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1、第一部分 二次函数基础学问相关概念及定义22二次函数的概念：一般地,形如yaxbxcyaxbxc（ a ,b ,ca ,b ,c 是常数, a0 a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强22调：和一元二次方程类似,二次项系数次函数的定义域是全体实数a0 a0 ,而 b ,cb ,c 可以为零二二次函数yaxbxcyaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x x 的二次式, x x 的最高次数是 2 a ,b ,c项a ,b ,c 是常数, a a 是二次项系数, b b 是一次项系数, c 是常数二次函数各种形式之间的变换二次函数hbyax2bx2, k4acbc 用配方法可
2、化成：2ya xhk 的形式,其中ax2a4a.2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：y； yax2k ya x2h； y2；a xhk ； yax2bxc .二次函数解析式的表示方法一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；顶点式：2yaxhk （ a , h , k 为常数, a0 ）；两根式：yaxx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析
3、式的这三种形式可以互化.二次函数2yaxbxc 图象的画法五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数2yaxbxc化 为 顶 点 式ya xh 2k , 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左 右 对 称 地 描 点 画 图 . 一 般 我 们 选 取 的 五 点 为 ： 顶 点 、 与 y 轴 的 交 点0 ,c0 ,c、以及 0,c0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0的点） .x1 ,0 ,x2 ,0x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y
4、轴的交点 .二次函数 yax2 的性质a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a00 ,00 ,0y y 轴x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x向上0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值a0 a00 ,00 ,0y y 轴x 0 x0 0 0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x向下0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x0 x0 时, y y 有最大值二次函数y ax2c yax2c 的性质0 0 a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a00 ,c0 ,cy y 轴x0 x0 时, y y
5、 随 x x 的增大而增向上大； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值c c a0 a00 ,c0 ,cy y 轴x 0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减向下小； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x0 x0 时, y y 有最大值c c 二次函数y a xh2的性质：a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a0向上a0 a0向下h ,0h ,0h ,0h ,0X=hX=hxh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有
6、最小值0 0 xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 有最大值二次函数2ya xhk 的性质0 0 a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a0向上a0 a0向下h ,kh ,kh ,kh ,kX=hX=hxh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有最小值k k xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 有最大值抛
7、物线2yaxbxc2yaxk k bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上；当a0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.xb对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2 a . 特殊地, y 轴记作直线x0 .（顶点坐标：b4acb 2,）2a4a顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.抛物线 yax2bxc 中,a,b, c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数2yaxbxc2yaxbxc 中, a a 作为二次项系数,明显a0 a0
8、当 a0 a开口越大； 当 a0 a0 时,抛物线开口向上,a a 越大,开口越小,反之a a 的值越小,0 时,抛物线开口向下,a a 越小,开口越小,反之a a 的值越大,开口越大总结起来, a a 打算了抛物线开口的大小和方向,a a 的正负打算开口方向,aa的大小打算开口的大小一次项系数 b b在二次项系数 a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 a0 的前提下,b0b0当 b0b当 b0b当 b0b在 a0a0 时,2a2a,即抛物线的对称轴在y y 轴左侧；b0b00 时,2a2a,即抛物线的对称轴就是y y 轴；b0b00 时,2a2a,即抛物线对称轴在y
9、 y 轴的右侧0 的前提下,结论刚好与上述相反,即b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线的对称轴在y y 轴右侧；b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线的对称轴就是yy 轴；b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线对称轴在y y 轴的左侧总结起来,在a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c c 当 c0 c的纵坐标为正； 当 c0 c0 时,抛物线与 y y 轴的交点在 x x 轴上方,即抛物线与y y 轴交点0 时,抛物线与 y y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y y 轴交点的纵坐标为 0 0 ； 当 c0 c的纵坐标为负0 时,抛物线
10、与 y y 轴的交点在 x x 轴下方,即抛物线与y y 轴交点总结起来, c c 打算了抛物线与 y y 轴交点的位置总之,只要 a,b ,ca ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法22b4acby公 式 法 ：ax 2bxca x2a4a, 顶 点 是b4ac（,2a4ab ）x2,对称轴是直线b 2a .配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为2ya xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点
11、.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式2一般式：yax式.bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般顶点式： y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标x1 、x2 , 通 常 选 用 交 点 式 ：ya xx1xx2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0,c .与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax2bxc有 且 只 有 一 个 交 点 h ,ah 2bhc .抛物线与 x 轴的交点
12、 : 二次函数yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二次方程ax2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相切；没有交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相离 .平行于 x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根
13、.一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax2bxc a0 的图ykxn像 G 的交点,由方程组yax2bxc 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时EMBED Equation.3l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时EMBED Equation.3l 与 G 只有一个交点；方程组无解时EMBEDEquation.3l 与 G 没有交点 .抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc 与 x 轴两交点为A x1,0 ,Bx1x2x2,01b , x,由于x2x1 、 x2 是方程cax 2bxc0 的两个根,故aaEMBEDEquation.3ABx1x22x1x
14、22x1x24x1x22b4caab24acaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称2yaxbxc22yaxbxc关 于 xx轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxcyaxbxc ；2yaxh2kya xhk关 于 xx轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；2关于 y y 轴对称22yaxbxcyaxbxc关 于yy轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxcyaxbxc ；2yaxh2kya xhk关 于 yy轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2
15、ya xh2k yaxhk ；关于原点对称2yaxbxc2yaxbxc关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxc2yaxbxc；2ya xh2kyaxhk关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；2关于顶点对称2yaxbxcyaxbxc关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yax2bxcbyax2bxcb22 a2ya xhk2yaxh2a ；k关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk 关于点 m,nm ,n 对称2ya xh2kya xhk 关
16、 于 点 m ,nm ,n对 称 后 , 得 到 的解 析 式 是2ya xh2m2nk2ya xh2m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 aa 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xh2kya xhk ,确定其顶点坐标 h ,kh,k；2 保持抛物线平移方法如下：yax2hky,ax的外形不
17、变,将其顶点平移到h,k处,详细y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0【或左h0】平移|k|个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减”依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；三点式；1 ,已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A（ 33 , 0）, B（ 2点,求抛物线的解析式；3 23 , 0 ）, C（ 0, -3 ）三222,已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（ 2, 3）,求抛物线的解析式；顶点式；1,已知抛物线 y=x-2ax+a+b 顶点为 A（2
18、, 1）,求抛物线的解析式；2,已知抛物线 y=4x+a2-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式；交点式；1 ,已知抛物线与x轴两个交点分别为（3, 0 ） ,5,0,求抛物线y=x-ax-b的解析式；12,已知抛物线线与x轴两个交点（ 4, 0）,（ 1, 0）求抛物线y= 212 ax-2ax-b的解析式；定点式；1, 在直 角坐 标系 中,不论a取 何值 ,抛物线y1 x225ax2a2 y21 x225a x 22a2经过 x 轴上肯定点 Q,直线ya2 x2 ya2 x2 经过点 Q,求抛物线的解析式；22,抛物线 y= x+2m-1x-2m与 x 轴的肯定交点经过直线y=m
19、x+m+4,求抛物线的解析式；3,抛物线 y=ax 2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A,求抛物线的解析式；平移式；21, 把抛物线 y= -2x向左平移 2 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到抛物线2y=a x-h+k, 求此抛物线解析式；2, 抛物线 yx 2x3 yx 2x3 向上平移 , 使抛物线经过点C0,2,求抛物线的解析式 .距离式；1,抛物线 y=ax2+4ax+1a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式；22,已知抛物线 y=m x求此抛物线的解析式；对称轴式；2+3mx-4mm 0 与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,
20、且 AB=BC,21、抛物线 y=x -2x+m-4m+4 与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；22、 已知抛物线 y=-x +ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y轴于点 C,且3OB-OA=434 OC,求此抛物线的解析式；对称式；21, 平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（ -10 , 0）, AC=16,D（ 2, 6）；AD交 y 轴于 E,将三角形ABC沿 x 轴折叠,点B 到 B1 的位置,求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式；2, 求与抛物线 y=x切点式；+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；1,已知直线 y=ax-a22a 0与抛物线 y=mx有唯独公共点,求抛物线的解析式；22, 直线 y=x+a与抛物线 y=ax+k的唯独公共点 A（ 2, 1） , 求抛物线的解析式；判别式式；1、已知关于X 的一元二次方程（ m+1） x 2+2m+1x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线2y=-x +m+1x+3 解析式；22、 已知抛物线 y=a+2x-a+1x+2a的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式；23、已知抛物线 y=m+1x +m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点,求抛物线的解析式；