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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数与几何综合题目背景07年课改后,最终一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题, 运算量较大； 几何题可能想很久都不能动笔,而代数题就可以想到哪里写到哪里,这就让许多考生能够拿到一些步骤分；因此,课改之后,武汉市数学中考最终一题相对来说要比以前简洁不少,而这也符合训练部要求给学生减轻负担的主旨, 因此也会连续下去； 要做好这最终一题, 主要是要在有限的时间里面找到的简便的运算方法；要做到这一点, 一是要加强本身的观看力, 二是需要在平常要多积存一些好的算法,并能够娴熟运用, 最终就是培育运算的耐
2、心,做到运算又快又准；题型分析题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求同学能够娴熟地把握待定系 数法求函数解析式,属于送分题；（2）其次问为代数几何综合题,题型不固定；解题偏代数,要求同学能够娴熟 把握函数的平移,左加右减,上加下减；要求同学有较好的运算才能,能够把题 目中所给的几何信息进行转化,得到相应的点坐标,再进行相应的代数运算；（3）第三问为几何代数综合,题型不固定；解题偏几何,要求同学能够对题目 再依据题目条 所给条件进行转化, 合理设参数, 将点坐标转化为相应的线段长,件合理构造相像、全等,或者利用锐角三角函数, 将这些线段与题目构建起联系,名师归纳总结
3、- - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载再进行相应运算求解, 此处要求同学能够娴熟运用韦达定理, 本小问综合性较强；在我们解题时,往往有一些几何条件,我们直接在坐标系中话不是很好用,这时我们需要对它进行相应的条件转化,常见的条件转化思想；变成便利我们使用的条件, 以下为两种1、遇到面积条件： a.不规章图形先进行分割,变成规章的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时, 依据同底等高, 或者等底同高的三角形面积相等这一性质,将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时,以这条边为底,依据面积公式转化为线段条
4、件；2、遇到角度条件：找到全部与这些角相等的角,以这些角为基础构造相像、全等或者利用锐角三角函数,转化为线段条件；二次函数与三角形综合【例 1】. （2022 武汉中考）如图1,点 A 为抛物线 C1：y=x2 2 的顶点,点 B 的坐标为（1,0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C （1）求点 C 的坐标；（2）如图 1,平行于 y 轴的直线 x=3 交直线 AB 于点 D,交抛物线 C1 于点 E,平行于y 轴的直线 x=a 交直线 AB 于 F,交抛物线 C1于 G,如 FG：DE=4 ：3,求 a 的值；（3）如图 2,将抛物线 C1 向下平移 m（m0）个单位得到抛物线 C2,
5、且抛物线 C2 的顶点为点 P,交 x 轴于点 M ,交射线 BC 于点 NNQ x 轴于点 Q,当 NP 平分 MNQ时,求 m 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点： 二次函数综合题；解答： 解：（ 1）当 x=0 时, y= 2； A （0, 2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,就：,解得直线 AB 解析式为 y=2x 2点 C 为直线 y=2x 2 与抛物线 y=x2 2 的交点,就点C 的横、纵坐标满意：,解得、（舍）点 C 的坐标为（ 4,6）（2）直线 x=3 分别交
6、直线AB 和抛物线 C1 于 DE 两点yD=4, yE=, DE=FG=DE=4 ：3, FG=2直线 x=a 分别交直线 AB 和抛物线 C1 于 F、G 两点yF=2a 2,yG= a 2 2 2FG=|2aa |=2,解得： a1=2,a2= 2+2, a3=2 2（3）设直线 MN 交 y 轴于 T,过点 N 做 NH y 轴于点 H；设点 M 的坐标为（ t,0）,抛物线 C2 的解析式为 y= x 2 2 m；0=t2 2 m,2 m=t2y= x2t2,点 P 坐标为（ 0,t2）点 N 是直线 AB 与抛物线 y= x 2t 2 的交点,就点 N 的横、纵坐标满意：,解得、（
7、舍）N（2 t, 2 2t）NQ=2 2t,MQ=2 2t,MQ=NQ , MNQ=45 MOT 、 NHT 均为等腰直角三角形,MO=OT ,HT=HN 名师归纳总结 OT=4 ,NT= ,NH=（ 2 t）,PT= t+t2第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载PN 平分 MNQ ,PT=NT ,名师归纳总结 t+t2 =（ 2 t）,）2, m=2第 4 页,共 20 页t 1= 2,t2=2（舍） 2 m=2 t =（ 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【 例 2
8、】 .（ 2022学习必备欢迎下载y=ax2 +bx+3经 过A （ -3 , 0）,武 汉 中 考 ） 如 图1, 抛 物 线B（ -1 , 0） 两 点 . （ 1 ） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2）设 抛 物 线 的 顶 点 为 M ,直 线 y=-2x+9与 y 轴 交 于 点 C,与 直 线 OM交 于 点 D. 现 将 抛 物 线 平 移 , 保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 .如 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD（ 含 端 点 C）只 有 一 个 公 共 点 ,求 它 的 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围 ；（ 3 ） 如 图2, 将 抛 物
9、 线 平 移 , 当 顶 点 至 原 点 时 , 过Q （ 0, 3 ） 作 不 平行 于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E,F 两 点 .问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P,使 PEF 的 内 心 在 y 轴 上 .如 存 在 , 求 出 点 理 由 . P 的 坐 标 ； 如 不 存 在 , 请 说 明名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 6 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下
10、载2ax b 经过 A 1,0 ,C2,3 两点,2【例 3】. （2022 武汉中考） 如图, 拋物线 y 1=ax2与 x 轴交于另一点B； 1 2 3 求此拋物线的解析式；如拋物线的顶点为M,点 P 为线段 OB上一动点 不与点 B 重合 ,点 Q在线段 MB上移动,且MPQ=45,设线段OP=x,MQ=2 y 2,求 y2 与 x 的函数关系式,并直接写 2出自变量 x 的取值范畴；在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n 分别与拋物线交于点E,G,与2 中的函数图像交于点F,H；问四边形EFHG能否为平行四边形？如能,求m,n 之间的数量关系；如不能,请说明理由；25. 解：1
11、 拋物线y1=ax22ax b 经过 A 1,0 ,y M M Q B x C0,3 两点,2a2 a3b0,a= 1 ,2A O P Q B x b2 b=3 ,拋物线的解析式为 2y1= 1 x 22x3 ；2 2 作 MN AB,垂足为 N；由 y1= 1 x 22x3 易得 M1,2 ,2y N1, 0 ,A 1,0 ,B3, 0 ,AB=4, MN=BN=2, MB=2 2 ,MBN=45；依据勾股定理有2 2 2 2 2=PM 2= 1 x2 BM BN 2=PM 2PN 2；A O 2,又MPQ=45=MBP,P N MPQ MBP,PM2=MQMB=2 y 2 2 22 ；由、
12、 得 y 2=1 x 22x5 ；0 x3,y 2与 x 的函数关系式为 2y2=1 x 22x5 0 2x3 ；F H x 3 四边形 EFHG可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是y mn=20m 2,且 m 1 ；点 E、G是抛物线 y 1= 1 x 22x32分别与直线x=m, x=n 的交点,点E、 G坐标为E G Em,1 m 2 m23 ,Gn,21 n 2 n23 ；同理,点 2F、H坐标为 Fm,1 m 22m5 ,Hn,21 n 22n5 ；2O EF= 1 m m 5 1 m m 3 =m 22m 1,GH= 1 n 2n 5 1 n 2n 3 =n2 2 2 2 2
13、 2 2 2四边形 EFHG是平行四边形,EF=GH；m 2 2m 1=n 2 2n 1, m n 2m22n 1；n=0 ；由题意知 m n,m n=2 0m 2,且 m 1 ；因此,四边形EFHG可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是m n=2 0m 2,且m 1 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载bx4a经过A 1 0, 、C0 4, 两点,【例 4】. （2022 武汉中考）如图,抛物线yax2与 x 轴交于另一点 B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 D m,m 1 在第一象限的抛
14、物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3）在（ 2）的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 DBP 45 ,求点 P 的坐标y 名师归纳总结 25解：（1）抛物线yax 2bx4 a 经过A 10, ,C0 4, 两点,C y E D B x x ab4 a0,A 4 a4.解得a1,O b3.4,B x 抛物线的解析式为y2 x3 x4（2）点D m,m1在抛物线上,m12 m3 my 即2 m2 m30,m1或m3C 点 D 在第一象限,点 D 的坐标为 3 4, 由（ 1）知OAOB,CBA45 A E 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点E C0 4, ,C
15、DAB,且CD3,O ECBDCB45 ,E 点在 y 轴上,且CECD3OE1,E , 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0,1）C O D B （3）方法一：作PFAB于 F , DEBC于 E 由（ 1）有：OBOC4,OBC45,DBP45,CBDPBAP C0 4,D3 4, ,CDOB且CD3A F DCECBO45 ,DECE3 2第 8 页,共 20 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OBOC4,BC42,学习必备欢迎下载5 2,BEBCCE2设tanPBFtanCBDDE3,BE5PF3 t ,就BF5 t ,OF5 t
16、4P 5 t4 3 P 点在抛物线上,名师归纳总结 3 t 5 t4 23 5 t44,x轴于 H 过 Q 点作x 第 9 页,共 20 页t0（舍去）或t22,P2 66,5 2525方法二：过点D 作 BD 的垂线交直线PB 于点 Q ,过点 D 作 DHQGDH于 G y PBD45,QDDBQ C G D QDGBDH90 ,P 又DQGQDG90 ,DQGBDH A B QDGDBH,QGDH4,DGBH1O H 由（ 2）知D3 4, ,Q 13, B 4 0, ,直线 BP 的解析式为y3x1255解方程组y2 xx3 x4,x 14,x22 5,y312,得y2y 10；66.
17、 2555点 P 的坐标为2 66,5 25- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 5】. （20XX 年四调）假如抛物线学习必备欢迎下载C2 上,同时,抛物线C2 的顶点C1 的顶点在抛物线在抛物线 C1 上,那么,我们称抛物线C1 与 C2 关联2+2x+1 与已知抛物（1）已知抛物线 y=x2+2x 1,判定以下抛物线 y= x 2+2x+1； y=x线 是否关联,并说明理由（2）抛物线 C1：y= （x+1）2 2,动点 P 的坐标为（ t,2）,将抛物线绕点 P（t,2）旋转180得到抛物线 C2,如抛物线 C1 与 C2 关联,求抛物线 C
18、2 的解析式（3）A 为抛物线 C1：y= （x+1）2 2 的顶点, B 为与抛物线C1 关联的抛物线顶点,是否存在以 AB 为斜边的等腰直角 ABC,使其直角顶点C 在 y 轴上？如存在,求出C 点的坐标；如不存在,请说明理由考点 ：二次函数综合题；专题 ：代数几何综合题；分析：（1）第一求得抛物线 的顶点坐标,然后检验是否此点在抛物线 与 上,再求得抛物线 的顶点坐标,检验是否在抛物线 上即可求得答案；（2）第一求得抛物线 C1 的顶点坐标,就可得：点 P在直线 y=2 上,就可作帮助线：作 M 关于 P 的对称点 N,分别过点 M、N 作直线 y=2 的垂线, 垂足为 E,F,就可求得
19、：点 N 的坐标,利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当 A,B,C 逆时针分布时与当 A,B,C顺时针分布时分析,依据全等三角形的学问,即可求得点 C 的坐标,留意别漏解解答： 解：（ 1） 抛物线 y=x2+2x 1=（x+1）2 2 的顶点坐标为 M（ 1, 2）, 当 x= 1 时, y= x2+2x+1= 1 2+1= 2,点 M 在抛物线 上； 当 x= 1 时, y=x2+2x+1=1 2+1=0,点 M 不在抛物线 上；抛物线 与抛物线 有关联；抛物线 y= x2+2x+1= （ x 1）2+2,其顶点坐标为（1, 2）,体会算：（1, 2）在抛物线 上,抛物线 、 是关联的；
20、（2）抛物线 C1：y=（x+1）2 2 的顶点 M 的坐标为（1, 2）,动点 P 的坐标为（ t,2）,点 P 在直线 y=2 上,作 M 关于 P的对称点 N,分别过点M、N 作直线 y=2 的垂线,垂足为E,F,就 ME=NF=3,点 N 的纵坐标为6,当 y=6 时,（x+1）2 2=6,解得： x1=7,x2= 9, 设抛物 C2的解析式为： y=a（x 7）2+6,名师归纳总结 点 M（ 1, 2）在抛物线C2 上,第 10 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2=a（1 7）2+6,学习必备欢迎下载a=抛物线 C2 的解析
21、式为： y=（ x 7）2+6； 设抛物 C2的解析式为： y=a（x+9） 2+6,点 M（ 1, 2）在抛物线C2 上, ABC,令 C 的坐标为（ 0,c）,就点 B 2=a（1+9）2+6,a=抛物线 C2 的解析式为： y=（ x+9）2+6；（3）点 C在 y 轴上的一动点,以AC为腰作等腰直角的坐标分两类： 当 A,B,C逆时针分布时,如图中B 点,过点 A,B 作 y 轴的垂线,垂足分别为H,F,就 BCF CAH,CF=AH=1,BF=CH=c+2,点 B 的坐标为（ c+2,c 1）,当点 B 在抛物线 C1：y= （x+1）2 2 上时, c 1= （c+2+1）2 2,
22、解得： c=1 当 A,B,C 顺时针分布时,如图中 B点,过点 B作 y 轴的垂线,垂足为 D,同理可得：点 B的坐标为（c 2, c+1）,当点 B在抛物线 C1：y= （x+1）2 2 上时, c+1= （ c 2+1）2 2,解得： c=3+4 或 c=3 4综上所述,存在三个符合条件的等腰直角三角形,其中 C 点的坐标分别为：C1（ 0,1）,C2（0,3+4）,C3（0,3 4）点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法,全等三角形的性质等学问此题综合性很强, 难度较大, 留意数形结合思想与分类争论思想的应用名师归纳总结 - - - - - - -
23、第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 6】. （20XX 年四调）已知抛物线 yax 22axb 与 x 轴交于点 A3 ,0 ,与 y 轴相交于点 B0 , 1 求抛物线的解析式；2 如图 1 ,P 为抛物线上的点, 且在其次象限, 如 POA的面积等于POB的面积的 2 倍,求点 P 的坐标；名师归纳总结 3 如图 2 ,C为抛物线的顶点,在y 轴上是否存在点D使 DAC为直角三角形,如存在,第 12 页,共 20 页求出全部符合条件的D点的坐标；如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
24、 - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 13 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【例 7】. （20XX 年四调） 抛物线ya x623与 x 轴相交于 A , B 两点,与 y 轴相交于 C , D 为抛物线的顶点,直线DEx 轴,垂足为 E ,AE23DE . （1）求这个抛物线的解析式；名师归纳总结 （2） P 为直线 DE 上的一动点,以PC 为斜边构造直角三角形,使直角顶点落在x 轴上 .第 14 页,共 20 页如在 x 轴上的直角顶点只有一个时,求点P 的坐标；（3） M 为抛物线上的一动点,过M
25、作直线 MNDM ,交直线 DE 于 N ,当 M 点在抛物线的其次象限的部分上运动时,是否存在使点E 三等分线段 DN 的情形,如存在,恳求出全部符合条件的M 的坐标,如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 15 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数与四边形【例 8】. （2022 武汉）如图
26、1,抛物线yax23 axb 经过 A（ 1,0）,C（3, 2）两点,与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于另一点B；求此抛物线的解析式；如直线 y kx 1 k 0 将四边形 ABCD面积二等分,求 k 的值；如图 2,过点 E（1, 1）作 EF x 轴于点 F,将 AEF绕平面内某点旋转 180 后得MNQ（点 M,N,Q分别与点 A,E,F 对应）,使点 M,N在抛物线上,求点 M,N的坐标y yD C D A B A F B O x O xE 名师归纳总结 25. y图 1 3x2；k4图 2 第 17 页,共 20 页1x2； M（3, 2）,N（ 1,3）223- - - - -
27、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 9】. （20XX 年四调）将抛物线 C换后的抛物线沿 y 轴的正方向平移1 : y 1 x 2 2 2 关于 x 轴作轴对称变换,再将变20.5 个单位,沿 x 轴的正方向平移 m 个单位,得到抛物线 C ,抛物线 C 、C 的顶点分别为 B、D（1）直接写出当 m 0 和 m 4 时抛物线 C 的解析式；（2）分别求出符合以下条件的 m 的值：线段 BD 经过原点；点 D 刚好落在抛物线 C 上；（3）抛物线 C 与 x 轴交于 A、C 两点（ A 点在 C 点的左侧）,是否存在 m 的值,使四边形ABCD为梯形,如存在,求出符合条件的m 的值；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 19 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 20 页,共 20 页- - - - - - -