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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲运算中的技巧目录 1 其次讲 行程问题 5 第三讲 工程问题 8 第四讲 图形的面积 17 第五讲 有理数 21 第六讲 有理数的加减法 24 第七讲 有理数的乘除法 28 第八讲 有理数的乘方 科学计数法 30 第九讲 整式 33 第十讲 一元一次方程 35 第十一讲 实际问题与一元一次方程 39 第十二讲 图形的初步熟悉 43第十三讲 角 45 第十四讲 相交线 平行线 51 第十五讲 平行线的性质 命题 定理 54第一讲 运算的技巧学问导航名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 43 页精选学习资料 - - - -
2、- - - - - 我们在进行运算时,除了娴熟把握好运算法就外,仍要通过观看和分析,找出题目中数的特点,合理、有效地进行运算；整数、小数与分数四就混合运 算常用的方法、技巧如下：1、运算法就：先乘除后加减；先算小括号,再算中括号；同级运算从左 到右依次运算；2、运算定律与性质： 3加法交换律：abba；加法结合律：ab ca bc；乘法交换律：abba乘法结合律：abca bc 乘法安排律：a bc abac减法的性质：abcabc 除法的性质：abcabc、敏捷运用通分和约分、分数、小数化成统一的形式再运算,一般是分数化成小数； 45、凑整法：运用运算定律,使式子中一些数凑成整十、整百或整千
3、的 数再运算；我们通常是利用运算律将一些数凑成整一、整十或整百再运算；6、分组分解法：利用交换律和结合律对式子进行分组求解,最终再综 合求解； 7、综合方法：运算比较复杂的式子时要多种方法一起用；重难点 运算法就和运算定律与性质的把握和应用；易错点 去括号是的变号法就,特殊是括号前是减号；精典例题例 1：11 61 121 201 301 421 561 721290思路点拨名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以上的每个分数的分母正好是相邻两个自然数的积,而且分子正好是分母 两个因数的差（ 1）,我们可以直接利用裂项
4、公式进行裂项产生加减抵消后化繁 为简；仿照练习11441771.19.75 1097100例 2：运算： 975 0.25+93764仿照练习3125364114 . 4445 89（ 2022 年成都育才网络班招生数学试题）371113725例 3：512 35 + 37137 + 4914 545仿照练习运算：851371126561 44 5（ 2022 年成都外国语学校本地生招生考试题）3867例 4：运算：12 3334 54531527394463456名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 仿照练习运算：（
5、15359 5）（11113191）1199339933我学到了什么：其次讲 行程问题学问导航 我们知道：距离 =速度 时间 很明显,只要知道其中两个数量, 就立刻可以求出第三个数量 . 从数学上说,这是一种最基本的数量关系,在学校的应用题中,这样的数量关系也是最常见的,例如：总量=每个人的数量 人数 . 工作量 =工作效率 时间 . 因此,我们从行程问题入手,把握一些处理这种数量关系的思路、方法和 技巧,就能解其他类似的问题 . 当然,行程问题有它独自的特点,在学校的应用题中,行程问题的内容最 丰富多彩,饶好玩味 . 它不仅在学校,而且在中学数学、物理的学习中,也是一名师归纳总结 - - -
6、 - - - -第 4 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个重点内容 . 因此,我们特别期望大家能学好这一讲,摸索方法和处理技巧 . 特殊是学会对一些问题的这一讲,用 5 千米 / 小时表示速度是每小时 5 千米,用 3 米/ 秒表示速度是 每秒 3 米 重难点 各种数量关系在实际习题中的把握和应用；易错点抓不住题目中的关键字、词、句,读不懂题目；精典例题例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6 千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早 10 分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已离城门9 千米,问学校到城门的距离是多少千米？
7、思路点拨 解：先运算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间 . 例 2 小张从家到公园,原准备每分种走50 米. 为了提早 10 分钟到,他把速度名师归纳总结 加快,每分钟走75 米. 问家到公园多远？. 第 5 页,共 43 页思路点拨 ：可以作为“ 追及问题” 处理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进,有一辆汽车要去追逐 . 假如速度是 30 千米 / 小时,要 1 小时才能追上；假如速度是 才能追上 . 问自行车的速度是多少？思路点拨拓展练习 35 千米/ 小时,要 40 分钟1、 上午 8 点 8 分,
8、小明骑自行车从家里动身,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方追上了他 . 然后爸爸立刻回家, 到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8 千米,这时是几点几分？2、小张从甲地到乙地步行需要36 分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12 分钟. 他们同时动身,几分钟后两人相遇？3、 小张从甲地到乙地,每小时步行5 千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4 千米. 两人同时动身,然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇,求甲、乙两地间的距离？ 4、 甲、乙两车分别从 A,B两地同时动身,相向而行, 6 小时后相遇于 C点.假如甲车速度不变,乙车每小时多行5 千米,且两
9、车仍从 A,B两地同时动身相向而行,就相遇地点距C点 12 千米；假如乙车速度不变,甲车每小时多行5 千米,且两车仍从 A,B两地同时动身相向而行, 就相遇地点距 C点 16 千米. 求 A,B两地距离 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我学到了什么：第三讲 工程问题 学问导航 在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工 程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本 数量关系是 工作量 =工作效率 时间 .在学校数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“
10、工程问 题”. 举一个简洁例子 . 一件工作,甲做 10 天可完成,乙做 15 天可完成 . 问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体,因此可以把工作量算作 位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“ 天” ,再依据基本数量关系式,得到 所需时间 =工作量 工作效率=6（天）两人合作需要 6 天. 1. 所谓工作效率,就是单 1 天就是一个单位,这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的很多例子都是从这一问题发 展产生的 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 重难点 各种数量关系在实际习题中的把握和应用；易错
11、点 抓不住题目中的关键字、词、句,读不懂题目；精典例题 例 1 一件工作,甲做 9 天可以完成,乙做 6 天可以完成 . 现在甲先做了 3 天,余下的工作由乙连续完成 . 乙需要做几天可以完成全部工作？例 2 一件工作,甲、乙两人合作30 天可以完成,共同做了6 天后,甲离开了,由乙连续做了 40 天才完成 . 假如这件工作由甲或乙单独完成各需要多少 天？例 3 某工程先由甲独做63 天,再由乙单独做28 天即可完成；假如由甲、乙两人合作,需 48 天完成 . 现在甲先单独做 42 天,然后再由乙来单独完成,那 么乙仍需要做多少天？甲先单独做 42 天,比 63 天少做了 63-42=21（天
12、）,相当于乙要做因此,乙仍要做 28+28= 56 （天） . 答：乙仍需要做 56 天.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5 一项工程,甲队单独做20 天完成,乙队单独做30 天完成 . 现在他们两队一起做,其间甲队休息了3 天,乙队休息了如干天 . 从开头到完成共用了16天. 问乙队休息了多少天？例 6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10 天,单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8 天,单独完成乙工作要20 天. 假如每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天？例 7 一件工
13、作,甲独做要12 天,乙独做要 18 天,丙独做要 24 天. 这件工作由甲先做了如干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的 3 倍,再由丙接着做, 丙做的天数是乙做的天数的 了多少天？拓展练习2 倍,最终做完了这件工作 . 问总共用 1、 有一些水管,它们每分钟注水量都相等 . 现在打开其中如干根水管,经过预定时间的 1 ,再把打开的水管增加 1 倍,就能按预定时间注满水池,假如开3始时就打开 10 根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池 . 问开头时打开了几根水管？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - -
14、 2、蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管. 要灌满一池水,单开甲管需 3 小时,单开丙管需要5 小时. 要排光一池水,单开乙管需要4 小时,单开丁管需要 6 小时,现在池内有池水,假如按甲、乙、丙、丁、甲、乙 的次序轮番打开 1 小时,问多少时间后水开头溢出水池？3、一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30 尺才能到达井口,每小时它总是爬3 尺,又滑下 2 尺. 问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 4、一个蓄水池,每分钟流入4 立方米水 . 假如打开 5 个水龙头, 2 小时半就把水池水放空,假如打开 8 个水龙头, 1 小时半就把水池水放空 . 现在打开 13个水龙头,问要多少时间才
15、能把水放空？ 5、一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的 . 打开 A管,8 小时可将满池水排空,打开C管,12 小时可将满池水排空 . 假如打开 A,B 两管, 4 小时可将水排空 . 问打开 B,C两管,要几小时才能将满池水排空？名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、 有三片牧场, 场上草长得一样密,而且长得一样快,它们的面积分别是31 亩、10 亩、24 亩,12 头牛吃完第一片牧场的草；321 头牛 9 星期吃完其次片牧场的草 . 问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草？我学到了什么
16、：第四讲 图形面积学问导航 用直线组成的图形,都可以划分成如干个三角形来运算面积 . 三角形面积的 运算公式是：三角形面积 = 底 高 2. 一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,它的面积是：当知道它的斜边长,它的面积是：直角边长的平方2. 斜边的平方4 精典例题 例 1 右图中 BD长是 4,DC长是 2,那么三角形 ABD的面积是三角形 ADC面积的 多少倍呢？例 2 右图中, BD,DE,EC的长分别是 2,4,2.F 是线段 AE的中点,三角形 ABC 的高为 4. 求三角形 DFE的面积 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 43 页精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - （阴影部分）的面积是多少？例 3 在边长为 6 的正方形内有一个三角形 BEF的面积 . BEF,线段 AE3,DF2,求三角形4、右图由六个等腰直角三角形组成 . 第一个三角形两条直角边长是 8. 后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积 . 解：从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直拓展练习1、如下图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形 ABC是等腰直角三角形, 那么图中阴影部分的总面积是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 43
18、页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度 AD7,BC3,三个角的度数：角 B 和 D是直角,角 A是 45 . 求这个四边形的面积 . 3、在右图 11 15 的长方形内,有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对） ,每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？ 4、从一块正方形土地中,划出一块宽为1 米的长方形土地（见图）,剩下的名师归纳总结 长方形土地面积是15.75 平方米 . 求划出的长方形土地的面积. 第 13 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
19、- 5、 如右图 . 正方形 ABCD与正方形 EFGC并放在一起 . 已知小正方形 EFGC的边长是 6,求三角形 AEG（阴影部分）的面积 . 6、下图中每个小正方形的边长为我学到了什么：1 厘米,求阴影部分的面积；第五讲 有理数正数和负数【学问导航 】1、像 3、2、0.8 这样大于 0 的数叫做正数；（依据需要,有时也在正数前面加正号“+” ；）2、像-1 、-4 、-0.6 这样在正数前面加负号“3、0 既不是正数也不是负数；- ” 的数叫做负数；4、带有正号的数不肯定是正数,同样带有负号的数不肯定是负数；5、有理数的定义：整数和分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数都是有名师归纳
20、总结 - - - - - - -第 14 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 理数,而无限不循环小数却不是有理数）6、有理数的分类：（1）按整数分数分类（2）按数的正负性分类有理数整数正整数.有理数正数正整数.零.分数正分数负整数正分数零负整数负分数负数负分数【数轴 】学问导航1. 数轴 数轴具有、2 = 三个要素；2. 数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做 a 的肯定值,如、 a = 3. 一般的,设 a 是正数,就数轴上表示a 的点在原点的 _边,与原点的距离是_个单位长度；表示 -a 的点在原点的 _边,于原点的距离是 _个 单位长度；【相反数】学问导航 1
21、. 像 2 和-2 、-5 和 5、2.5 和-2.5 这样,只有 _不同的两个数叫做互为相 反数 a 的相反数为 -a 2.0 的相反数是；一般地：如 a 为任一有理数,就 3. 相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除 0 外）分别在原点 O的两 边,并且到原点的距离相等；4. 互为相反数的两个数,和为 0；【肯定值】一、基础学问1. 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的_叫做数 a 的肯定值,记作a ；2. 一个正数的肯定值是；一个负数的肯定值是它的的3. 正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数；4. 两个负数,肯定值大的反而小；【任一个有理数 a 的绝值】 用 式子表示就是：（
22、1）当 a 是正数（即 a0）时, a = ；（2）当 a 是负数（即 a0）时, a = ；（3）当 a=0 时, a = . （一）正数和负数、 数轴、相反数、肯定值专项练习题名师归纳总结 一、细心选一选,慧眼识金！第 15 页,共 43 页1. 6 的相反数是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 以下说法正确选项（）A、正数、负数统称为有理数 B、分数、整数统称为有理数C、正有理数、负有理数统称为有理数 3以下都是无理数的是 D 、以上都不对A.0.07,2 3,3 4 B.0.7,5 ,4 C.2 ,6 , D.3.14,3 ,22 74
23、、任何一个有理数的平方 （）A肯定是正数 B 肯定不是负数 C 一定大于它本身 D 肯定不大于它的肯定值5. 有理数 2 2,2 2,| 2 3| ,A| 2 3| 2 21 2 2 2C1 2 22 2| 2 3| 21 按从小到大的次序排列是 2B2 21 2 2| 2 3| 2D1 2 2| 2 3| 2 226. 有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如下列图,就（）a b-1 0 1 Aa + b 0 Ba + b 0 Cab = 0 Dab0 7以下说法正确选项（）A、一个数的肯定值等于它本身,就这个数是正数B、一个数的肯定值等于它的相反数,就这个数是负数C、一个数的肯定值不行能等于
24、零D、一个数的肯定值不行能是负数8.a ab ab b0的全部可能的值有（） A.1个B.2 个C.3 个D.4 个二、耐心填一填,一锤定音！9. 把以下各数填在相应的横线里： 1,-4/5 ,8.9 ,-7 ,5/6 ,-3.2 ,+1008,-0.05 ,28,-9 名师归纳总结 正整数：负整数：第 16 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 正分数：负分数：10. 有理数中,最小的正整数是 11. 有理数中,是整数而不是正数的数是 是,12. （-2 ）的相反数是 . ,最大的负整数是,是负数而不是分数的数13. 某天上午的温度是 5
25、,中午又上升了 3,下午由于冷空气南下,到夜间又下降了 9,就这天夜间的温度是我学到了什么：第六讲 有理数的加减法学问导航有理数的加法法就：1. 同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；2. 肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加 数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值； 有理数加减法法就口诀记法 先定符号,再运算,同号相加不变号；异号相加“ 大” 减“ 小” ,符号跟着“ 大数” 跑；减负加正不混淆；3. 互为相反数的两个数相加得0. 4. 一个数同 0 相加,仍得这个数；5. 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： a+b+c=a+b+c 有理数的减法法就：减去一个数,等
26、于加上这个数的相反数；有理数的加减法练习题1. （1）15（ 22）（2）（13）（ 8）（3）（0.9 ）1.51 （4）12232. 运算：名师归纳总结 （1）29 （2）011（3）5.64.8 （4）4153第 17 页,共 43 页24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 运算：（1）4 134413 17（2）4231612146 .6171333244. 以下运算中正确选项（1 .58） D、2 .6 42 .6A、3.581 .583 .582 BC、02 572 5727131439 557、5555858405. （1）肯定值小于
27、 4 的全部整数的和是 _；（2）肯定值大于 2 且小于 5 的全部负整数的和是 _；6. 以下各式可以写成abc 的是（）A、a- b- c B C、a b c D、a b c 、a b c 7. 如 a ,3 b 2,就 a b _；8. 如 m n n m , m ,4 n ,3 就 m n _ 9.10 袋大米,以每袋 50 千克为准：超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重的记录如下： 0.5 ,0.3 ,0,0.2 ,0.3 ,1.1 ,0.7 ,0.2 ,0.6 ,0.7. 10 袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？ 10. 一个病人每天下午需要测量一次血压,下
28、表是该病人周一至周五高压变化情形,该病人上个周日的高压为160 单位；三四五星期一二高压的变化（与前一升 25 单位降 15 单位升 13 单位升 15 单位降 20 单位天比较）1 该病人哪一天的血压最高？哪一天血压最低？2 与上周比,本周五的血压是升了仍是降了名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我学到了什么：第七讲 有理数的乘除法 学问导航 有理数的乘法法就：1. 两数相乘,同号得正,异号得负；2. 任何数同 0 相乘,都得 0. 3. 乘积是 1 的两个数互为 倒数 ；4乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：
29、（ab）c=abc 乘法安排律： ab+c=ab+ac 有理数的除法法就：1. 除以一个不为 0 的数,等于乘以这个数的倒数；2. 两数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除；3. 0 除以任何一个不为 0 的数,都得 0. 有理数的运算次序,先算乘除,后算加减；二、学问题库 1. 填空：（1）5 （ 4）= ；（3）（-7 ） （ -1 ）= ；（2）（-6 ） 4= ；（4）（-5 ） 0 = ；（5）43；（6）12；92631 3（7）（-3 ）2. 填空：名师归纳总结 （1）279；（2）93= ；（3）19；2510第 19 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料
30、 - - - - - - - - - （4）07；（5）41 ；（6）0 .253343. 一个有理数与其相反数的积（）A、符号必定为正 B 、符号必定为负 C 、肯定不大于零 D 、肯定不小于零4. 化简以下分数：（1）16；2（2）12 ；48（3）54 ；6（4）9 . 0 3.5. 以下说法错误选项（）A、任何有理数都有倒数 B、互为倒数的两个数的积为 1 C、互为倒数的两个数同号 D、1 和-1 互为负倒数6. 假如 a b（b 0 的商是负数,那么（）A、a, 异号 B、a, 同为正数 C、a, 同为负数 D 、a, 同号7. 已知两个有理数 a,b ,假如 ab0,且 a+b0,
31、那么（）A、a0,b0 B、a0,b0 C、a,b 异号 D、a,b 异号,且负数的肯定值较大8. 如a0,求a 的值 aabcd2022m的值 9. 如 a,b 互为相反数, c,d 互为倒数, m的肯定值是 1,求我学到了什么： “ 奇负偶正” 的应用1、如下符号的化简（指 负号的个数与结果符号第八讲有理数的乘方科学计的关系）,如：- +-2= -22、连乘式的积（指负因数法数的个数与结果符号的关系）,如：【有理数的乘除法】-1-2 -3+4=-24 -1-2 -3-4=24 名师归纳总结 3、负数的乘方 指乘方第 20 页,共 43 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问导航1. 求几个相同因数的积的运算,叫做有理数的乘方；即： a n=aa a 有 n 个 a 2. 从运算上看式子 a ,可以读作. ；从结果上看式子a 可以读作【科学计数法】【近似数及有效数字】学问导航 1. 把一个大于 10 的数记成 a 10 n 的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 ,叫做科学记数法 . 2. 对一个近似数,从左边第一个不是 都称为这个近似数的有效数字；二、【有理数的乘除法】学问题库0 的数字起,到末位数字止,全部