，则A|B 为真；否则A|B 为假3变量Mathematica 中变量的名称是以小写字母（不能以数字开头）开头的字符或字符串，但不能有空格和标点符号,例如： abc 和 g2 均是合法的变量名.在 Mathematica 中，变量
7、即取即用，不需先说明变量的类型后再使用.在 Mathematica 中变量不仅可存放一个整数或复数，还可存放一个多项式或复杂的算式. 4表达式表达式是以变量、常量、运算符构成的式子、表、甚至是图形，例如3*x3-2* x+5 和 xPi-xx-Pi-x 中的“ -”是由键盘上的减号及大于号组成的，以后各节中不在说明. 变量的清除，当一个变量a 无用时，可以用命令Cleara加以清除，以免影响后面计算的结果 .注意在Mathematica 中，内部函数或命令都是以大写字母开头的标识符(字符或字符串). 四、用 Mathematica作算术运算与代数运算1算术运算进入系统后， 出现 Mathema
8、tica 的主工作窗口 （图 1） ，此时可以通过键盘输入要计算的表达式 ,再按 Shift+Enter 键得运算结果 . 实验 1计算80！. 解 在主工作窗口用户区输入80！ . 按下 Shift+Enter 键得运算结果（图3）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 图 3 实验 2 先求表达式)41(10532的值，再求该表达式的平方. 解 在主工作窗口用户区输入表达式3*52-10/(1+4) 后按下 S
9、hift+Enter 键得该表达式运算结果，然后输入%2 按下 Shift+Enter 键得该表达式平方运算结果（图4）. 其中 %代表上一输出结果，该例中指73；如果输入行的标志In1 ：=， In2 ：=，, ；输出行的标志Out1= ，Out2= ，, 代表的表达式是唯一的，则可将其写入以后的运算表达式中代表其对应的表达式参与运算.例如上例中求表达式的平方还可输入为In12或Out12 后按下 Shift+Enter 键得该表达式平方运算结果. 图 42代数运算Mathematica 的一个重要的功能是进行代数公式演算，即符号运算. 实验 3 设有多项式1232xxx和. (1)求二者的
10、和，差，积；(2)将二者的积分解因式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - (3)将二者的积展开成单项式的和. 解In1:= p1=x2-x-2Out1=-2-xIn2:= p2=x3-1Out2=1In3:= p1+p2Out3=-3-x+xIn4:= p1-p2Out4=-1-x+xIn5:= p1*p2 Out5= In6:=Factor p1*p2Out6= In7:=Expand p1* p2Out7=2+
11、x-x2-2 x3-x其中 Factor多项式 表示将其括号内的多项式分解因式；Expand多项式 表示将其括号内的多项式展开成按升幂排列的单项式之和的形式. 值得注意的是，上面提到的Factor多项式 和 Expand多项式 均是 Mathematica 系统中的函数，其中Factor 和 Expand 分别为其函数名（函数名的第一个字母必须大写）.事实上Mathematica 系统中含有丰富的函数，后面将结合具体内容介绍有关函数命令. 五、函数运算（一）常用函数Mathematica 系统中的数学函数是根据定义规则命名的.就大多数函数而言，其名字通常是英文单词的全写.对于一些非常通用的函数
12、，系统使用传统的缩写.下面给出一些常用函数的函数名及功能. 1.数值函数N x,k 求出表达式的近似值，其中k 为可选项，它指有效数字的位数Roundx 舍入取整Absx 取绝对值Max x1,x2, 取 x1,x2, 中的最大值Min x1,x2, 取 x1,x2, 中的最小值x+Iy复数 x+iyRez 复数 z 的实部Im z 复数 z 的虚部Absz 复数 z 的模Arg z 复数 z 的辐角PrimeQ n n 为素数时为真，否则为假Mod m,n m 被 n 除的正余数GCD n1,n2, n1,n2, 的最大公约数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
13、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - LCM n1,n2, n1,n2, 的最小公倍数Sqrtx 求平方根2基本初等函数Expx 以 e 为底的指数函数Loga,x 以 a 为底的对数函数Logx 以 e 为底的对数函数Sinx 正弦函数Cosx 余弦函数Tanx 正切函数Cotx 余切函数Secx 正割函数Cscx 余割函数ArcSin x 反正弦函数ArcCosx 反余弦函数ArcTanx 反正切函数ArcCot x 反余切函数使用 Mathematica 系统中的数学函数要注
14、意以下几点：（1）Mathematica 系统中的函数都以大写字母开头.如果用户输入的函数没有用大写字母开头， Mathematica 将不能识别，并提出警告信息；（2）Mathematica 系统中的函数的自变量都应放在方括号内；（3）这些函数的自变量可以是数值，也可以是算术表达式；（4）计算三角函数时，要注意使用弧度制，如果要使用角度制，不妨把角度制先乘以Degree 常数（ Degree=/180） ，转换为弧度制. 实验 4 求表达式 lg2+ln3 的值 . 解In1:=Log10,2+Log3 In2:=NLog10,2+Log3,6 Out2=1.3In3:=Log10.0,2+
15、Log3.Out3=1.3实验 4 中，对应于输入语句In1 ， 输出语句Out1 并没有给出lg2 及 ln3 的 “数值结果”，这是由于Mathematica 符号计算系统的 “对于只含有准确数的输入表达式也只进行完全准确的 运 算 并 输 出 相 应 的 准 确 结 果 ” 的 特 性 所 决 定 的 .在In2 中 用 数 值 转 换 函 数NLog10,2+Log3,6，将对表达式Log10,2+Log3 的运算转换成了计算结果具有6 位有效数字的实数形式运算，所以输出结果Out2=1.3.在 In3:=Log10.0,2+Log3.中，用实数 10.0 代替整数10，用实数 3.代
16、替整数3，这里 10.0 及 3.都是实数的表示法,两种表示可以任选其一 . 计算时欲得“数值结果”输入数时用实数形式. 实验 5 求 sin90o. 解In4:=Sin90Pi/180 （二）自定义函数1. 不带附加条件的自定义函数在 Mathematica 系统中， 所有的输入都是表达式，所有的操作都是调用转化规则对表达式求值 .一个函数就是一条规则，定义一个函数就是定义一条规则.定义一个一元函数的规则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - -
17、- - - - - - - 是: fx_ :=表达式其中表达式是以x 为自变量的， x_称为形式参数,f 是函数名，函数名的命名规则同变量名的命名规则 . 调用自定义函数fx_ ，只需用实在参数 （变量或数值等）代替其中的形式参数x_即可 . 在运行中，可用“fx_ :=.”清除函数fx_ 的定义，用Clearf清除所有以f 为函数名的函数定义 . 实验 6定义函数xxxxfsin2)(3，先分别求2, 1 .5, 1x时的函数值，再求)(2xf. 解In5:= fx_:= x3+2Sqrtx+Sin x In6:= f1. Out6=3.8In7:= f5.1 Out7=136In8:= f
18、NPi/2. Out8=7.3In9:= fx2 在 Out9 中，由于系统不知道变量x 的符号，所以没有对2x进行开方运算 . 2. 带附加条件的自定义函数在使用“ fx_ :=表达式”定义规则时，可以给规则附加条件，附加条件放在定义规则表达式后面，通过“/ ； ”与表达式连接. 规则的附加条件形式为：fx_ :=表达式 /；条件在调用上述规则时，实在参数必须满足附加条件，系统才调用规则. “附加条件”经常写成用关系运算符连接着的两个表达式，即关系表达式.用一个关系表达式只能表示一个条件，如表示多个条件的组合，必须用逻辑运算符将多个关系表达式组合到一起 . 实验 7 设有分段函数).100(
19、)2(),5 .1(),100(0ln0sin)(ffffexxexxxxexfx及求解In10:= fx_:=Exp xSin x/;x0)&( xE In13:= f-100.0 Out13=1.88372In14:= f1.5 Out14=0.40名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - In15:= f2.0 Out15=0.69In16:= f100.0 Out16=六、方程与方程组的解法Solve 是解方程或
20、方程组的函数，其格式为： Solveeqns,vars 其中 eqns 可以是单个方程， 也可以是方程组， 单个方程用 exp=0的形式（其中 exp 为关于未知元的表达式） ；方程组写成用大括号括起来的中间逗号分割的若干个单个方程的集合；vars 为未知元表，其形式为x1, x2, , ， xn. 实验 1 解方程0652xx. 解In17:=Solvex2-5x+6=0,x 其中方程中的等号应连输2 个“=”.实验 2 解方程050)5(2352xx. 解In18:=Solve5(2 x)-23(5x)-50=0,x Out18=x2 实验 3解方程组13122yxyx. 解In19:=S
21、olve x+y=1,3x2-y2=0, x,y 七、不等式与不等式组的解法在 Mathematica 系统中解不等式格式为： AlgebraInequalitySolve InequalitySolveineq, x 其 中 “ ” 为 键 盘 上 的 小 于 号 ， “ ” 为 数 字 键1的 左 侧 的 ，AlgebraInequalitySolve是装载程序包 , ineq 可以是单个不等式，也可以是不等式组，不等式组写成用大括号括起来的中间逗号分割的若干个单个不等式的集合. 注意前面简介的Mathematica 函数，都可以通过输入函数和适当的参数而直接使用，这些函数我们称之为系统的
22、内部函数.还有一些系统扩展的功能不是作为系统的内部函数的，而这些功能是以文件的形式存储在磁盘上的，要使用它们，必须用一定的方式来调用这些文件，这些文件我们称之为程序包.此处InequalitySolve及后面要学习的Rsolve 、FourierTrigSeries等都属于这种情况 . 实验 4 解不等式组0101222xxx. 解In20:= AlgebraInequalitySolve In21:=InequalitySolve x2-5x-60, x Out21= 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
23、整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 实验 5 解不等式3)3(12xx. 解In22:= 3, x Out23= 即不等式的解为 x)131(21.八、由递推式求数列的通项公式在 Mathematica 系统中由递推式求数列的通项公式格式为： DiscreteMathRSolve RSolveeqn, a1=k, an, n 其 中 “ ” 为 键 盘 上 的 小 于 号 ， “ ” 为 数 字 键1的 左 侧 的 ，DiscreteMathRSolve是装载程序包 ,eqn为递推式 , a1=k 为数列的第一项 . 实验 6 设.,
24、 1,11求数列的通项公式anaann解In24:=RGBColor1,0,0 表示画出的曲线为红色 . (2) 取值 Thickness t ( 厚度, 浓度) 决定画线的宽度 . t是一个介于0,1之间的数 , 且远远小于 1, 因为整个图形的宽度为1. 实验 10 作 y=sinx 在0,2 内的图像 , 线条厚度 t =0.02. 输入： PlotSinx,x,0,2Pi,PlotStyle-Thickness0.02 输出如图 7-7 12345-1-0.50.51图 7-7 (3) 取值 Dashing d1,d2, 决定画线的虚实 , 其中表 d1,d2, 确定线的虚实分段方式
25、, di(i=1,2,)的取值介于 0,1 之间. 实验 11作 y=sinx 在0,2 内的图像 , 线条用虚线 . 输入： PlotSinx,x,0,2Pi,PlotStyle-Dashing0.03,0.07 输出如图 7-8 12345-1-0.50.51图 7-8 实验 12 作 y=sinx和 y=cos x在0,2 内的图像 , 且两坐标轴上的单位比为1:1, 线条用蓝色虚线 . 输入：PlotSin x,Cosx, x,0,2Pi,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-RGBColor0,0,1,Dashing0.02,0.05 输出如图 7-9 名师
26、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 12345-1-0.50.51图 7-9 3）参数 DisplayFunction(显示函数 ) 该参数决定图形的显示与否, 当取值为 Identity 时, 图形不显示出来 . 当取值为 $DisplayFunction时恢复图形的显示 . 1、图形的组合显示函数Show Plot的作用可以同时在同一坐标系的同一区间内作出不同函数的图像, 但有时需要在同一坐标系的不同区间作出不同
27、函数的图像, 或者在同一坐标系作一个函数而要求函数的各个部分具有不同的形态（像分段函数）, 这个时候就需要使用 Show函数. 实验 13在同一坐标系中作出y=ex和 y=lnx的图像 , 并说明它们的图像关于直线 y=x 对称. 输入：a=PlotExpx,x,-2,2,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-RGBColor0,1,0, DisplayFunction-Identity b=PlotLogx,x,0.3,3,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-RGBColor1,0,0, DisplayFunction-Identity
28、c=Plotx,x,-2,2,AspectRatio-Automatic,PlotStyle-Dashing0.09,0.04, DisplayFunction-Identity Showa,b,c,DisplayFunction$DisplayFunction 输出如图 7-10. -2-112-2-11234图 7-10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6. 在同一坐标系中作出y=x,y=sinx,x-/
29、2，/2和 y=arcsinx, x -1 ，1 的图像 , 且要求两坐标轴上的单位比为1:1, y=x用虚线和红色， y=sinx 用绿色，y=arcsinx 用蓝色 . 本次课小结 : Mathematica软件是一个集成化的软件系统,正是由于它的主要功能的三个方面,即符号演算 ,数值计算和图形功能,使它成为我们学习数学知识解决实际问题中困难的助手和工具.该功能有自身的规定.我们在学习中一定要按规定执行,对基本的指令和语法等要熟记。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -