2022年空间向量及其运算 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载空间向量及其运算【基础知识必备】一、必记知识精选1. 空间向量的定义(1) 向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 . (2) 向量的表示有三种形式：a,AB，有向线段 . 2. 空间向量的加法、减法及数乘运算. (1) 空间向量的加法. 满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为: 首尾相连，由首到尾. 求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量. 首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21AA+32AA+1AAn=0. (2) 空间向量的减法. 减法满足三角形法则, 让减数向量与被减数向量的起

2、点相同, 差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点, 可简记为“起点相同, 指向一定” , 另外要注意OA-OB=BA的逆应用 . (3) 空间向量的数量积. 注意其结果仍为一向量. 3. 共线向量与共面向量的定义. (1) 如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 . 对于空间任意两个向量a,b( b0) ,a ba=b, 若A、B、P三点共线 , 则对空间任意一点 O, 存在实数 t, 使得OP=(1-t)OA+tOB, 当t=21时,P是线段 AB 的中点 ,则中点公式为OP=21(OA+OB). (2) 如果向量 a所在直线 OA平行于平面

3、 或a在内, 则记为 a, 平行于同一个平面的向量 , 叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的. 如果两个向量 a、b不共线 . 则向量 p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对x、y. 使p=xa+yb. 对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C ， A、B、C、P共面的充要条件是OP=xOA+yOB+zOC（其中 x+y+z=1）. 共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面 . 4. 空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面， 那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使 p=xa+yb+zc. 特别的，若 a、b、

4、c不共面，且 xa+yb+zc=O，则 x=y=z=0. 常以此列方程、求值 . 由于 0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0. 空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底. 要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量. 5. 两个向量的数量积. ab=| a| | b| cos（a,b ），性质如下：（1）ae=|a| cos；（ 2）aba b=0. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

5、- - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载（3）| a|2=aa；（ 4）| a| | b| ab. 二、重点难点突破（一）重点空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、 平面向量参数方程及线段中点的向量公式 .空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用. （二）难点空间作图， 运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题. 对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移

6、项法则”仍成立； （3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式. 这样知识掌握更加深刻. 用空间向量解决立体几何问题. 一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示， 则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系？(4) 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论? 三、易错点和易忽略点导析两个向量的夹角应注意的问题：（a，b）=（b，a）；（a,b ）与表示点的符

7、号 （a,b ）不同 ; 如图 9-5-1(a)中的 AOB=. 图(b) 中的 AOB=- （AO，OB） ,=- （AO，OB）. 【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例 1】 已知两个非零向量e1、e2不共线，如果AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e1-3 e2.求证：A、B、C、D共面 . 思维入门指导：要证A、B 、C、D四点共面，只要能证明三向量AB、AC、AD共面，于是只要证明存在三个非零实数、 、使AB+AC+AD=0即可 . 证明 :设( e1+e2)+ (2e1+8e2)+ (3 e1-3e2)=0. 则(+2+3)e1+(+8-3 )e2=0.

8、e1、e2不共线，.038,032上述方程组有无数多组解,而=-5, =1, =1就是其中的一组 ,于是可知名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载-5AB+AC+AD=0. 故AB、AC、AD共面，所以 A、B、C、D 四点共面 . 点拨：寻找到三个非零实数=-5, =1, =1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法 . 二、应用思维点拨【例 2】 某人骑车以每小时公里的速度

9、向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2时，感到风从东北方向吹来. 试求实际风速和风向. 思维入门指导：速度是矢量即为向量. 因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量. 解: 设a表示此人以每小时公里的速度向东行驶的向量. 在无风时 , 此人感到风速为-a,设实际风速为 v, 那么此人感到的风速向量为v-a . 如图 9-5-2. 设OA=- a,OB=-2 a. 由于PO+OA=PA, 从而PA=v-a . 这就是感受到的由正北方向吹来的风. 其次，由于PO+OB=PB，从而 v-2 =PB. 于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的风就是P

10、B. 由题意 , 得 PB O=45, PA BO， BA=A O，从而 PB O为等腰直角三角形. 故PO=PB=2. 即|v|=2. 答：实际吹来的风是风速为2的西北风 . 点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解. 知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向. 三、创新思维点拨【例 3】 如图 9-5-3(1)，已知 E、F、G 、H分别是空间四边形ABCD 边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点. （1）用向量法证明E、F、G 、 H四点共面；（2）用向量法证明BD平面 EFGH. 名师归纳总

11、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载思维入门指导:(1) 要证 E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y, 使EG=xEF+yEH即可 ;(2) 要证 BD 平面 EFGH, 只需证向量BD与EH共线即可 . 证明 :(1) 如图 9-5-3(2),连结 BG,则EG=EB+BG=EB+21(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH. 由共面向量定理推论知，E、

12、F、G 、H四点共面 . (2) EH=AH-AE=21AD-21AB=21(AD-AB)=21BD, EH BD. 又EH面EFGH ，BD面EFGH ， BD 平面 EFGH. 点拨： 利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点. 【例 4】 如图 9-5-4 ，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为D1C1的中点，试求 A1C1与 DE 所成角 . 思维入门指导：在正方体AC1中，要求 A1C1与DE 所成角 , 只需求11CA与DE所成角即可 . 要求11CA与DE所成角，则可利用向量的数量积，只要求

13、出11CADE及|11CA| 和|DE| 即可 . 解: 设正方体棱长为m,AB=a,AD=b,1AA=c. 则| a|=| b|=| c|=m，ab=bc=ca=0. 又11CA=11BA+11CB=AB+AD=a+b, DE=1DD+ED1=1DD+2111CD=c+21a, 11CADE=(a+b)(c+21a)= ac+bc+21a2+21ab=21a2=21m2. 又 |11CA|=2m,|DE|=25m, cos=|1111DECADECA=mmm252212=1010. =arccos1010. 即A1C1与DE 所成角为 arccos1010. 点拨：A1C1与DE 为一对异面

14、直线. 在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求 .而应用向量可以不作或不找直接求. 简化了解题过程，降低了解题的难度. 解题过程中先把11CA及DE用同一组基底表示出来, 再去求有关的量是空间向量运算常用的手段. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载四、高考思维点拨【例 5】 （2000，全国， 12分）如图 9-5-5 ，已知平行六面体ABCD 一A1B1C1D1的底面

15、 ABCD是菱形，且 C1CB= C1CD= BCD. (1) 求证： C1CBD ；(2) 当1CCCD的值为多少时,能使 A1C平面 C1BD? 请给出证明 . 思维入门指导：根据两向量的数量积公式ab=| a| | b|cos知，两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0, 即 abab=0, 所以要证明两直线垂直, 只要证明两直线对应的向量数量积为零即可. (1) 证明 : 设CD=a,CB=b,1CC=c. 由题可知 | a|=| b|. 设CD、CB、1CC中两两所成夹角为,于是BD=CD-CB=a- b, 1CCBD=c(a- b)=ca- cb=| c| | a|cos-| c

16、| | b|cos=0, C1CBD. (2) 解: 若使 A1C平面 C1BD,只须证 A1CBD,A1CDC1,由于 : 1CADC1=(CA+1AA) (CD-1CC)=( a+b+c) (a- c)=| a|2+ab- bc-| c|2=| a|2+| b| | a| cos-| b| | c|cos-| c|2=0, 得当| a|=| c| 时A1C DC1. 同理可证当 | a|=| c| 时,A1C BD. 1CCCD=1时 ,A1C平面 C1BD. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的. （a- b）（ a+b）=a2- b2；( ab)2=a22ab+b2. 五、经典

17、类型题思维点拨【例 6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分. （此点称为四面体的重心）思维入门指导：如图9-5-6 所示四面体 ABCD 中，E、F、G、H、P、Q分别为各棱中点. 要证明EF、GH 、PQ 相交于一点 O，且 O为它们的中点. 可以先证明两条直线EF 、GH 相交于一点 O，然后证明 P 、 O、Q 三点共线，即OP、OQ共线 . 从而说明 PQ 直线也过 O点. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共

18、16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载证明： E、G分别为 AB 、AC 的中点，EG 21BC.同理 HF21BC.EG HF. 从而四边形 EGFH 为平行四边形，故其对角线EF、GH 相交于一点 O，且 O为它们的中点，连接 OP、OQ. OP=OG+GP,OQ=OH+HQ, 而O为GH 的中点，OG+OH=0,GP21CD ，QH 21CD. GP=21CD,QH=21CD. OP+OQ=OG+OH+GP+HQ=0+21CD-21CD=0. OP=-OQ. PQ 经过 O点，且 O为PQ 的中点 . 点拨 :本例也可以用共线定理的推论来证明, 事实上 , 设EF

19、的中点为 O. 连接 OP、 OQ,则FQ=EQ-EF, 而EQ=21AC=-FP,EF=-2FO, 则FQ=-FP+2FO, FO=21(FQ+FP) ，从而看出 O、P、Q三点共线且 O为PQ 的中点，同理可得GH 边经过 O点且 O为 GH 的中点，从而原命题得证 . 六、探究性学习点拨【例 7】 如图 9-5-7 所示，对于空间某一点O，空间四个点 A、B、C 、 D（无三点共线）分别对应着向量a=OA，b=OB, c=OC, d=OD. 求证： A、 B 、C、D四点共面的充要条件是存在四个非零实数 、，使 a+b+c+d=0，且 + +=0. 思维入门指导：分清充分性和必要性，应用

20、共面向量定理. 证明： ( 必要性 ) 假设 A 、 B 、C、D共面，因为 A、B、C三点不共线，故AB，AC两向量不共线，因而存在实数x、 y， 使AD=xAB+yAC, 即d-a=x( b- a)+y( c- a), (x+y -1) a- xb-yc+d=0.令=x+y-1, =-x, =-y, =1. 则a+ b+c+d=0, 且+=0. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎

21、下载（充分性）如果条件成立，则=-( +), 代入得a+b+c+d=a+b+ c-( +)d=0. 即(a-d)+ (b-d)+ (c-d)=0. 又a -d=OA-OD=DA,b-d=DB,c-d=DC, DA+DB+DC=0. 、 为非零实数 , 不妨设 0. 则DC=-DA-DB. DC与DA、DB共面，即 A、B、C 、 D共面 . 点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系. 【同步达纲训练】A卷: 教材跟踪练习题（60分 45 分钟）一、选择题（每小题5分，共 30分）1. 点O、A、B

22、、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间一个基底，则下列结论不正确的是（）A.O、A、B、C四点不共线 B. O、A、B、C四点共面，但不共线C. O、A、B、C四点中任三点不共线 D. O、A、B、C四点不共面2. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中, 下列各式中运算的结果为的共有( ) （AB+BC）+1CC（1AA+11DA）+11CD（AB+1BB）+11CB（1AA+11BA） +11CBA.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 设命题 p：a、b、c是三个非零向量; 命题 q：a, b, c 为空间的一个基底，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.

23、充要条件 D.既不充分又不必要条件4. 设A 、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC=0，ACAD=0，ABAD=0,则 BCD 是（）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定5. 下列命题中，正确的是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载A.若a与b共线，则 a与 b所在直线平行B.若a平面 ，a所在直线为 a，则 aC.若 a,b,c 为空间的一个基

24、底，则a-b,b-c,c-a构成空间的另一个基底D.若OP=21OA+21OB, 则P、 A 、B三点共线6. 若a=e1+e2+e3，b=e1- e2- e3，c=e1+e2，d=e1+2e23e3，且 d=xa+yb+zc，则x、y、z分别为（）A.25,-21,-1 B.25,21,1 C.-25,21,1 D.25,-21,1 二、填空题（每小题4分，共 16分）7. 设向量 a与b互相垂直，向量 c与它们构成的角都是60，且 | a|=5 ，| b|=3 ，| c|=8 ，那么（ a+3c）（ 3b-2 a）；（ 2a+b-3c）2= . 8. 已知向量nAA1=2a，a与 b的夹角

25、为 30，且 |a|=3，则21AA+32AA+nnAA1在向量b的方向上的射影的模为 . 9. 如图 9-5-8 ，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB、AC ，M 是边OA的中点 ,G是 ABC 的重心，则用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表达式为 . 10. 已知 P、A、B、C四点共面且对于空间任一点O都有OP=2OA+34OB+OC, 则= . 三、解答题（每小题7分，共 14分）11. 如图 9-5-9 ，已知点 O是平行六面体ABCD A1B1C1D1体对角线的交点，点P是空间任意一点 . 求证：PA+PB+PC+PD+1PA+1PB+1PC+1PD=8PO. 12. 如

26、图 9-5-10 ， 已知线段 AB 在平面 内， 线段 AC ， 线段 BDAB,且与 所成角是 30.如果 AB=a,AC=BD=b, 求C、D间的距离 . B卷: 综合应用创新练习题（ 90分 90 分钟）一、学科内综合题(10 分) 1. 如图 9-5-11 所示，已知ABCD ，O是平面 AC 外一点，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载1OA=2OA,1OB=2OB,1

27、OC=2OC, 1OD=2OD. 求证： A1、B1、C1、D1四点共面 . 二、应用题（10分）2. 在 ABC 中，C=60 ,CD为 C的平分线 ,AC=4，BC=2 ，过B作BN CD 于N延长交 CA 于 E，将 BDC 沿CD 折起，使 BNE=120 ，求折起后线段AB 的长度 . 三、创新题（60分）（一）教材变型题(10 分) 3.（P35练习 2变型）如图 9-5-12 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a，求AB与CD的夹角 . （二）一题多解(15 分 ) 4. 已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点，且 PA 平面 ABCD ，M 、N分别为

28、 PC 、PD 上的点，且M 分PC成定比 2，N分PD成定比 1，求满足MN=xAB+yAD+zAP的实数 x、y、 z的值 . （三）一题多变(15 分 ) 5. 设a b,=3,=6，且 | a|=1 ，| b|=2 ，| c|=3 ，求 | a+b+c|. （1）一变：设 ab，=3，=6，且 |a|=1 ，|b|=2 ，|c|=3 ，求 |a+2b-c|. （2）二变：设 ab， =3，且 |a|=1 ，|b|=2 ，|c|=3 ，|a+b+c|=3617，求-b与 c的夹角 . （四）新解法题（10分）6. 如图 9-5-13 ，正方形 ABCD 和正方形 ABEF 交于 AB，M

29、 、N分别是 BD 、AE上的点，且 AN=DM ，试用向量证明 MN 平面 EBC. 7. O为空间任意一点,A、B、 C是平面上不共线的三点，动点P满足名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载OP=OA+(|ACACABAB), 0,+ ), 则P的轨迹一定通过ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心四、高考题 (10 分) 8. （2002, 上海 ,5 分）若 a、

30、b、c为任意向量， m R，则下列等式不一定成立的是( ) A.( a+b)+c=a+( b+c) B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+m b D.(ab) c=a( bc) 加试题：竞赛趣味题（10分）证明：abba22+acca22bccb22(a ，b， c为正实数 ). 【课外阅读 】用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式. 【例】如图 9-5-14 ，在 ABC 中， F是 AB 上的一点 ,E是AC 上的一点 , 且FBAF=lm,ECAE=ln( 通分总可以使

31、两个异分母分数化为同分母分数) ，连结 CF、BE 交于点 D. 求D点的坐标 . 解：在平面上任取一点O，连结 OA、OB 、OC、OD 、 OE、OF，由定比分点的向量表达式，得：OF=(OA+lmOB) (1+lm) =mlOBmOAlOE=lnOClnOA1=nlOCnOAl又OD=1OCOF=uOEuOB1( 其中DCFD=,uDEBD). 整理、式得=1mn. 所以OD=nmllOA+nmlmOB+nmlnOC由式出发，可得三角形四心的向量表达式：（1）若 BE 、CF 是 ABC 两边上的中线，交点G 为重心 . 由式可得重心G的向量表达式：名师归纳总结 精品学习资料 - - -

32、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载OG=31(OA+OB+OC). （2）若 BE 、CF 是 ABC 两内角的平分线，交点I 是内心 . 因为FBAF=ab,ECAE=ac, 由式可得内心I 的向量表达式：OI=cbaaOA+cbabOB+cbacOC. （3）若 BE 、CF 是 ABC 两边上的高，交点H是垂心 . ECAE=CaAccoscos=AaCccoscos. 同理FBAF=AaBbcoscos.

33、由式可得垂心H的向量表达式：OH=OACcBbAaCacoscoscoscos+OBCcBbAaCbcoscoscoscos+OCCcBbAaCccoscoscoscos. （4）若 BE 、CF 的交点 O是 ABC 的外心，即三边中垂线交点，则OA=OB=OC. 根据正弦定理：ECAE=CBECBEEBAABEsinsinsinsin=)(21sinsin)(21sinsinCBOABAOC=AACCcossincossin=AC2sin2sin. 同理FBAF=AB2sin2sin. 由式可得外心O的向量表达式：OO=CBAA2sin2sin2sin2sinOA+CBAB2sin2sin

34、2sin2sinOB+OCCBAC2sin2sin2sin2sin. 这四个向量表达式，都由式推出， 都有着各自轮换对称的性质. 好记， 好用 ! 新教材的优越性 , 由此可见 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载参考答案A卷一、 1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的. 2.D 点拨 :AB+BC+1CC=AC+1CC=1AC, 同理根据空间向量的加法运算法则可知(2)

35、 、(3) 、(4) 的计算结果也为1AC. 3.B 点拨：当三个非零向量a、b、c共面时， a、b、c不能构成空间的一个基底，但是a，b,c 为空间的一个基底时，必有a、b、c都是非零向量.因此由 P推不出 q，而由 q可推出P. 4.B 点拨：ACAB=0AC AB.同理可得 AC AD,AB AD. 设AB=a ，AC=b，AD=c.则BC=22ba,CD=22cb,BD=22ca. cosBCD=CDBCBDCDBC22220, 故 BCD 为锐角 . 同理 CBD 、 BDC 亦为锐角 . 则 BCD 为锐角三角形. 5.D 点拨 : 向量共线则其所在直线平行或重合, 故A错误 ;

36、向量平行于平面, 则向量在面内或所在直线与面平行, 故 B错误 ; 取1=2=3=1, 则1(a-b)+2(b-c)+3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a是共面向量 , 不能构成空间的基底, 故C错. x+y+z=1 x=25, 6.A 点拨 : x-y+z=2 y=-21, x-y=3 z=-1. 二、 7.-62 ， 373 点拨： （a+3c） （3b-2a ） =3a b-2a2+9c b-6a c=3|a| |b| cos90 -2|a|2+ 9|c| |b| cos60 -6|a|c| cos60= -62. 8.3 点拨：21AA+32AA+nnAA1=nAA1, 在 b方

37、向投影为 |nAA1| cos=2|a|cos30=3.9.MG=-61OA+31OB+31OC点拨：如答图 9-5-1 所示，连 AG 延长交 BC 于 E，MG=MA+AG=21OA+32AE=21OA+3221(AB+AC)=21OA+31(OB-OA)+31(OC-OA)=-61OA+31OB+31OC. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载10.=-37点拨：根据共面向

