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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数学问点总结1. 定义： 一般地, 假如 y ax 2 bx c a , b , c 是常数,a 0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 22. 二次函数 y ax 的性质2（1）抛物线 y ax 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴. （2）函数 y ax 2的图像与 a 的符号关系 . 当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 . 2（3）顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax（a 0）3. 二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称
2、轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二 次 函 数 y ax 2 bx c 用 配 方 法 可 化 成 ：y a x h 2k 的 形 式 , 其 中2b 4 ac bh,k . 2 a 4 a5. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 , 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： y ax 2； y ax 2k； y a x h 2； y a x h 2k； y ax 2 bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 平行于 y 轴（或重合）
3、的直线记作 x h . 特殊地, y 轴记作直线 x 0 . 7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法名师归纳总结 （1）公式法：yax2bxcaxb24 acb2,顶点是（b4 ac,4ab2）,第 1 页,共 4 页2 a4 ay2a对称轴是直线xb. axh22ak的形式,得到顶（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点为 h , k ,对称轴是直线学习必备欢迎下载xh
4、. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 . 29. 抛物线 y ax bx c 中,a , b , c 的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与 y ax 2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线x b,故： b 0 时,对称轴为 y 轴； b0（即 a 、 b 同号）时,对称轴2 a a在 y 轴左侧； b 0（即 a 、 b 异
5、号）时,对称轴在 y 轴右侧 . a2（3） c 的大小打算抛物线 y ax bx c 与 y 轴交点的位置 . 当 x 0 时,y c,抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）： c 0,抛物线经过原点 ; c 0 , 与 y 轴交于正半轴； c 0 , 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0. a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标ab2 yax2x0（ y 轴）（0,0 ）0, k yax2x0（ y 轴）当a0xh h ,0 h2yaxxh h
6、, k h2开口向上yaxyax2bxc当a0时xb 2 ab4,ac开口向下2 a411. 用待定系数法求二次函数的解析式名师归纳总结 （1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）顶点式：yaxh2k学习必备欢迎下载. . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标x 、x ,通常选用交点式：yaxx 1xx2. 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, yc . 2bxc
7、有 且 只 有 一 个 交 点xh与 抛 物 线ax（ 2 ） 与 y 轴 平 行 的 直 线 h ,ah2bhc. （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数y2ax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的
8、纵坐标相等,设纵坐标为nk ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . （ 5）一次函数ykxk0的图像 l 与二次函数yax2bxca0的图像 G 的交点,由方程组ykx2nc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时yaxbxl 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时 解时 l 与 G 没有交点 . l 与 G 只有一个交点； 方程组无名师归纳总结 （ 6）抛物线与Bx 轴两交点之间的距离：如抛物线2bxycax2bxc与 x 轴两交点为第 3 页,共 4 页Ax1,0,x2,0,由于1x 、x 是方程ax0的两个根,故x 1x2b,x 1x2caa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABx 1x 2x 1x 22学习必备欢迎下载x 2b24 cb2a4 acax 1x 224 x 1aa名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页