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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载两角和与差的三角函数,解斜三角形 两角和与差的宗弦 教案作者：教学目标1使同学把握两角和与差的余弦公式,并会应用这一公式解决一些有关三角函数的求值问题与证明问题2通过两角差的余弦公式的推导与证明,同学进一步懂得与运用函数的思想,进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）3在公式的推导过程中,使同学留意并学习严密而精确的数学思维方法及其数学表达方式教学重点与难点本节课的重点是使同学把握两角和与差的余弦公式难点是两角差的余弦公式的推导与证明教学过程设计师：今日我们开头学习新的
2、一章两角和与差的三角函数,这一章中一共有四十多个公式,抓住这些公式中的第一个公式,后面的公式就势如破竹迎刃而解这第一个公式是什么呢？可以像我们课本上那样,以两角和的余弦公式作为这些公式中的第一个公式, 也可以犹如我们下面要学习的这样,以两角差的余弦公式作为这些公 式中的第一个公式（由此,使同学熟悉到这些公式的龙头是第一个公式,也可以说牵牛要牵牛鼻 子,只要抓住这第一个公式,后面的公式就可顺当得出同时,也使同学熟悉到同样 的数学学问可以有不同的数学结构,这样同学自然会熟悉到把握数学学问当然重要,同样重要的是把握它们的数学结构这样, 在同学们头脑中形成的就不是一些孤立的 数学学问点,而是由数学学问
3、编织而成的学问网络）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师：我们要学习的第一个公式是两角差的余弦公式,也就是用 与 各自的三角函数值表示cos （ - ）怎样用 与 各自的三角函数值来表示cos （ - ）呢？同学们可以猜想,猜错了没有关系牛： cos （ - ）=cos -cos 师：对这一猜想,我们应当做些什么？生：这一猜想可能是对的,也可能是错的我们不妨先把 知角度来检验一
4、下师：很好那么我们把 与 分别换成什么角呢？生：把 与 分别换成 60 与 30 师：好请每个同学都算一下,看看下面等式是否成立： 与 换成详细的已cos （60 -30 ） =cos60 -cos30 师：数学进展史上有很多重要的猜想,有些猜想后来被人们证明白是正确的,有些猜想后来被人们证明白是错误的有些猜想至今仍没有人能证明它是对仍是错,如“ 哥德巴赫” 猜想,即“ 任意一个大偶数（大于2 的偶数）肯定可以表示成两个质数的和” 至今世界上没有人能解决这一猜想,但我国的闻名数学家陈景润在这一问 题上的讨论成果在世界上是处于领先位置的对于我们的猜想,通常是先用详细数据进行检验通过检验假如发觉猜
5、想错了,就问题得到明白决,假如检验了很多次都没发觉猜想是错的,这时可以考虑这一猜想可能是正确的,但它的正确性仍要等待证明通过验证, 我们很快知道了cos（ - ）=cos -cos 是错误的 假如再猜 cos细心整理归纳 精选学习资料 （ - ）=？,又不知如何猜了请同学们回忆一下我们提出的问题：如何用 与 第 2 页,共 10 页 各自的三角函数值表示cos（ - ）？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -这就是说,我们可以把学习必备欢迎下载cos
6、 （ -sin ,cos ,sin ,cos 当成已知数去求 ）在学习数学时,大家已体会到数形结合的数学思想是很重要的我们现在怎么办呢？生：建立平面直角坐标系,把 与 角画出来（此时老师把图画在黑板上,如图 1）师：这个图画的行吗？（同学一般会认为这个图画得可以,这时老师要进行引导,培育同学严密而准确的数学思维方法和数学表达方式）师：这个图表达了 与 的任意性吗？我们把图画成什么样才能表达 与 这两个角的任意性呢？（通过引导,使同学熟悉到应画成图 2 状）师：图中射线 OM ,ON 分别是 和 的终边,那么 - 在图中怎样表达呢？生： - =MON 或 - =MON 师：应当是 -MON 与
7、终边相同或 +MON 与 终边相同,即细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载MON= +2k （kZ,0 MON ）,所以 - = MON 2k （kZ,0 MON ）这时,我们再考虑怎样把 sin ,cos ,sin ,cos 作为已知量去求 cos （- ）,也就是去求 cos MON 生：画一个单位圆,设单位圆分别交OM ,ON 于 A 和 B,连 AB （如图 3）师：我们
8、向大家介绍过基本量法,请一个同学简述基本量法生：在一个数学问题中往往涉及到很多量,其中有些量是可以独立取值的,而其余的量可以看做是这些量的函数我们任取一组可以独立取值的量,把它们叫做基本量,然后把其余的量 （导出量） 用基本量表示出来,这样往往可以使问题得到解决师：回答得很好在我们讨论的问题中把什么作为基本量呢？生：把 sin ,cos ,sin ,cos 做为基本量,用它们去表示 cos（ - ）,也就是求 cos AOB 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学
9、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师：我们知道一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就是这个角的正弦值,一个角的终边与单位圆交点的横坐标就是这个角的余弦值因此,图 标是生： A（cos ,sin ）, B（cos ,sin ）师：这样, 我们可以用 的三角函数与 的三角函数表示 题？能否用 - 的三角函数表示 |AB| 呢？3 中 A,B 两点的坐|AB| 下面解决什么问师：我们把图 3 中的 AOB 顺时针旋转一些, 使 OB 落在 x 轴正半轴上得图 4这时射线 OA 就是 - 的终边位置图3 中的 |AB| 与图 4 中的 |AB| 相等,图
10、4 中 A 点坐标为（ cos （ - ）, sin （ - ）系师：接下来,我们可以建立 sin ,cos ,sin ,cos 与 cos （ - ）的关（在老师的引导下,同学不难进行下面的推导）（cos（ - ）-）2 sin2（ - ）=（cos -cos ）2（ sin -sin ）2,2-2cos （ - ） 2-2cos cos -2sin sin ,从而 cos （ - ） =cos cos +sin sin 师：到此,我们得到公式cos（ - ）=cos cos +sin sin ,其中 , R我们把这一公式简记为 C - 既然这一公式对任意的 , R 都成立,那么哪位同学能利
11、用这一公式得出细心整理归纳 精选学习资料 公式 C +,即利用 , 的三角函数表示cos （ + ） 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -生：把公式学习必备欢迎下载C - 中的 换成 - ,就有cos -（ - ） =cos cos cos -sin sin ,即cos （- ） sin sin（- ）cos （ + ）=cos cos -sin sin （ , R）（这时同学会进一步熟悉到我们在推导公式 重要作用）C -
12、时强调其中 , 的任意性的师：这两个公式很重要, 我们要熟记 请同学们抓住公式特点,要把公式记住 主要是公式右端中间的“ 、-” 号与公式左端 与 间的“-、” 号正好相反师：下面通过几个例题来看一下这两个公式的应用例 1 不查表,求 cos15 及 cos75 的值（这两个小题比较简洁,由同学自己演算,同时由一位同学板演,同学做完后老师进行小结）例 2（这个题目也比较简洁,由同学自己演算,同时由一位同学板演,然后老师进行小结）例 3 不查表,求 cos21 cos24 sin159 sin204 的值解 原式 cos21 cos24 sin（180 -21 ） sin （180 24 ）=c
13、os21 cos24 -sin21 sin24 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载师：通过此题,我们学会了公式C 可以从右往左倒着应用对于我们学过的公式要娴熟地把握它们,这包括敏捷地运用公式要做肯定数量的习题,并随时加以 总结,才能达到这一目标例 4 证明 R 时,有证 R 时,有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页
14、,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 5 证明 R 时,有（此例请同学们自己证明,然后老师小结）师：例 4 与例 5 共包含 8 个公式,这8 个公式也要求大家记住,今日先不讲其特点与记忆方法,请同学们课下想一下怎样记忆这 8 个诱导公式师：我们把这节课作一个小结（略）师：布置作业先复习今日学的公式,留意公式的推导过程笔答作业：课本练习课堂教学设计说明P207 第 1,2,3,4,5, 6 题本节内容课本上是一开头就给出了结论,即公式的右端,然后赐予证明这样 做简洁明白,节
15、约篇幅,课本可以这样写,但我们最好换一个方式讲,由于这样不符细心整理归纳 精选学习资料 合人们熟悉事物的过程人们对任一事物所下结论应在对这一事物仔细讨论之后,而 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不是在之前仔细讨论之前可以猜想结论是什么样,可以大胆地猜,但是猜完了要证 明猜完了往往是先验证,经过验证发觉猜错了可以再猜再验证经过多次验证没发 现错,这时可以设想：猜想有可能是对的,但是要经过证明假如猜想体会证
16、发觉是错的,可再猜假如不好猜了,这时会估量结论可能不 是一个特别简洁的形式,难以推测其结论这时要换一个方式去考虑,对公式 C-就是把 sin ,cos ,sin ,cos 当做已知量去求 形成了本节对公式 C - 的证法cos （ - ）这样就较自然地在整个教学过程中,不是简洁地把数学学问与教学思想方法抛给同学,而是使同学时刻处于积极思维的状态结论是什么样？这是一个谜,我们只有仔细讨论才有可能得到谜底然后,进一步启示同学考虑讨论的方法同学经过摸索,想到数形结合、基本量法,通过解三角形最终掀开谜底这样,问题的提出,猜想,否定,进一步讨论,解决,这一系列的所作所为都是顺理成章的,没有一点儿矫揉造作
17、,显得和谐而自然,本节课的难点公式本节如先证公式C - 的推导与证明就顺当解决了cos （ + ） cos cos -sin sin （ , R）也可以再供应一个证 C- 的方法供参考图 5 中 终边与单位圆交于 A（ cos , sin ）, 终边与单位圆文于 B（cos ,sin ）, + 终边与单位圆交于C（cos （ + ）, sin（ + ）设单位圆与 x 轴正半轴交于 P 点,明显有 AP CB ,所以（cos -1）2sin 2 cos （ + ）-cos 2+sin （ + ）-sin 2,2-2cos =2-2cos （ + ） cos -2sin （ + ）sin ,cos
18、 =cos （ + ）cos +sin （ + ） sin 细心整理归纳 精选学习资料 留意到 与 的任意性,把公式中的 换成 - ,就有 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cos （ - ）=cos 学习必备欢迎下载cos sin sin 在布置作业时,练习与习题中的证明题没作为作业,是准备把证明题集中在习题课中处理DvNews细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -