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1、精品资料欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fxaxbxc a( )()20，求fx( )在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x( )配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上fx( )的最值：（ 1） 当bamn2，时 ，fx( )的 最 小 值 是fbaacbafx2442， ( )的 最 大 值 是f mf n()( )、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx
2、( )在mn，上是增函数则fx( )的最小值是f m()，最大值是fn( )若nba2，由fx( )在mn，上是减函数则fx( )的最大值是f m()，最小值是f n( )当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（ 3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。例 1. 函数yxx242在区间 0，3上的
3、最大值是 _，最小值是 _。图 1 练习 . 已知232xx，求函数f xxx( )21的最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载图 2 2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。例 2. 如果函数f xx( )()112定义在区间tt，1上，求fx( )的最小值。图 1图 2图 8 例 3. 已知2( )23f xxx，当1()xtttR，时，求( )f x的最大值。二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时)(212)()
4、(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543m i n如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbamnf nbamn( )( )()()( )()()min，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种
5、情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 4. 已知x21，且a20，求函数fxxax( )23的最值。解 。图 3 例 5. (1) 求2f ( x )x2ax1在区间 -1,2 上的最大值。(2) 求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 6. 已知24 ()(0),ya xaa，求22(3)uxy的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的
6、最值，求函数或区间中参数的取值。例 7.已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为4，求实数a 的值。例8.已知函数2( )2xf xx在区间, m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。例 9. 已知二次函数2f ( x)ax( 2a1)x1在区间3,22上的最大值为 3，求实数 a 的值。三、巩固训练1函数y12xx在 1 ,1上的最小值和最大值分别是（）)(A1 ,3 )(B43,3（C）21,3 （D）41, 32函数242xxy在区间4, 1上的最小值是（）)(A7)(B4)(C2)(D2 3函数5482xxy的最值为（）)(A最大值为 8，最小值为0)(B
7、不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0, 不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值4若函数4 ,0,422xxxy的取值范围是_ 5已知函数f xaxaxa( )()()22130322在区间，上的最大值是1，则实数 a的值为6如果实数yx,满足122yx，那么)1)(1 (xyxy有（）(A) 最大值为1 , 最小值为21(B) 无最大值，最小值为43（C）)最大值为1, 无最小值(D) 最大值为1，最小值为437已知函数322xxy在闭区间,0m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
8、页，共 5 页精品资料欢迎下载（）(A) ), 1 (B) 2 ,0(C) 2, 1(D) 2,(8若12,0,0yxyx，那么232yx的最小值为 _ 9设21,xxRm是方程01222mmxx的两个实根，则2221xx的最小值 _ 10设),(1,44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。11已知)(xf22aaxx，在区间 1 ,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。12.（2009 江苏卷）设a为实数，函数2( )2() |f xxxaxa.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求( )f x的最小值；(3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x的解集 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页