38、量定理知，P、 A、 B、 C四点共面， 则OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1. 三、 11. 证明 : 设E、E1分别是平行六面体的面ABCD 与A1B1C1D1的中心 , 于是有PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PE+2PE=4PE, 同理可证1PA+1PB+1PC+1PD=41PE. 又平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，PE+1PE=2PO, PA+PB+PC+PD+1PA+1PB+1PC+1PD=4PE+41PE=4(PE+1PE)=8PO. 12. 解: 由AC , 可知 AC AB.过D 作DD ,D为垂足 , 则 DBD =30,= 12

39、0,|CD|2=CDCD=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2CABD+ 2ABBD=b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=22ba. B卷一、 1. 证明：11CA=1OC-1OA=2OC-2OA=2(OC-OA)=2AC=2(AB+AD) =2(OB-OA)+(OD-OA)=2OB-2OA+2OD-2OA=(1OB-1OA)+(1OD-1OA)=11BA+11DA, A1、B1、C1、D1四点共面 . 二、 2. 解：如答图 9-5-2. 解：过 A作AM CD 的延长线于 M,则CM=4cos30 =23. CN=2 cos30=3

40、, MN=CM -CN=3. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载又AM=AC sin30 =2,BN=BC sing30 =1,且 =120, =60. AM MN ，则AMMN=0. 同理MNNB=0. AB=AM+MN+NB, 2AB=2AM+2MN+2NB+2AMMN+2AMNB+2MNNB=4+3+1+2|AM| |NB| cos60=10.即|AM|=10, 所以线段

41、 AB 长度为10. 三、 (一 )3. 解：取 AB 、CD 的中点分别记为M 、N，连结 AN 、BN. 空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，BN CD ，NACD. ABCD=(AN+NB) CD=ANCD+NBCD=0. 则AB 、CD 所成的角为2. ( 二)4. 解法一：如答图9-5-3 ，取 PC 的中点 E，连结 NE ，则MN=EN-EM. EN=21CD=21BA=-21AB, EM=PM-PE=32PC-21PC=61PC. 连结 AC,则PC=AC-AP=AB+AD-APMN=-21AB-61(AB+AD-AP)=-32AB-61AD+61AP. x=-32,y=-

42、61,z=61. 解法二：在 PD上取点 F，使 F分PD所成定比为 2，连结 MF ，则MN=MF+FN=32CD+DN-DF=-32AB+21DP-31DP=-32AB+61DP名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载=-32AB+61AP-61AD. x=-32,y=-61,z=61. ( 三)5. 解： | a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+4+9

43、+0+2 321+22323=17+63. | a+b+c|=3617. (1)| a+2b- c|=31223. (2)65. ( 四)6. 证明：设BC=a，BE=b，AB=c. AN1( c+b) ，DM=1( c-a)，AM=a+1( c- a)=(1-1) a+1c, MN=AN-AM=(1-1) a+1b. a、 b是平面 EBC 上两个不共线的向量，(1-1) a+1b必为平面 EBC 上的一个向量ZY.由MN=ZY，且 MN面EBC ，必有 MN ZY，所以 MN 平面 EBC. 点拨： 本题老解法是过M 、N作AB 的垂线通过证面面平行得到线面平行的，新解法用向量证明 . (

44、 五)7.B 点拨：本题是由20XX年高考新课程卷改编而来，点P的轨迹通过 ABC 内一定点，与O点位置和 ABC 的形状无关， 故取 O与A重合 . 由平行四边形法则，易知P在 BAC 的平分线上 . 四、 8.D 点拨：（ ab） c=| a| |b| cosc，a（ bc）=| b| | c|cos a，a与 c的模不一定相等且不一定同向. 加试题 : 证明 : 如答图 9-5-4 ，构造三棱锥ABCD ，且每个顶角均为60，且 |AB|= a,|AC|= b,|AD|= c, 则abba22=baba222=|AB-AC|=|BC|, acca22=caca222=|AB-AD|=|B

45、D|, bccb22=cbcb222=|AC-AD|=|CD|. 在三角形 BCD 中,|BC|+|BD| |CD|, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载abba22+acca22bccb22. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -