《2022年2022年角函数的图象与性质知识点汇总 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年角函数的图象与性质知识点汇总 .pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 1 - / 20三角函数的图象与性质 一、知识网络 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性（ 1）基本函数的奇偶性奇函数：ysinx ，ytanx ；偶函数：ycosx.（ 2）型三角函数的奇偶性（） g（x）（xR）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 .（）为偶函数；为奇函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2 - / 20 . 3、周期性（ 1）基本公式（）基本三角函数的
2、周期ysinx ，ycosx 的周期为；ytanx ，ycotx 的周期为 .（）型三角函数的周期的周期为；的周期为 .（ 2）认知（）型函数的周期的周期为；的周期为 .（）的周期的周期为；的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变. 注意这一点与（）的区别.（）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法 ”.（）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明.（ 3）特殊情形研究（） ytanx cotx 的最小正周期为；（）的最小正周期为；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
3、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 3 - / 20（） ysin4xcos4x 的最小正周期为 . 由此领悟 “最小公倍数法 ”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性（ 1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲 ”：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规
4、范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲 ”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.（ 2）y型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲 ”为换元、分解：令u，将所给函数分解为内、外两层：yf （u）， u；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式；还原、结论：将u代入中 u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论. （二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心（ 1）基本三角函数图象的对称性（）正弦曲线ysinx 的对称轴为；正弦曲线ysinx的对称中心为（，0） .（）余弦曲线yco
5、sx 的对称轴为；余弦曲线ycosx 的对称中心（）正切曲线ytanx 的对称中心为；正切曲线ytanx 无对称轴.认知：两弦函数的共性：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 4 - / 20 x为两弦函数f （x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f （x）对称中心0.正切函数的个性：（， 0）为正切函数f （x）的对称中心0 或不存在 .（ 2）型三角函数的对称性（服从上述认知）（）对于g（x）或 g
6、（x）的图象x为 g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心0.（）对于g（x）的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心 0 或不存在 . 2、基本变换（ 1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移 3、y的图象（ 1）五点作图法（ 2）对于 A，T，的认知与寻求： A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在y 轴上投影 间的距离 .：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.： 由 T得出 . ：解法一：运用“代点法 ”求解，
7、以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与 x 轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法 ”的过程（参见经典例题）. 四、经典例题 例 1、求下列函数的值域：（ 1）（ 2）（ 3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 5 - / 20（ 4）（ 5）（ 6）分析： 对于形如（ 1）（ 2）（ 3）的函数求值域，基本策略是（）化归为的值域；（）转化为sinx （或
8、 cosx ）的二次函数；对于（4）（ 5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（）在适当的条件下考察y2；（）转化为分段函数来处理；（）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解：（ 1），即所求函数的值域为 .（ 2）由注意到这里xR，所求函数的值域为1，1.（ 3）这里令 sinx cosx t则有且由于是有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6 - / 20因此，所求函数的值域为 .（4）
9、注意到这里y0，且即所求函数的值域为 .（ 5）注意到所给函数为偶函数，又当此时同理，当亦有 . 所求函数的值域为 .（ 6）令则易见f （x）为偶函数，且是 f （x）的一个正周期. 只需求出f （x）在一个周期上的取值范围.当 x0 ， 时，又注意到，x为 f （x）图象的一条对称轴只需求出f （x）在0 ， 上的最大值 .而在 0 ， 上，递增 . 亦递增由得f （x）在0 ， 上单调递增 .即于是由、得所求函数的值域为 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页
