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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载中考压轴题（一）- 与圆有关压轴题1.如图,在eM中,.AB 所对的圆心角为120o,已知圆的半径为2cm,并建立如下列图的直角坐标系（1）求圆心 M 的坐标；（2）求经过 A, ,C三点的抛物线的解析式；Ax和ABC相 似 ？ 如 存（3）点 D 是弦 AB 所对的优弧上一动点,求四边形ACBD 的最大面积；（4）在（ 2）中的抛物线上是否存在一点P,使PAB在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由y解 （1）如图（ 1）,连结 MA,就 AMB 120 oCMB 60 o ,MB30oOBMOM1MB1,M01, M2（
2、2）由 A, ,C三点的特别性与对称性,yBx知经过 A, ,C三点的抛物线的解析式为yax2c AOBDCQOCMCMO1,OBMB2OM23,MC0,1,B 3 0, Oc1,a1y1x21331C图 1 （3）QS 四边形ACBDSABCSABD,又SABC与 AB 均为定值,当ABD边 AB 上的高最大时,SABD最大,此时点D 为eM与 y 轴的交点,如图S 四边形ACBDSABCSABD1AB OC1AB OD1AB CD4 3cm2222（4）方法 1：如图 2,QABC为等腰三角形,ABC30o,ABBC3,yPMAOBxC图 2 ABCPAB等价于PAB30o,PBAB2 3
3、,PA3PB6PAB设P x,y且x0,就xPAcos30 oAO3 332 3,yPAsin30o3又QP2 3 3, 的坐标满意y1x21,在抛物线y1x21上,存在点P2 3 3, ,使ABC33由抛物线的对称性,知点 2 3 3, 也符合题意存在点 P ,它的坐标为23 3, 或 2 3 3, 方法 2：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载30 o ,3 3, 或 2 3 3, 如图（ 3）,当ABCPAB时,PABBAC30o,又由（ 1）知MAB点 P 在直线 AM 上设直线 AM 的解析
4、式为ykxb ,将A 3 0,M0 1, 代 入 , 解 得k3,直 线 AM 的 解 析 式 为3b1.y3x13解方程组y3x1,P23 3, 3得y1 32 x1又QtanPBx333,PBx60oP30o,2 3ABCPAB在抛物线y1x21上,存在点P2 3 3, ,使ABCPAB3由抛物线的对称性,知点 2 3 3, 也符合题意存在点 P ,它的坐标为2方法 3：如图 3,QABC为等腰三角形,且AB3,设P x,y就P2图 3 PABBCABCPAB等价于PBAB2 3,PA3AB6当x0时,得x32y223,解得P2 3 3, x32y26.3 3, ,使ABC又QP233,
5、的坐标满意y1x21,在抛物线y1x21上,存在点33由抛物线的对称性,知点 2 3 3, 也符合题意存在点 P ,它的坐标为23 3, 或 2 3 3, 点评 此题是一道综合性很强也是传统型的压轴题,涉及了函数、方程、相像、圆等大量中学数学的重点学问,解这类问题要求同学必需稳固的把握各个领域的数学学问,须留意的是在第4 小问中涉及了相像三角形的问题,很有可能会有多解的情形显现,此时就要求同学拥有较强的数形结合思想去探究结论的存在性；2.（ 06 湖南湘潭卷） 已知： 如图, 抛物线 y 3x 2 2 3x 3 的图象与 x 轴分别交于 A,B 两点, 与 y 轴交于 C3 3点,e M 经过
6、原点 O 及点 A,C,点 D 是劣弧.OA 上一动点（ D 点与 A,O 不重合）（1）求抛物线的顶点 E 的坐标；（2）求 e M 的面积；（3）连 CD 交 AO 于点 F ,延长 CD 至 G ,使 FG 2,摸索究当点 D 运动到何处时,直线 GA与 e M 相切,并请说明理由y解 （1）抛物线 y3 3x 2 2 33 x 3 E C名师归纳总结 M 第 2 页,共 49 页- - - - - - -F精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载3 2 3x 2 x 1 33 33x 1 2 4 3 E 的坐标为 1,4 33 3 3（2）连 AC ；Q e
