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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、 学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形 . 设 f ax 2 bx c a 0 ,求 f 在 x m,n 上的最大值与最小值；2分析：将 f x 配方,得顶点为 b,4 ac b、对称轴为 x b2 a 4 a 2 a当a 0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在 m ,n上 f 的最值：2（ 1 ） 当 bm,n 时 , f 的 最 小 值 是 f b 4 ac b, 的 最 大 值 是2 a
2、 2 a 4 af m 、f n 中的较大者；（2）当 b m,n 时2 a如 bm,由 f 在 m,n 上是增函数就 f 的最小值是 f m ,最大值是 f 2 a如 n b,由 f 在 m,n 上是减函数就 f 的最大值是 f m ,最小值是 f n 2 a当a 0时,可类比得结论；二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值； 对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形：（1）轴定,区间定；（2）轴定,区间变；（ 3）轴变,区间定；（4）轴变,区间变；1. 轴定区间定二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我
3、们称这种情形是“ 定二次函数在定区间上的最值”；24x2 在区间 0,3 上的最大值是 _,最小值是 _；例 1. 函数 yx；图 1 名师归纳总结 练习 . 已知 2x23 x ,求函数f x x2x1 的最值；第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载图 2 2、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情形是“ 定函数在动区间上的最值”；x1 21定义在区间t,t1 上,求 f 的最小值；例 2. 假如函数f x 图 1图 2图 8 例 3. 已知f x x22x3,当xt,t1tR时
4、,求f x 的最大值；二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：名师归纳总结 当 a0时fx maxfm ,b1mn 如图 1 fx m i nfn,bn 如图3 如图4 第 2 页,共 5 页2a2a2fb,mb 2 an fn ,b1mn 如图 2 2 a2 a2fm ,bm 如图 5 2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a0 时fx maxf n,b精品资料如图 7 欢迎下载f m ,b1 2 mn 如图 9 n 如图 6 2 afb,mb 2 an f x min2 af n ,b1 2 mn 如图 10 2af m ,b 2 a2 am
5、如图 8 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情形是“ 动二次函数在定区间上的最值”f；x2ax3 的最值；例 4. 已知 x 21,且 a20 ,求函数 解 ；图 3 例 5. 1 求f x x2x2ax1 在区间 -1,2 上的最大值；2 求函数yxa在x1,1上的最大值；4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情形是“ 动二次函数在名师归纳总结 动区间上的最值”；aa0,求ux322 y 的最小值；第 3 页,共 5 页例 6. 已知y24 a x- - - - - - -精选学习资料 - -
6、 - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值；例 7.已知函数f x ax22 ax1 在区间 3,2 上的最大值为4,求实数 a 的值；例 8. 已知函数f x x2x 在区间 m n 上的最小值是3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值；2例 9. 已知二次函数f xax2 2a1x1在区间3 ,2 2上的最大值为 3,求实数 a 的值；三、巩固训练21函数 y x x 1 在 1 1, 上的最小值和最大值分别是（）3 1 1 A 1 ,3 B ,3（C）,3 （D）, 34 2 422函数 y x 4 x
7、2 在区间 ,1 4 上的最小值是（） A 7 B 4 C 2 D 2 83函数 y 2 的最值为（）x 4 x 5 A 最大值为 8,最小值为 0 B 不存在最小值,最大值为 8（C）最小值为 0, 不存在最大值 D 不存在最小值,也不存在最大值24如函数 y 2 x 4 x , x 0 4, 的取值范畴是 _ 2 35已知函数 f x ax 2 a 1 x 3 a0 在区间 ,2 上的最大值是 1,就实数 a 的2值为名师归纳总结 6假如实数x,y满意x2y21,那么1xy1xy有（）第 4 页,共 5 页A 最大值为1 , 最小值为1B 无最大值,最小值为324（C）最大值为1, 无最小
8、值D 最大值为 1,最小值为347已知函数yx22x3在闭区间0 ,m 上有最大值3,最小值 2,就 m 的取值范畴是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A ,10 ,精品资料欢迎下载（）B 02, C ,12D ,2 8如x0 ,yx2y1,那么2x3y2的最小值为 _ 9设mR ,x 1,x 2是方程x22mx1m20的两个实根,就x2x2的最小值 _ 1210设fxx24x4,xt,t1 tR ,求函数fx的最小值gt的解析式；11已知fxx2axa,在区间01,上的最大值为ga ,求ga的最小值；212.（2022 江苏卷）设 a 为实数,函数f x 22 xxa |xa .名师归纳总结 1如f01,求 a 的取值范畴；不等式h x 1的解集 .第 5 页,共 5 页2求f x的最小值；3设函数h x f x x ,直接写出不需给出演算步骤- - - - - - -