10、，共 20 页 - - - - - - - - - - 7 - / 20 点评： 解（ 1）（ 2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx cosx与 sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（ 6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（ 6）时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期：（ 1）；（ 2）；（ 3）；（ 4）；（ 5） 分析： 与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为k 的形式，而后运用已知公式. 对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 解：（ 1）所求最小正周期
11、 .（ 2）所求周期 .（ 3）. 注意到的最小正周期为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 8 - / 20故所求函数的周期为 .（ 4）注意到 3sinx 及-sinx的周期为2，又sinx 0（或sinx0 ）的解区间重复出现的最小正周期为2. 所求函数的周期为2 .（ 5）注意到sin2x 的最小正周期，又 sinx 0（或sinx0 ）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m的最小正值为。（ 5）对于函
12、数，给出四个论断：它的图象关于直线x对称；它的图象关于点（ ,0 ）对称；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 10 - / 20它的周期为；它在区间，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件, 余下的两个论断作为结论, 写出你认为正确的命题, 它是。 分析：（ 1）这里的递增区间的正号递减区间递增且应填（ 2）由 f （x）递增得易见，由 f （x）递减得当 k0 时，注意到而不会属于其它减区间，故知这里 a 的
13、最大值为 .（3）（）令所给函数图象的对称中心为（，0）；（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 11 - / 20解法一（直接寻求）在中令则有又在中令k0 得，令 k1 得所求距离为解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由得这一函数的最小正周期为T，故所求距离为 .（ 4）这里将这一函数图象向左平移m （m0 ）个单位，所得图象的函数解析式为令则由题设知f （x）为偶函数 f （ x
14、）f （x）所求 m的最小值为 .（ 5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论. 在这里，必须作为条件，而只能作为结论. 于是这里只需考察、与、这两种情形.（）考察、是否成立.由得，故；又由得注意到 . 在、之下，易知此名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - -
15、- - - 12 - / 20时、成立.（）考察、是否成立. 由得，故；又由得注意到 .在、之下，易知此时、成立.于是综合（）（）得正确的命题为、与、. 点评： 对于（ 4）利用了如下认知：； .对于（ 5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节. 例 5、已知的最小正周期为2，当时，f （x）取得最大值2.（ 1）求 f （x）的表达式；（ 2）在闭区间上是否存在f （x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由. 分析： 出于利用已知条件以及便于考察f （x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f （x）化
16、为k 的形式，这是此类问题的解题的基础. 解：（ 1）去令，即则有由题意得又由知，注意到这里A0且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 13 - / 20B0，取辅助角，则由得（ 2）在中令解得 xk解不等式注意到，故由得 k5.于是可知，在闭区间上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 . 点评： 对于最值，对称轴和对称中心等问题，f （x）一经化为k 的形式，解题便胜券在握. 例 6、已知点的图象上 . 若
17、定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（ 0，）上是增函数，且g（2） 0. 求当gf （x）0 且 x0 ， 时，实数 a 的取值范围 .分析： 由点 A、B都在函数的图象上得：，b a，c1a.此时，由gf （x）0 且 x0 ， 解出 a 的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去 “f ”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简. 因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性 . 解：由分析得定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（ 0，）上是增函数，且g（2） 0，g（ x）在（， 0）上是增函数，且g（ 2）0由知，当x-2 或0 x2 时， g（x）0又设 . 则
18、 h （t ）at （ 1 a）， .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 14 - / 20gf （ x）0 且 x0 ， gh(t)0，且 . 由得，当时， h（t ）2 或 0h(t)2 注意到h（t ） at （1a）由 h（t ）2得 h（1）2(a0) 或 h( )0),由 0h(t)2得，解得 . 于是综上可知，所求a的取值范围为 . 点评： 在这里，由到的转化，是由“抽象 ”向“具体 ”的转化，
19、此为解题关键环节. 在下面的求解中，对0h(t)2亦可通过分类讨论来完成.对于h（t ） at （1a）， 0h(t)0 且 h（t ）0 ，当 a0 时， h(t)在上递增，由得， h(1)0 ，显然成立；当 a0（1）a10 ；当 a0 时，h（t ）显然满足1h(t)0 ，得1a0（ 2）h(t)0 时， h(t) 在上递增，由得，h( )2；当 a0 时， h(t) 在上递减由得，h(1)2, 显然满足条件；当a0时， h（t ） 1，显然满足条件.因此由得于是综合（1）（ 2）知，由 0h(t)2推出 五、高考真题 （一）选择题 1、（湖北卷）若（） A. B. C. D. 名师资料
20、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 15 - / 20分析：注意到我们对的熟悉，故考虑从认知的范围入手，去了解的范围 .由，应选C. 2、函数的部分图象如图，则（） A. B. C. D. 分析：由图象得 . ，又 f(1)=1 ，注意到，应选 C. （二）、填空题 1、（湖北卷） 函数的最小正周期与最大值的和为。分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.（
21、 1）注意到 sin2x 的最小正周期，而 sinx 0 的解区间重复出现的最小正周名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 16 - / 20期，而的最小公倍数为，故所求函数的最小正周期为 .（ 2）由分段函数知，y 的最大值为，于是由（1）（ 2）知应填. 2、（辽宁卷）是正实数，设 . 若对每个实数 a，的元素不超过两个，且有a 使含 2 个元素，则的取值范围是。分析：注意到有a 使含有两个元素，相邻两值之差
22、注意到的元素不超过两个，相间的两个值之差由、得 .点评：对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中 “不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于（ 2），这里的决定于 f （x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个值之差的意义 . （三）解答题 1、若函数的最大值为2，试确定常数a 的值 .分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f （x）化为k 的形式，而后便会一路坦途.解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16
23、 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 17 - / 20由已知得 .点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力. 2、设函数 y f （x）图象的一条对称轴是直线 .（ 1）求；（ 2）求函数 yf（x）的单调增区间；（3）证明直线5x2yc0 与函数 yf （x）的图象不相切.分析：对于（3），由于 f （x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题. 其中，要证直线与（x）的图象不相切，只需证直线的斜率不属于yf （x）图象上点的切线斜率的取值集合.解：（ 1）为函数图象的对称轴，即又 .（ 2）由（ 1）知，当时，
24、yf （x）递增，所求函数f （x）的增区间为 .（ 3）yf （x）图象上点的切线的斜率范围为 2，2.而直线 5x2yc0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 18 - / 20直线 5x2yc0与函数的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题 . 此题（ 3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟. 3、已知函数是 R上的偶函数，其图象关于点M （）对称
25、，且在区间上是单调函数，求的值 .分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关于的可能取值，此时要进一步确定的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.解：由f （x）为偶函数得f （ x） f （x）（xR）即又故有由 f （x）图象关于点M （）对称得令 x0 得而由此解得当 k0 时，此时当 k1 时，当 k2时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
26、 - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 19 - / 20，故此时因此，综合以上讨论得或 . 所求，而或 .点评：对于正弦函数yk 或余弦函数yk，在单调区间 “完整 ”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过 . 因此，若区间的长度大于，则函数在区间上不会是单调函数. 4、设函数 f （x） xsinx （xR） .（ 1）证明：，其中 k 为正整数 .（ 2）设（ 3）设 f （x）在（ 0，）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：分析：注意到正弦函数为f （x）的成员函数之一，
27、试题中又指出f （x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（ 2）（ 3），均需要从f （ x）切入 .证明：（1）f （ x） xsinx （xR）（ 2）令显然cosx 0 不是的解，故由得xtanx ，即有，于是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 20 - / 20（ 3）设是的一个正整数根，即，则由直线yx 与曲线y tanx 的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到 g（x） xta
28、nx 在上是增函数，且g（ x）在又 cosx 在内符号不变，（ x tanx ）cosx sinx xcosx 在与在内异号，所有满足的都是 f （x）的极值点 .由题设为方程 x tanx 的全部正根 . 且，再注意到而1由得于是由、得，点评：在这里应注意对（2）、（ 3）中极值点的区别. 对于（ 2），只需满足即可；对于（ 3）中的不仅要满足，还需认定在点 x左右两边异号 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -