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1、新课程数学网http:/ 第 1 页 共 10 页普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座36）空间向量及其应用一课标要求：（1）空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能
2、用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测 07 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三要点精讲1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运算和运算率baABOAOBbaOBOABA)(RaOP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/
4、 第 2 页 共 10 页加法交换率：.abba加法结合率：).()(cbacba数乘分配率：.)(baba说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3平行向量 (共线向量 )：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于 b 记作a b 。注意：当我们说a、 b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量a（a0） 、b，a b 的充要条件是存在实数使 b a注：上述定理包含两个方面
5、：性质定理：若a b （a0 ） ，则有 ba，其中是唯一确定的实数。 判断定理： 若存在唯一实数， 使 b a（a0 ） ， 则有a b（若用此结论判断a、 b 所在直线平行，还需a（或 b ）上有一点不在b （或a）上） 。对于确定的和a， b a表示空间与a平行或共线，长度为|a|，当0时与a同向，当0 时与a反向的所有向量。若直线la，lA，P 为 l 上任一点， O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t，满足等式OAOPat其中向量a叫做直线 l 的方
6、向向量。在 l 上取aAB，则式可化为.)1 (OBtOAtOP当21t时，点 P 是线段 AB 的中点，则).(21OBOAOP或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB 的中点公式。注意： 表示式 ()、( )既是表示式 ,的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式； 推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面平行或a在平面内，我们就说向量a平行于平面，记作a。注意：向量a与直线 a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 3 页 共 10 页共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、 b 共面的充要条件是存在实数对x、 y，使.byaxp注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x、y，使,MByMAxMP或对空间任一定点O，有.MByMAxOMOP在平面 MAB 内，点 P 对应的实数对（ x, y）是唯一的。式叫做平面MAB 的向量表示式。又. ,OMO
8、AMA. ,OMOBMB代入，整理得.)1(OByOAxOMyxOP由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点 P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5空间向量基本定理：如果三个向量a、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使.czbyaxp说明：由上述定理知，如果三个向量a、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是Rzyxczbyaxpp、,|，
9、这个集合可看作由向量a、 b 、c生成的，所以我们把a， b ，c叫做空间的一个基底，a，b ，c都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于 0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0 。推论：设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组zyx、，使.OCzOByOAxOP6数量积（1）夹角：已知两个非零向量a、b ，在空间任取一点O，作aOA，bOB，则角 AOB 叫做向量a与 b的夹角，记作ba，名师
10、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 4 页 共 10 页说明：规定0ba，, 因而ba，=ab，；如果ba，=2，则称a与b互相垂直，记作ab；在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3） 、 （4）中的两个向量的夹角不同，图（ 3）中 AOB=OBOA,，图（ 4）中 AOB=OBAO, 从而有OBOA,=OBOA,=OBOA,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫
11、做向量的长度或模。（3）向量的数量积：baba,cos叫做向量a、 b 的数量积，记作ba。即ba=baba,cos，向量AB方向上的正射影在e: BAeaABea,cos|（4）性质与运算率eaea,cos。()()aba ba bba=0 ba=b a2|.aa a()abca ba c四典例解析题型 1：空间向量的概念及性质A aB aO a（4）A aB aO a（3）A B ABel aabaaabaA aB aO a（1）O aaabaaabaA aB a（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
12、整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 5 页 共 10 页例 1有以下命题：如果向量,a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；,O A B C为空间四点，且向量,OAOBOC不构成空间的一个基底 ， 那 么 点,O A B C一定 共 面 ； 已知 向 量, ,a b c是 空 间 的 一 个 基 底 ， 则 向 量,ab ab c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）()A()B()C()D解析： 对于 “如果向量,a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么, a
13、 b的关系一定共线” ；所以错误。正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。例 2下列命题正确的是（）()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；()B向量, ,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C零向量没有确定的方向；()D若/ab，则存在唯一的实数使得ab；解析： A 中向量b为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样， D 中需保证b不为零向量。答案 C。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。题型 2：空间
14、向量的基本运算例 3如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）()A1122abc()B1122abc()C1122abc()Dcba2121解析：显然111)(21AAABADMBBBBM1122abc；MC1CB1D1A1ABD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 6 页 共 10 页答案
15、为 A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例 4已知：,28)1(, 0423pynmxbpnma且pnm,不共面 .若ab, 求yx,的值 . 解：ab, 且, 0aba即.42328)1(pnmpynmx又pnm,不共面 ,.8,13,422831yxyx点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型 3：空间向量的坐标例 5 （1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3） ，b=（b1，b2，b3） ，它们平行的充要条件是（
16、）A.a：|a|=b：|b|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使a=kb（2）已知向量a=（2，4，x） ，b=（2，y，2） ，若 |a|=6，ab，则 x+y 的值是（）A. 3 或 1B.3 或 1C. 3D.1 （3）下列各组向量共面的是（）A.a=(1， 2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5)B.a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1)C.a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1)D.a=(1， 1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
17、（2）A点拨：由题知0244361642xyx3, 4yx或.1,4yx；（3）A点拨：由共面向量基本定理可得。点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。例 6已知空间三点A（ 2，0，2） ，B（ 1，1，2） ，C（ 3，0，4） 。设a=AB，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 7 页 共 10 页b=AC ， （1）求a和b的夹角； （ 2）若向量
18、 ka+b与 ka2b互相垂直，求k 的值 .思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果 .解： A( 2，0，2)，B（ 1，1，2） ，C(3，0，4)，a=AB，b= AC ，a=(1，1，0)，b=（ 1，0，2）.(1)cos=| |baba=520011010，a和b的夹角为1010。(2)ka+b=k（1，1，0）+（1，0，2）（ k1，k，2） ，ka2b=（k+2，k， 4） ，且 (ka+b)（ka2b） ，（ k1，k， 2） （ k+2，k， 4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。则 k= 25或 k=2。点拨：
19、 第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka2b)=k2a2 kab2b2=2k2+k10=0，解得 k= 25，或 k=2。题型 4：数量积例 7(2000 江西、山西、天津理，4)设a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线 ,则（ab）c（ca）b=0|a|b|ab| （bc）a（ca）b不与c垂直（ 3a+2b） （3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命题的有（）A.B.C.D.答案： D 解析：平面向量的数量积不满足结合律.故假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|ab|恰为一个三角形的三条边长，由“两边名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
20、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 8 页 共 10 页之差小于第三边” ，故真；因为（bc）a（ca）b c=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直 .故假；（ 3a+2b） （3a2b）=9aa4bb=9|a|2 4|b|2成立 .故真 . 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。例 8 （1） （2002 上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120，且 |a|=2，|b|=5，则（ 2ab） a=_. （2）设空间两个不同的单位向量a=(
21、x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1， 1，1)的夹角都等于4 。(1)求 x1+y1和 x1y1的值； (2)求的大小 (其中 0)。解析： （1） 答案：13；解析：（2ab） a=2a2ba=2|a|2|a|b| cos120=2425（21）=13。（2）解： (1)|a|=|b|=1，x21+y21=1，x22=y22=1.又a与c的夹角为4 ，ac=|a|c|cos 4=22222111=26.又ac=x1+y1，x1+y1= 26。另外 x21+y21=(x1+y1)2-2x1y1=1， 2x1y1=(26)21= 21.x1y1= 41。(2)cos=| |b
22、aba=x1x2+y1y2，由 (1)知，x1+y1= 26， x1y1= 41.x1，y1是方程x226x+ 41=0 的解 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 9 页 共 10 页,426,42611yx或.426,42611yx同理可得,426,42622yx或.426,42622yxab，,426,4261221yxyx或.426,4261221yxyxcos=426426+
23、426426= 41+ 41= 21.0 ，= 3 。评述：本题考查向量数量积的运算法则。题型 5：空间向量的应用例 9 （1）已知 a、b、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113a+113b+113c43。（2）已知 F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若 F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点 M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：（1）设m=(113a，113b，113c)，n=(1，1，1)，则|m|=4，|n|=3.mn|m| |n|，mn=113a+113b+113c|m| |n|=43.当1131a=
24、1131b=1131c时，即 a=b=c= 31时，取“ =”号。（2）解： W= F s=(F1+F2+F3) 21MM=14。点评：若m=(x，y，z)，n=(a，b，c)，则由mn|m| |n|，得 (ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查 |a|b|ab的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。例 10如图 , 直三棱柱111CBAABC中,1111CABCABBC求证 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
25、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 新课程数学网http:/ 第 10 页 共 10 页.11CAAB证明：,1111CCCACA,0)()(,211111111111CCBCCACCBCCCCABCCACCBCBC.1121BCCACC同理,111111CBBBBCBBABAB,0),(011112111BCCABCABCCBBCCBCABBCAB又,11ACCA. 0)(ACABBC设D为BC中点 , 则.2ADACAB,02ADBCADBC,ACAB又.,1111ABCABBAA点评： 从上述例
26、子可以看出, 利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行, 相等和垂直的条件。五思维总结本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底i，j，k建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=|a|
27、|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式 .空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。对本讲内容的考查主要分以下三类：1以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -