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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第 16 章 分式 16.1.1 分式的概念教学目标：1、经受实际问题的解决过程,从中熟悉分式,并能概括分式 2、使同学能正确地判定一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探究分式的意义及分式的值如某一特定情形 的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想；教学重点：探究分式的意义及分式的值为某一特定情形的条件；教学难点：能通过回忆分数的意义,探究分式的意义；教学过程：一、做一做（1）面积为 2 平方米的长方形一边长3 米,就它的另一边长为 _米；（2）面积为 S平方米的长方形一边长 a 米,就它的另一边长为 _米；
2、（3）一箱苹果售价 p 元,总重 m千克,箱重n 千克,就每千克苹果的售价是_元；二、概括：形如 A A、B 是整式,且 B中含有字母, B 0 的式子,叫做 分式. 其中B分式的 分子 , B叫做分式的 分母 . A叫做整式和分式统称 有理式 , 即有理式整式,分 式 .三、例题：名师归纳总结 例1 以下各有理式中,哪些是整式？哪些是分式？. 例（1）1 ；x（2）x ；2（3）2xy；（4）3 x3y. xy解：属于整式的有：（ 2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 留意：在分式中,分母的值不能是零. 假如分母的值是零,就分式没有意义如,在分式S 中, a 0；在分式 am9n中,
3、 m n. 例2 当 x 取什么值时 ,以下分式有意义？（1）1；（2）x2. x12x3第 1 页,共 15 页分析 要使分式有意义,必需且只须分母不等于零. 解（1）分母x1 0,即 x 1. 所以,当 x 1 时,分式x1有意义 . 1（2）分母 2x3 0,即 x -3 . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载有意义；有意义；有意义；有意义；有意义；所以,当 x -3 时,分式 2x2有意义 . 2x3四、练习：填空：（1）当 x 时,分式有意义；（2）当 x 时,分式有意义；（3）当 b_时,分式有意义；（4）当 x、y 满意
4、关系时,分式解：（1）当分母 3x 0 时,x 0 时,分式（2）当分母 x-1 0 时, x 1 时,分式（3 当分母 5-3b 0 时,b 时,分式4 当分母 x-y 0 时, x y 时,分式五、小结：什么是分式？什么是有理式？ 16.1.2 分式的基本性质教学目标：1、把握分式的基本性质,把握分式约分方法,娴熟进行约分,并明白最简分式 的意义；2、使同学懂得分式通分的意义,把握分式通分的方法及步骤；教学重点：让同学知道约分、通分的依据和作用,学会分式约分与通分的方法；教学难点：1、分子、分母是多项式的分式约分；2、几个分式最简公分母的确定；教学过程：1、分式的基本性质 引言：我们学校学
5、习了分数的基本性质,今日我们学习分式的基本性质；新课：依据分数的基本性质,分式可仿照分数的性质； = （C 0）；请同学们依据上面的式子和以前学过的分数的基本性质,总结出分式的基本性质是 什么？同学回答出来,老师及同学补充完整；分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式,分式的值不变；名师归纳总结 ； = （C 0）第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于 0 的整式；指出分式的性质与分数的性质的不同,乘以（除以）一个不等于 0 的整式；分数是乘以（除以）一个不
6、等于 0 的数；例 1 填空：（1） = ； = ；2 = ； =；分析：引导同学依据分式的基本性质,来对分式进行化简；（1）是乘以一个整式 ab,留意是分子和分母都乘以这个整式； （2）是分子和分母都乘以 b, 分式的值不变；（3）2是分子 x +xy=xx+y, 对比分子,可以看出分子和分母都除以 x, 分式的值不变, 所以2X；（4）把分母分解因式 x-2x=xx-2, 对比分母,可以看出分子、分母都除以 x,分式的值不变,所以填 1；2、与分数类似,依据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分 . 例 3 约分（1）16 x2y3；（2）x2x2444. 为此,第一要找出分子4 20
7、xyx分析分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去与分母的公因式 . 解（1）162 xy34xy34x4x. （2）x2x2444x2 x2x2. 204 xy4xy35y5yxx22x2约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为.练习 ：（1） ; 2 2 3 2分析：（1）-25a bc 与 15ab c 的公因式为 5abc,与因式分解的公因式的确定一样；2 2 2（2）分子 x-9=x+3x-3; 分母 x +6x+9=x+3 , 这样分子与分母的公因式就确定了,可以进行约分了；由例题知约分最关键的是把公因式约去,所以公因式的确定是主要的,多项式就先分解因式,然后约
8、分；解：略；名师归纳总结 4、例 4通分；2（2）x1y,x1y；（3）x21y2,x21xy第 3 页,共 15 页（1）1,12a2bab1的最简公分母为 a 2b 2,所以解（1）1与a2bab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,所以1 2 a b1bbab2,1212aaaa2. a2b2babab2b（2）x1y与x1y的最简公分母为（ x- y） x+y ,即 x2yx1y1（xxy）xxy2,x1y1xxyyxxy2. xyy2yxy2y请同学们依据这两小题的解法,完成第（3）小题；5、练习分析：（1）与；（2）与；引导
9、同学归纳出分式通分的过程和依据；2（1）先确定分母 2a2 b 与 ab2 2c 的最简公分母是 2a b c；然后乘以一个适当的整式；（2）最简分母是（ x+5x-5.3解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式；约分的关键是最简公分母的确定,对单项式来说,系数是最小公倍数,相同字母取指 数最高次幂；对多项式来说,先分解因式,然后取相同项的最高次幂；6、小结 ：（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质；（2）分式的约分运算,用到了哪些学问？让同学发表,相互补充,归结为：因式分解；分式基本性质；分式中 符号变换规律；约分的结果是,一般要求分、分母不含“ ”；（3）把几个异分母的分式,分别化
10、成与原先分式相等的同分母的分式,叫 做分式的通分；分式通分,是让原先分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,依据分式基本性质, 通分前后分式的值没有转变； 通分的关键是确定几个分式的,才能化成 公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“ 适当整式”同一分母； 确定公分母的方法, 通常是取各分母全部因式的最高次幂的积做公分 母,这样的公分母叫做最简公分母； 16.2 分式的运算 16.2.1 分式的乘除法教学目标：1、让同学通过实践总结分式的乘除法,并能较娴熟地进行式的乘除法运算；2、使同学懂得分式乘方的原理,把握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式 的乘方运算 3、引导同学通过分析、归纳
11、,培育同学用类比的方法探究新学问的才能 教学重点：分式的乘除法、乘方运算名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载教学难点：分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定；教学过程：一、复习与情境导入 1、1 ：什么叫做分式的约分？约分的依据是什么？2 ：以下各式是否正确？为什么？2、尝摸索究：运算：（2）a2a. 回忆：如何运算59、53？（1）a22 b2；6106433从中可以得到什么启示；b3ab2 b概括：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母 的积作为积的分母 . 假如得到
12、的不是最简分式,应当通过约 分进行化简 . 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与 被除式相乘 . （用式子表示如右图所示）二、例题：例 1 运算：（1）a2xay2；（2）a2xya2yz. a2xya2yz=a2xyb2x2=x3. by2b2xb2z2b2x2解（1）a2xay2=a2x2 ay=3 a . 3b（2）by2b2xby2b2xb2z2b2x2b2z2a2yzz3例 2 运算：x x2x29. 3x24x3. 解原式x2x3x3 x3x2x2x2三、练习：1 运算：（1） 2 分析：这两题就是分式乘除法的运用；由同学依据法就来进行运算,老师与同学把 解题过程补充完整
13、；解：略 2 运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）学习必备欢迎下载 2 分析：这两题是分子与分母是多项式的情形,第一要因式分解,然后运用法就；解：（1）原式 = = （2）原式 = = x=-3 运算：（1）2x 5x-33 25x2-9x5x+3解：原式2x 5x-3 5x+35x-35x+3 =2x2 3分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式,然后把公因式约去；留意运算次序；四、摸索怎样进行分式的乘方呢？试运算：（1）（n ）3（2）（n ）k （k 是正整数）m m（1）（n ）3 = n n
14、 nn n n_；m m m m m m m（2）（n ）k = n n nn n n_. m m m m m m mk 个认真观看所得的结果,试总结出分式乘方的法就 . 运算：（1） -2a2b 3c 2 ; 2 -cd3 a2b 3d3 c 2a 2分析： 1 题是分式乘方的运用,可直接运用公式； （2）运算次序是先乘方,然后是乘除；要留意运算时的符号；解：名师归纳总结 （1）原式 = 4a4b2 9c2c2第 6 页,共 15 页（2）原式 = - c3d9 d3 2a4a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载； =-a3b3 8c
15、d6留意在解题时正确地利用幂的乘方及符号五、小结：1、怎样进行分式的乘除法？2、怎样进行分式的乘方？ 16.2.2 分式的加减法教学目标：1、使同学把握同分母、异分母分式的加减,能娴熟地进行同分母,异分母分式 的加减运算；2、通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号 法就以及分式通分,培育同学分式运算的才能；3、渗透类比、化归数学思想方法,培育同学的才能；教学重点：让同学娴熟地把握同分母、异分母分式的加减法；教学难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法就,去括号法就应用；教学过程：一、实践与探究 1、回忆：同分母的分数的加减法法就：同分母的分数相加减,分母不变,把分
16、子相加减；2、试一试：回忆：如何运算12、11,运算：（1）b2 ；（2）a235546aa2ab从中可以得到什么启示？3、总结一下怎样进行分式的加减法？概括 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减 . 二、例题名师归纳总结 1、例 3 运算：xy2xy2. xyxy2、例 4 运算：x34x224. 16分析这里两个加项的分母不同,要先通分. 为此,先找出它们的最简公分母留意到x216=x4 x4, 所以最简公分母是x4x4 解x34x24216x34x244x3 x44 x244 3 x44 244x4x4xxx4第 7 页,共
17、 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3 x124 x3x44 学习必备3欢迎下载x4x4x4三、练习：1 运算：（1）5x+3y x2-y22x x2-y2 2 1 2p+3q +12p-3q分析：这两题就是分式加减法的运用； （1）是同分母分式的加减法,直接用法就 就可以了；（2）是异分母分式的加减法,过程是先通分,通分的依据是分式的基本 性质,化为同分母分式,然后再加减；师生共同来解两个题；老师写出解题过程；解：（1）原式5x+3y-2x x2-y2 = 3x+3y x2-y2 = x+yx-y 3x+y = x+y 312p-3q 12
18、p+3q 2 原式2p+3q2p-3q + 2p+3q2p-3q2p-3q+2p+3q = 2p+3q2p-3q4p = 2p+3q2p-3q4p = 4p2-9q2；老师在解题时强调分式运算的结果必需化为最简分式；可以向同学简洁介绍最简分式的有关学问,可与最简分数相类比；四、小结：1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤：. 正确地找出各分式的最简公分母；求最简公分母概括为： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡显现的 字母为底的幂的因式都要取； （3）相同字母的幂的因式取指数最大的；取这些因式的积就是最简公分母；. 精确地得出各分式的分子、分母应
19、乘的因式；. 用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算；. 公分母保持积的形式,将各分子绽开；. 将得到的结果化成最简分式（整式） ； 16.3 整数指数幂（ 1）一、教学目标 1、经受探究负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发 展代数推理才能和有条理的表达才能；2、明白负整数指数的概念,明白幂运算的法就可以推广到整指数幂；3、会进行简洁的整数范畴内的幂运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、教学重点 负整数指数幂的概念 三、教学难点 熟悉负整数指数幂的产生过程及幂运算
20、法就的扩展过程；四、教学过程 温故知新 你仍记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比,看一看谁做得又快又好：（1）3335（2）a40 a （3）x33（4）4 mn （5）a53 a （6）x77 x （7）378 32、你仍记得a01 a0是怎么得到的吗？探究新知 依据除法的意义填空,看看运算结果有什么规律？（1）3 73 81（2）10 510 71 10（3）a3a513aamanam n在这里（即mn 时 ）也可以适用,你认为该作假如我们要使运算性质怎样的规定呢？老师可以勉励同学先运用自己的语言进行描述,然后自学课本第 P23 页；要指出有 m n m n 了这一新规定后,a a a
21、的适用范畴就扩大到全部整数指数；应用新知再探新知am n（m、n 是正整数）这现在我们考虑：在引入负整数指数和零指数后,aman条性质能否扩大到m、n 是整数的情形？请完成以下填空：a3a5a311aa即a3a5aa3a5111aaaaa即a3a5aa0a51aaa即a0a5a从中你想到了什么？举例：再换其他整数指数验证这个规律；归纳：amanam n这条性质对 m、n 是任意整数的情形都适用；连续举例探究：a mnamn,ab na b nn,anan在整数指数幂范畴内是否nbb适用；例题 运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - -
22、 - - - - （1）20220 22（2）3.6 10学习必备欢迎下载33 433（3） 4（4）2 3221（5）a3a3a6（6）2b23六、小结 ：你这节学会了什么？ 16.3 整数指数幂（ 2）教学目标：1、使同学把握不等于零的零次幂的意义；2、使同学把握 a n 1 （a 0,n 是正整数）并会运用它进行运算；n a 3、通过探究,让同学体会到从特别到一般的方法是争论数学的一个重要方法；教学重点、难点：不等于零的数的零次幂的意义以及懂得和应用负整数指数幂的性质是本节 课的重点也是难点；教学过程：一、复习并问题导入问题 1 在 13.1 中介绍同底数幂的除法公式amanamn时,有
23、一个附加条件： mn,即被除数的指数大于除数的指数即m = n或mn时,情形怎样呢？二、探究 1：不等于零的零次幂的意义先考察被除数的指数等于除数的指数的情形5 2 5 2,10 3 10 3,a 5 a 5 a 0. . 当被除数的指数不大于除数的指数,. 例如考察以下算式：一方面,假如仿照同底数幂的除法公式来运算,得5 2 5 25 2-25 0,10 3 10 310 3-310 0,a 5 a 5a 5-5a 0 a 0. 另一方面,由于这几个式子的被除式等于除式,由除法的意义可知,所得的商都等于 1. 概括: 零的零次幂 没有意义！由此启示,我们规定： 5 0=1,10 0=1,a
24、0=1（a 0）. 这就是说： 任何不等于零的数的零次幂都等于1. 三、探究 2：负指数幂我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情形,例如考察以下算式：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n 次5 2 5 5,10 3 10 7,一方面,假如仿照同底数幂的除法公式来运算,得5 2 5 552-55-3, 103 10 710 3-710-4. 另一方面,我们可利用约分,直接算出这两个式子的结果为5 2 5 52 5 5 552523 51 10 3 53 10 73 10 7 1010103414
25、31010 概括 ：由此启示,我们规定： 5-31 ,3 10-41 . 45 10一般地,我们规定：a n 1 a 0,n 是正整数 na这就是说, 任何不等于零的数的 n （n 为正整数）次幂,等于这个数的幂的倒数 .四、例题：1、例 1 运算：（1）3-2；（2）1010132、例 2 用小数表示以下各数：（1）10-4；（2）2.1 10-5. 解（ 1）10-41 0.0001. 4 10（2）2.1 10-52.1 五、练习：运算：1 2.1 0.000010.000021. 5 10（1）20220 22（2）3.6 1033a6（3） 433 43（4） 232 231（5）a
26、3a（6）2b2六、探 索名师归纳总结 - - - - - - -现在,我们已经引进了零指数幂和负整指数幂,指数的范畴已经扩大到了全体整数. 那么,在13.1 “ 幂的运算” 中所学的幂的性质是否仍成立呢？与同学们争论并沟通一下,判定以下式子是否成立. 第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）a2a3a23；学习必备欢迎下载（2） a b-3=a-3b-3；（3） a-32=a -3 2 4 a2a3a23 七、小结：1、引进了零指数幂和负整数幂,指数的范畴扩大到了全体整数,幂的性质仍旧成立； 1 同底数幂的除法公式a m a n=a m-n a 0,
27、 mn 当 m = n 时, a m a n = 当 m n 时,a m a n = 2、任何数的零次幂都等于1 吗？ 留意：零的零次幂无意义；3、规定an1n其中 a、n 有没有限制,如何限制；a 16.4 可化为一元一次方程的分式方程教学目标：1、使同学懂得分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方 程. 2、使同学懂得增根的概念,明白增根产生的缘由,知道解分式方程须验根并掌 握验根的方法 . 3、使同学领悟“转化” 的思想方法,熟悉到解分式方程的关键在于将它转化 为整式方程来解 . 4、培育同学自主探究的意识,提高同学观看才能和分析才能；教学重点：使同学懂得分式方程的意义,
28、会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 . 教学难点：使同学懂得增根的概念,明白增根产生的缘由,知道解分式方程须验根并把握验根的方法 . 教学过程：一、问题情境导入轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行水流的速度是 3 千米 / 时,求轮船在静水中的速度 . 60 千米所需的时间相同 . 已知概分析分式方程 . 设轮船在静水中的速度为x 千米 / 时,依据题意,得80360. （1）xx3括思方程 1 中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做考怎样解分式方程呢？有没有方法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）. 方程（ 1）可以解答如下：方
29、程两边同乘以（ x+3） x-3 ,约去分母,得 80（x-3 ）=60x+3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解这个整式方程,得x=21. 概所以轮船在静水中的速度为21 千米 / 时. 括上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解 分母. 二、例题：. 所乘的整式通常取方程中显现的各分式的最简公1、例 1 解方程：12 2 . x 1 x 1解 方程两边同乘以（ x 2-1 ）, 约去分母,得x+1=2. 解这个整式方程,得x=1.
30、解到这儿,我们能不能说 x=1 就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发觉,当 x=1 时,原分式方程左边和右边的分母（x1）与（ x 21）都是 0,方程中显现的两个分式都没有意义,因此,x=1 不是原分式方程的解,应当舍去 . 所以原分式方程无解 . 我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母, 有时可能产生不适合原分式方程的解 因此,在解分式方程时必需进行检验 . （或根）,这种根通常称为 增根 .2、例 2 解方程：100 30 . x x 7解 方程两边同乘以 x x-7 ,约去分母,得100（x-7 ）=30x. 解这个整式方程,
31、得检验：把 x=10 代入 x x-7 ,得x=10. 10 （10-7 ） 0 所以, x=10 是原方程的解 . 三、练习：1 解方程x233 xx（x3）,得3x9 9 解：方程两边同乘 2x 解得 x检验： x9 时 x （x3） 0,9 是原分式方程的解；名师归纳总结 2 解方程xx11x3x2第 13 页,共 15 页1解：方程两边同乘（ x1）（x2）,得 x（x2）（ x1）（x2） 3 化简,得 x23 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 x学习必备欢迎下载1 检验： x1 时（x1）（x2）0,1 不是原分式方程的解,原分式方程
32、无 解；四、小结：、什么是分式方程？举例说明；、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化 为整式方程解这个整式方程. 验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果 0,说明此根是原方程的根；如结果是 0,说明此根是原方程 是不是零,如结果不是 的增根,必需舍去、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？ 16.4 可化为一元一次方程的分式方程 2 教学目标：1、进一步娴熟地解可化为一元一次方程的分式方程；2、通过分式方程的应用教学,培育同学数学应用意识；教学重点：让同学学习审明题意设未知数,列分式方程 教学难点：在不同的实际问题中,设元列分式方程 教学过程：一、复习并问
33、题导入 1、复习练习解以下方程：（ 1）3 x 4x 1 x2、列方程解应用题的一般步骤？x2（2）x23327612x 概括 ：这些解题方法与步骤,对于学习分式方程应用题也适用；这节课,我们 将学习列分式方程解应用题；二、实践与探究： 列分式方程解应用题例 3 某校招生录用时,为了防止数据输入出错,2640 名同学的成果数据分别由两位程序操作员各向运算机输入一遍,然后让运算机比较两人的输入是否一样 . 已知甲的输入速度是乙的 2 倍,结果甲比乙少用 2 小时输完 . 问这两个操作员每分钟各能输入多少名同学的成果？解 设乙每分钟能输入 x 名同学的成果,就甲每分能输入 2x 名同学的成果,根据
34、题意得2640 2640 2 60 . 解得 x11. 2 x x经检验, x11 是原方程的解 . 并且 x11,2x2 1122,符合题意 . 答：甲每分钟能输入 22 名同学的成果,乙每分钟能输入 11 名同学的成果 . 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解,仍要检验是否符合题意；三、练习： P14 第 2、3 题四、小结：列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）设未知数（要有单位） ；（3）依据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程；（4）解方程,并验根,仍要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位） ；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页