7、 M 过 A,O,C,AOC 90 o AC 为 e O 的直径而 OA 3,OC 3 r AC 3 S e M r 23 y2 E C（3）当点 D 运动到.OA 的中点时,直线 GA 与 e M 相切 M理由：在 RtACO 中,OA 3,OC 3 Q tanACO 3 3A FO B x3 DGACO 60 o,CAO 30 o Q 点 D 是.OA 的中点 . AD DO .ACGDCO 30 o OF OC g tan30 o 1,CFO 60 o在GAF 中,AF 2,FG 2AFGCFO 60 oAGF 为等边三角形GAF 60 oCAGGAFCAO 90 o 又 AC 为直径,
8、当 D 为.OA 的中点时, GA为 e M 的切线点评 此题将抛物线与圆放在同一坐标系中争论,因此数形结合的解题思想是不行缺少的,解第 3 小问时可以先自己作图来确定 D 点的位置；3（06 湖南永州卷）如图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD 交小圆于 M,N两点,大圆的弦AB 切小圆第 3 页,共 49 页于点 C ,过点 C 作直线 CEAD ,垂足为 E ,交大圆于 F,H两点（1）试判定线段AC 与 BC 的大小关系,并说明理由（2）求证： FC CHAE AO（3）如 FC,CH是方程x22 5x40的两根（ CHCF ）,求图中阴影部分图形的周长解 （1）相等AB ,故
9、 ACBC F B 连结 OC ,就 COC （2）由ACHFCB,得AC CBFC CHAC2,A M E O N D 又由ACEAOC,得AC2AE AOFC CHAE AOH （3）解方程得：CH51,CF51,CE5511,AC24,AC2,在 RtACE中,sinACE1,A30o,AOC60o,CON120oAC2在ACO中,COACtanA2323,33AOACo4 3,AMAOOM4 32 32 3,sin 603333名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 弧 CN 长1 32gAN4 3,AN优秀教案2 3欢迎下载2 32
10、3,AM2OC2933阴影部分周长ACCN .22 34 3 9点评 此题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相像、三角等几何重点学问；24. （06 辽宁卷）如图,已知 A 1 0,E 0,以点 A 为圆心,以 AO 长为半径的圆交 x 轴于另一点 B ,过点 B 作2BFAE 交 e A 于点 F ,直线 FE 交 x 轴于点 C （1）求证：直线 FC 是 e A 的切线；（2）求点 C 的坐标及直线 FC的解析式；（3）有一个半径与 e A 的半径相等,且圆心在 x 轴上运动的 e P如 e P 与直线 FC 相交于 M,N 两点,是否存在这样的点 P ,使PMN 是直角三角形如存在
11、,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由解 （1）证明：连结 AF y Q AEBF 1 3,4 2又 Q AB AF 3 4 1 2又QAOE AOAF,AFE AE AEAFE AOE 90 o B A O C x FC 是 e O 的切线F E （2）方法由（ 1）知 EF OE 22Q AEBF,AC CE OC 1 CE ,CE 2CO 2AB EF 1 2 2 22又QOE2OC2CE2,CE222CO22 CO22由解得OC0（舍去）或OC2,Q 直线 FC 经过E0,2,C2 0, 两点设 FC 的解析式：ykxb22kb20解得k2直线 FC 的解析式为y2x24bb242
12、22方法：QCF切eA于点 F ,AFCEOC90o2又ACFOCE ,COECFA,OECO2CO2即CEAFCF1CE22又OE2OC22 CE ,CE222CO22由解得CO0（舍去）或CO2C2 0（求 FC 的解析式同上） 方法 Q AEBF,ACCEOC1CECE2CO2ABEF12222名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载oQ FC 切 e A 于点 F ,AFC COE 90 ACE OCE ,COECFA2OEAF COCF,21CE CO2 CE 2 CO2 2 由解得：CO 2
13、, （求 FC 的解析式同上） 2（3）存在；当点 P 在点 C 左侧时,如 MPN 90 o ,过点 P 作 PH MN 于点 H ,Q MPN 90 o, PM PN ,PH PM cos45 o 222Q AF FC,PHAF,CPHCAF PH CP,2 CPAF CA 1 3CP 3 2,PO 3 2 2,P 2 3 2,02 2 2当点 P 在点 C 右侧 P 时,设 M P N 90 o ,过点 P 作 P QM N 于点 Q ,就 P Q 22P Q PH ,可知 P 与 P 关于点 C 中心对称,依据对称性得 y NOP OC CP 2 3 22 P 2 3 22,P O M
14、 Q 3 1 存在这样的点 P ,使得PMN 为直角三角形,B A 4 2 H N C P x E P 点坐标 2 3 2, 或 2 3 2, F M2 2点评 此题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第 3 小题时要留意分类争论,这是此题最简单失分的地方5. （06 辽宁沈阳卷）如图,在平面直角坐标系中,直线y3x1分别与 x 轴, y 轴交于点 A ,点 B 3（1）以 AB 为一边在第一象限内作等边ABC及ABC的外接圆eM（用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹）；（2）如eM与 x 轴的另一个交点为点D ,求 A , B , C , D 四点的坐标；P
15、 ,使ADP的面积等于ADC的（3）求经过 A , B , D 三点的抛物线的解析式,并判定在抛物线上是否存在点面积？如存在,请直接写出全部符合条件的点P的坐标；如不存在,请说明理由解 （1）如图,正确作出图形,保留作图痕迹（2）由直线y3 3x1,求得点 A 的坐标为3 0, ,点 B 的坐标为01,第 5 页,共 49 页在 RtAOB中,OA3,OB1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载AB 2, tanOBA OA3OBOBA 60 oOAB 90 oOBA 30 ooQABC 是等边三角形 CA AB 2,CAB
16、 60CADCABOAB 90 o 点 C 的坐标为 3 2, ,连结 BMQABC 是等边三角形MBA 1ABC 30 oOBMOBAMBA 90 o2OBBM 直线 OB 是 e M 的切线 OB 2OD OA 21 ODg 3 OD 3 点 D 的坐标为 3 03 3（3）设经过 A , B , D 三点的抛物线的解析式是 y a x 3x 33把 B 01, 代入上式得 a 1 抛物线的解析式是 y x 2 43 x 13存在点 P ,使ADP 的面积等于ADC 的面积点 P 的坐标分别为 P 1 2 3 21 2, ,P 2 2 3 21 2, 3 3点评 此题是一道综合性很强的压轴
17、题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量学问,第 3 小题是比较常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决；6.已知：抛物线M:yx2m1 xm2与 x 轴相交于A x 1,B x 2, 两点,且x 1x （）如 x x 2 0,且 m 为正整数,求抛物线 M 的解析式；（）如 x 1 1,x 2 1,求 m 的取值范畴；（）试判定是否存在 m ,使经过点 A 和点 B 的圆与 y 轴相切于点 C 0 2, ,如存在,求出 m 的值；如不存在,试说明理由；（）如直线:lykxb 过点F0 7, ,与（）中的抛物线M 相交于 P,Q两点,且使PF1,求直线 l 的解析FQ2
18、式解 （）解法一：由题意得,x x 2m20解得,m2Qm为正整数,m1yx21解法二：由题意知,当x0时,y02m10m20 以下同解法一）2m第 6 页,共 49 页m32,xm1m3,x 11,x2解法三：Qm124m22又Qx x20,x22m0m2（以下同解法一 ）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载0,（以下同解法三 ）x 解法四：令y0,即x2m1xm20,x1xm2mx 11,x 22（）解法一：y Qx 11,x 21,x 110,x 210x 11x 210,即x x 2x 1x 210OC0 2Qx 1
19、x 2m1,x x2m2m2m110解得m1m的取值范畴是m1解法二：由题意知,当x1时,O y1m1m20 解得：m1m 的取值范畴是m1解法三：由（）的解法三、四知,x 11,x22mQx 11,x 21,2m1,m1m 的取值范畴是m1（）存在名师归纳总结 解法一：由于过A,B两点的圆与y 轴相切于点C0 2, ,所以 A,B两点在 y 轴的同侧,x x 20第 7 页,共 49 页由切割线定理知,OC2OA OB, 即22x x 2x x 24,x x24.m24.m6解法二：连接 O B,O C圆心所在直线xbm11m,2 a22设直线x1m与 x 轴交于点 D ,圆心为 O ,就O
20、 DOC2,O COD12m2QABx2x 1m32m3,BDAB,BDm232在 RtO DB中,O D2DB2O B2即2 2m321m2解得m622（）设P x 1,y 1,Q x2,y2,就y 12 x 11,y2x212y 过 P,Q分别向 x 轴引垂线,垂足分别为P x 1,Q x2, 就PP 1FOQQ 1Q2所以由平行线分线段成比例定理知,POPF7 P 2OQ 1FQ因此,0x 11,即x 22x 1PQ 1x x 202- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载ABCD ,过 P,Q分别向 y 轴引垂线,垂足分别为P 20,
21、y 1,Q 20,y2,就PP 2QQ2所以FP PFQ QP FFPFQ2FQ72y 11212y 1y 212x 1 21x 2 21.2 x 14,x 12,或x 12y72322 x 142 x 11.2当x 12时,点P2 3, Q 直线 l 过P2 3,F0 7, ,7k0b,解得b7,3k2b .k2.当x 12时,点P 2 3, Q 直线 l 过P 2 3,F0 7, ,7k0b,解得b7,故所求直线 l 的解析式为：2.y2x7,或y2x73k 2b .k7. 如图,在平面直角坐标系中,已知点B 2 2 0, , A m, 2m0,以 AB 为边在 x 轴下方作正方形点 E
22、是线段 OD 与正方形 ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点,连结BE 与 AD 相交于点 F B, ,O（1）求证： BFDO；（2）设直线 l 是BDO的边 BO 的垂直平分线,且与BE 相交于点 G 如 G 是BDO的外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（ 2）的条件下,在抛物线上是否存在点P ,使该点关于直线BE的对称点在x 轴上？如存在,求出全部这样的点的坐标；如不存在,请说明理由y 解 （1）在ABF和ADO中,B l O x 第 8 页,共 49 页Q 四边形 ABCD 是正方形,ABAD,BAFDAO90oA 又QABFADO,ABFADO,BFDO C G
23、（ 2 ） 由 （ 1 ）, 有ABFADO,QAOAFm点F E F m,mD QG是BDO的外心,点 G 在 DO 的垂直平分线上点 B 也m222在 DO 的垂直平分线上DBO为等腰三角形,BOBD2AB 而BO22,AB2 2m22m,2 22 2 2m,F222 22 2a1 2,设经过 B, ,O三点的抛物线的解析表达式为y2 axbxc a0Q 抛物线过点O0 0, ,c0yax2bx 把点B2 2 0, ,点F222 22 2的坐标代入中,得02 22a2222b,2 2b .即2 2ab0,1.解得22 222a222 2abb2.名师归纳总结 - - - - - - -精选
24、学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载1 2抛物线的解析表达式为 y x 2 x 2（3）假定在抛物线上存在一点 P ,使点 P 关于直线 BE 的对称点 P 在 x 轴上Q BE 是OBD 的平分线,x 轴上的点 P 关于直线 BE的对称点 P 必在直线 BD 上,即点 P 是抛物线与直线 BD 的交点设直线 BD 的解析表达式为 y kx b ,并设直线 BD 与 y 轴交于点 Q ,就由BOQ 是等腰直角三角形y OQ OB Q 0,2 2l 把点 B 2 2 0, ,点 Q 0,2 2 代入 y kx b 中,得0 2 2 k b,k 1,B G A O x
25、2 2 b . b 2 2. F E C D Q 直线 BD 的解析表达式为 y x 2 2设点 P x 0,y 0,就有 y 0 x 0 2 2 1 2把代入,得 x 0 2 x 0 x 0 2 2,21x 0 22 1 x 0 2 2 0,即 x 0 22 2 1 x 0 4 2 02x 0 2 2 x 0 2 0解得 x 0 2 2 或 x 0 2当 x 0 2 2 时,y x 0 2 2 2 2 2 2 0；当 x 0 2 时,y 0 x 0 2 2 2 2 2在抛物线上存在点 P 1 2 2 0, ,P 2 2 2 2 2,它们关于直线 BE 的对称点都在 x 轴上8.在平面直角坐标
26、系 xOy 中,已知直线 l 1 经过点 A- 2,0和点 B0,2 3 ,直线 l 2 的函数表达式为 y 3 x 4 3,3 3 3l 1 与 l 2 相交于点 P C 是一个动圆,圆心 C 在直线 l 1 上运动,设圆心 C 的横坐标是 a过点 C 作 CMx 轴,垂足是点 M1 填空：直线 l 1 的函数表达式是,交点 P 的坐标是, FPB 的度数是；2 当 C 和直线 l 2 相切时,请证明点 P 到直线 CM 的距离等于 C 的半径 R,并写出 R= 3 2 2 时 a 的值 .3 当 C 和直线 l 2 不相离时, 已知 C 的半径 R= 3 2 2,记四边形 NMOB 的面积
27、为 S其中点 N 是直线 CM 与解 1 l 2的交点 S 是否存在最大值？如存在,求出这个最大值及此时P a 的值；如不存在,请说明理由y3 x 323P1,3 60o3- 3 l 2 - 1 y E x - 3 l 2 - 1 y 3 F P C3 2 1 F B C2 A B A - 2 1 E 1 O - 1 2 3 4 x - 2 O - 1 1 2 3 4 l1 l 1 第 24 题图甲 图 22设 C 和直线 l 2 相切时的一种情形如图甲所示,D 是切点,连接CD ,就 CD PD过点 P 作 CM 的垂线 PG,垂足为 G,就 Rt CDP Rt PGC PCD =CPG=3
28、0o,CP=PC, 所以 PG=CD=R名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载22时,a=1+R=321,或 a= - R- 1332当点 C 在射线 PA 上,C 和直线 l2 相切时, 同理可证 取 R=33 当 C 和直线 l2 不相离时,由 2知,分两种情形争论： 如图乙,当 0a3 2 1 时,S 1 2 3 3 a 4 3 a 3a 23 a,2 3 3 3 6当 a 3 3 时,（满意 a3 2 1）, S有最大值此时 S 最大值 3 3 3（或 9）2 3 4 3 2 2 36 6 当
29、3 3 2a 0 时,明显 C 和直线 l2 相切即 a 3 3 2 时, S最大此时1 2 3 3 4 3 3 3S 最大值 3 3 2 3 3 22 3 3 3 2综合以上和,当 a 3 或 a 3 3 2 时,存在 S 的最大值,其最大面积为 3 329. 如图 1,已知 RtABC 中,CAB 30 o,BC 5过点 A作 AEAB,且 AE 15,连接 BE 交 AC 于点 P （1）求 PA 的长；（2）以点 A 为圆心, AP 为半径作 e A,试判定 BE与 e A 是否相切,并说明理由；（3）如图 2,过点 C 作 CDAE,垂足为 D 以点 A 为圆心, r 为半径作 e
30、A；以点 C 为圆心, R 为半径作 e C如r 和 R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持 e A 和 e C 相切,且使 D 点在 e A 的内部, B 点在 e A 的外部,求r 和 R的变化范畴E P C E P C A B A 图 2 B 图 1 解 （1）Q 在 RtABC中,CAB30o,BC5,AC2BC10ePA AC3: 4,PA3 1015QAEBC,APECPBPA PCAE BC3:142（2） BE 与eA相切Q 在 RtABE中,AB5 3,AE15,tanABEAE153,ABE60o AB5 3A相切第 10 页,共 49 页又QPAB30o,ABEPAB9
31、0o,APB90oBE与（3）由于AD5,AB5 3,所以 r 的变化范畴为5r5 3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载当 e A 与 e C 外切时,R r 10,所以 R 的变化范畴为 10 5 3 R 5；当 e A 与 e C 内切时,R r 10,所以 R的变化范畴为 15 R 10 5 3点评 此题是一道比较传统的几何综合题,第 1 题运用相像三角形学问即可得解,第 2 小题也较基础, 第 3 小题留意要分类,试题中只说明白“e A 和 e C 相切” ,许多同学漏解往往是由于没有认真读题和审题；8,（06 江苏宿迁课改卷）设边长为 2a 的正方形的中心 A 在直线 l 上,它的一组对边垂直于直线 l,半径为 r 的 O 的圆心 O 在直线 l 上运动,点 A、O 间距离为 d（1）如图,当 ra 时,依据 d 与 a、r 之间关系,将O 与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r 之间关系 公共点的个数dardar ardar dar darAOl图 个；O 与正方形的公共点个数填入下表：所以,当ra 时, O 与正