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1、学科：数 学主备人：授课人：审核人：课题3.1 两角和与差的三角函数授课时间2 课时教学目标1. 知识与技能（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；2. 过程与方法通过创设情境： 通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习 . 3. 情感态度价值观通过本节的学习， 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和
2、与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 教学重点重点：两角和与差的正弦，余弦、正切公式及其推导教学难点难点：灵活运用公式进行求值，化简和证明教学方法课型考纲要求个性备课设计(1) 会用向量推导两角差的余弦公式；(2) 能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；课前认识由于向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象。向量是沟通代数与几何的桥梁，为了体现向量在处理三角函数问题中的工具作用，本教材书采用向量数量积的方法，来推导两角差的余弦定理，虽然首先得到的不是两角和的正弦，但这几个公式出现的顺序不会构成学生学习困难和推导体系混乱，这样使得公式的推导过程更简捷，又因为
3、用向量方法推导公式C安排在第三章的第一节，使教科书从第二章平面向量到第三章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时从向量的角度，意会公式的几何背景。引入1用第二章向量的知识引入本节内容，使学生们认体会知识之间的相互联系，新的知识的学习总能为我们研究其他问题带来更简捷的方法。激发学生学以至用的学习态度在第二章我们已经学习了向量的知识。向量的主要作用之一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 是讨论几何
4、度量问题，例如，长度和角度的问题。从向量数量积的定义：cosbaba我们知道：任何向量与自身的内积为向量长度的平方；两个单位向量的数量积就等于他们之间夹角的余弦函数值，反映可他们之间夹角的大小。向量的方法为我们探究三角函数关系提供了另一种重要的思想方法。在直角坐标系中，如图3-1，以原点为中心，单位长度为半径做单位圆，又以原点为顶点， x 轴非负半轴为始边分别作角，且。我们首先研究，均为锐角的情况，教学内容【创设情境】思考: 如何求)3045cos(的值. 【探究新知】1 思 考 : 如 何 用 任 意 角与的 正 弦 、 余 弦 来 表 示)cos(？你认为会是coscos)cos(吗? 展
5、示课件 在直角坐标系作出单位圆， 利用向量的方法求解（如教材图 3.1 ）. 求解：在直角坐标系中，如图3-1，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角，且，我们首先研究它为锐角的情况，设它们的终边分别交单位圆于点)sin,(cos1P，)sin,(cos2P，这样，我们就得到两个单位向量1OP,2OP, 由于这两个向量的夹角为，所以我们可以得到：)cos(21OPOP另一方面，向量的数量积可以用坐标表示，因此我们又可以得到：sinsincoscos21OPOP由上面两个式子可以得到一个重要的三角函数公式sinsincoscos)cos(教师引导学生分
6、析其中的过程发现：上述证明仅仅是对与为锐角的情况，但与为任意角时上述过程还成立吗？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 由于与为任意角，所以也为任意角，所以只需探究当为任意角时，上述公式也成立，当为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角2,0，使)cos(cos若,0，则)cos(cos21OPOP若2,则, 02，且)cos(cos)2cos(21OPOP. 由此可知 : 对任意角与都有sinsincoscos)cos(这个公式称为：
7、差角的余弦公式C老师强调以下几点1. 公式的结构特点2. 对于，只要知道其正弦或余弦，就可以求出)cos(3. 提出问题?)cos(4. 学生自己推导得出sinsincoscos)cos(5. 能否借助诱导公式退出两角差的正弦公式?)sin(推导如下sincoscossinsin)2sin(cos)2cos()2cos()(2cos)sin(即：cossincossin)sin(以代替 得：cossincossin)sin(抽象概括sinsincoscos)cos(Csinsincoscos)cos(Csincoscossin)sin(S精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -
8、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - sincoscossin)sin(S重难点突破1. 与几何证法和解析证法相同，在向量证法中，也是先证明，为锐角且的情况，由于教学目标的定位是“了解”公式，因此对于公式的一般性：即当，为任意角时，教科书中没有给出证明，只是在边框中做为一个问题提出来，供学有余力、对数学感兴趣的同学思考、探索，虽然对于公式的一般性没有给予详尽的证明，但在教学中，教师应该强调这个一般性，以便为其他公式的推导做准备。 2.公式C是全部和、差角公式，以及倍角公式、半角公式的基础，
9、是本章公式推导体系的“源”。因此C公式的推证是本节乃至本章的教学重点。教学中要注意把握的是如何是学生在经历向量方法推证公式C的过程中，体验向量的思想方法，体验向量的工具作用，正因为此，两角差的余弦公式推证的教学也是本章教学的一个难点。在这里，证明的结果，得到公式达到目的固然重要， 但是相比之下， 应该更加看中的是推导公式的过程，看中过程中所体现的思想方法。 3.本章是第一章任意角的三角函数基础上进一步研究单角三角函数与复角三角函数的关系，第一节课上应该使学生明确两角和与差的三角函数的意义。按定义，两角差的余弦，表示终边与单位圆的交点P 的横坐标，通过举例验证的方法，说明一般情况下coscos)
10、cos(。使学生明白定义在实数集的余弦函数： “差 （和） 的函数值一般不等于函数值的差 （和） ” ，从计算的角度讲，如果把求一个角的余弦值看作是一种运算，那么这种运算一般不满足分配律。正弦函数、正切函数亦然。4. 对于公式,CSS教科书没有给出推导过程，而是用提出问题同时给出提示（利用诱导公式）的方式来呈现。教学中，C公式可由学生独立或合作完成， 而,SS则要根据学生的具体情况，适时、适当地给予指点，例如sin()cos()cos()22cos()cossin()sin22sincoscossin精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
11、 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 其中第一、第二步是证明的突破口，也正是教师需要指点的地方。例题及练习例 1 计算105cos15cos103sin5sin103cos5cos解：45sin60sin45cos60cos)4560cos(105cos4622223222145sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos4622223222102cos)1035cos(103sin5sin103cos5cos练习化简：)cos(cos)sin(sinyxxyxx例 2 已知54sin，),2(，135co
12、s，)23,(，求)cos(，)cos(的值解：由54sin，),2(，得53sin1cos2又由135cos，)23,(，得1312cos1sin2所以6533)1312(54)135()53(sinsincoscos)cos(6563)1312(54)135()53(sinsincoscos)cos(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例3已 知1411)2cos(,734)2sin(, 且24,40, 求)cos(的值分析：已
13、知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即)2()2(，由,角的取值范围，分别求出,2,2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解解：40 ,24, ,24224由1411)2cos(得，1435)2sin(; 由734)2sin(得，71)2cos(21)2()2cos()cos(点评：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是 “由果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的变换角的方法又如：)(, )(2,2222, 例 4 化简sin23cos21sin3coscossin解)30cos(sin30sincos3
14、0cossin23cos21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - )6sin(2)sin23cos21(2sin3cos)4sin(2)cos22sin22(2cossin总结归纳 : )sin()sincos(sincos22222222bababbaababa其中 令22sinbaa22cosbab点评 : 以上公式引入辅助角, 可以将sincosba这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,( 即形如)sin(xA),
15、 化为这种形式可解决sincosba的许多问题 ,比如值域 , 最值 , 周期 , 单调区间等 , 这种引入辅助角的思想很重要, 即把两个三角函数化为一个三角函数. 实质上就是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像和性质来研究它的性质, 课后作业四、课堂练习 ：1.已知,4321312)cos(,54)sin(求:2cos的值2. 求证：)6sin(2sin3cos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 板书设计教学后记精品资料 - -
16、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 考纲要求个性备课设计(1) 会用两角和与差的正余弦公式推到正切公式；(2) 能运用正切公式进行简单的应用。教学内容一、复习回顾：sinsincoscos)cos(Csinsincoscos)cos(Csincoscossin)sin(Ssincoscossin)sin(S可用多种形式让学生回顾 ( 提问, 默写, 填空等形式 ) 二、讲解新课：1 在两角和与差的正弦 , 余弦公式的基础上 , 你能用 tan，ta
17、n表示出)tan(和)tan(吗？如)3045tan(15tan，它的值能否用45tan，30tan去计算？（让学生带着问题展开后面的讨论）2 利用所学的两角和与差的正弦, 余弦公式，对比分析公式C,C,S,S, 能否推导出)tan(和)tan(？其中,应该满足什么条件？师生讨论：当0)cos(时，sinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(若0coscos，即0cos且0cos时，分子分母同除以coscos得tantan1tantan)tan(根据角，的任意性，在上面的式子中，用代替 ，则有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
18、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - tantan1tantan)tan(tan1)tan(tan)tan(由此推得两角和与差的正切公式。简记为“T，T”tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(其中,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。由推导过程可以知道：)(2)(2)(2ZkkZkkZkk这样才能保证 tan，tan及)tan(都有意义。3 师生共同分析观察公式T，T的结构特征与正、余弦公式有什么不同？例题及练习4 例题讲解例 1 已知2tan，31t
19、an，其中20，2（1）求)tan(（2）求的值解（1）因为2tan，31tan，所以7321312tantan1tantan)tan(（2）因为1321312tantan1tantan)tan(又因为20，2，所以232精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 在2与23之间，只有45的正切值等于 1. 所以45例 2 若52)tan(，41)4tan(，求)4tan(解 因为)4()(，所以223415214152)4tan()ta
20、n(1)4tan()tan()4()tan()4tan(课后作业课堂练习：1.求下列各式的精确值：(1)tan15o(2)1tan 751tan 75ootan5cot 501tan5cot50oooo(3)2.已知，求tan()2,tan3tan3.在中，若是方程ABCtan,tanAB2670 xx的两个根，求证：45Co4.若，求的值 .45o(tan1)(tan1)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 板书设计教学后记精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -