《2022年2022年集合与函数经典题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年集合与函数经典题 .pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、集合与函数经典题1 设集合 A = (x ， y)|y2x1= 0 ， 集合 B =(x ， y)| 4x22x2y5 = 0 ， 集合 C =(x ，y)| y = kx b ，是否存在 k，bN，使得()ABC？若存在，请求出k，b 的值；若不存在，请说明理由2 已知一个 4 元集合 S的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则 S 的元素之和等于_ 3非空集合G 关于运算 + 满足，对任意a、bG，都有 a+bG；存在Ge，使对一切Ge都有 a + e=e + a=a，则称 G 关于运算 + 的融洽集，现有下列集合和运算：（1）G= 非负整数 ，+ 整数的加法（2
2、）G= 偶数 ， + 整数的中法（3）G= 平面向量 ， + 平面向量的加法（4）G= 二次三项式 ， + 多项式加法其中为融洽集的为（写出所有符合题意的序号）4 集合1412ZkkYZnnX与之间的关系是 _。5若实数a为常数，且axaxxAa则,1112_。6设集合3722|Axx，121Bx mxm，若BA，则实数m的取值范围7设A 是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么k是 A的一个“孤立元” ，给定1,2,3,4,5,6,7,8,S，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个. 8之间的关系是与集合,4|,42|ZkkxxpZkkxxMP(
3、D)MP.(C)MP.(B)M)(PMA9 设集合5 ,101 ,MxZ xNxZx则MN中的元素的个数是A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 10 如果集合ZnnxxS, 12|，ZkkxxT, 14|，则A.TSB.STC.S = T D.ST 11已知 ab0,U=R, 集合,|,2|axabxNbaxbxMabxbxP|则A.)(NCMPUB.NMCPU)(C.NMPD.NMP12已知集合05axxA，06bxxB,Nba,，且2 ,3 ,4ABN，则整数对ba,的个数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
4、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - - A.20 B. 25 C. 30 D. 42 13已知函数y=f(x)(a xb)，则集合 (x,y)| y=f(x),a xb(x,y)|x=0 中含有元素的个数为A.0 B.1 或 0 C.1 D.1 或 2 14 若集合 Px x3m1，mN* ，Qy y5n2，nN* ，则 PQA.x x15k7，kN* B.x x15k8，kN* C.x x15k8，kN* D.x x15k7，kN* 15设函数 f(x)=,MxxPxx其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定
5、f(P)=y|y=f(x),xP,f(M)=y|y=f(x),xM. 给出下列四个判断: 若 PM=,则 f(P)f(M)= ; 若 P M,则 f(P)f(M)= ; 若 PM=R,则 f(P)f(M)=R; 若 PMR,则 f(P)f(M) R. 其中正确的判断有A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个16设集合S=A0 ，A1，A2 ，A3 ，在 S上定义运算为： A1A=Ab, 其中 k 为 i+j 被 4除的余数， i,j=0,1,2,3. 满足关系式（ xx）A2=A0 的 x(xS)的个数为A.4 B.3 C.2 D.1 17已知集合|50 ,|60 , ,AxxaBxxba b
6、N，且2 ,3 ,4ABN，则整数对（ a, b）的个数为A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 18关于 x 的不等式 (mx-1)(x-2)0 ，若此不等式的解集为x|m1x0 B.0m21D.m0 时， f(x)1 ，且对任意的a、bR，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - f(a+b)=f(a)f(b) ，（1）求证： f(0)=1 ； （2）求证：对任意的xR，恒有 f(x)0 ；（3）证明： f
7、(x) 是 R 上的增函数；（4）若 f(x) f(2x-x2)1 ，求 x 的取值范围。30已知函数)(xf满足下列条件：函数)(xf的定义域为 0，1；对于任意且,0)(,1 ,0 xfx1)1 (, 0)0(ff；对于满足条件1, 0, 02121xxxx的任意两个数).()()(,212121xfxfxxfxx有（1）证明：对于任意的)()(, 10yfxfyx有；（2）证明：于任意的xxfx2)(, 10有；（3）不等式xxf9.1)(对于一切 x0，1都成立吗？试说明理由. 31 已知定义在0,1的函数( )f x同时满足以下三条： 对任意的0,1x， 总有( )0f x；(1)1
8、f；当12120,0,1xxxx时，总有1212()()()f xxf xf x成立32已知函数f（x）的定义域为 x| x k ，k Z ，且对于定义域内的任何x、y，有 f（x y） = f (x)f (y) 1f (y) f (x)成立，且f（a） = 1（a 为正常数），当 0 x 0 （I）判断 f（x）奇偶性；（II）证明 f（x）为周期函数； （III ）求 f （x）在2a，3a 上的最小值和最大值33已知集合M是满足下列性质的函数( )f x的全体 , 存在非零常数T, 对任意Rx, 有()( )f xTTfx成立 . (1) 函数( )f xx是否属于集合M? 说明理由 ;
9、 (2) 设( )f xM, 且2T, 已知当12x时 , ( )lnf xxx, 求当32x时, ( )f x的解析式 . 34已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x. （1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；（2）如果21x，212xx，求b的取值范围 . 35定 义在（， +）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）在区间（，0上的图像关于x 轴对称，且f（x）为增函数，则下列各选项中能使不等式f（b） f（ a）g（a）g（ b）成立的是（）Aab0 Bab0 Dab0 时， 0f（x） 0 时，方程 f(
10、x)0 只有一个实根f(x) 的图象关于 (0 ， c) 对称方程 f(x) 0 至多两个实根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - - 其中正确的命题是（）A B C D52 已 知 集 合0|2qpxxxA， 01|2pxqxxB同 时 满 足 BA， 2BCAR，其中 p、q 均为不等于零的实数，求p、q 的值。53已知奇函数222 (0)( )0(0)(0)xx xf xxxmx x（1）求实数 m 的值，（2）若
11、函数 f（x）在区间 1，|a|2上单调递增，试确定a 的取值范围 . 54已知函数xaaaxf2112)(，常数0a。（1）设0nm，试用定义证明：函数)(xf在nm，上单调递增；（2）设nm0且)(xf的定义域和值域都是nm，求mn的最大值。55某民营企业生产A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将 A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。（2）该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元投资，才
12、能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1 万元） 。56对于函数)0(2) 1()(2abxbaxxf，若存在实数0 x，使00)(xxf成立，则称0 x为)(xf的不动点当a2，b 2 时，求)(xf的不动点；若对于任何实数b，函数)(xf恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - 在的条件下，若)(xfy的图象上A、 B两点的横坐标是函数)(xf的不动点，且直线
13、1212akxy是线段 AB的垂直平分线，求实数b 的取值范围57已知函数)(xfy的图象与函数xay（0a且1a） 的图象关于直线xy对称，记 1)2()()()(fxfxfxg若)(xgy在区间2,21上是增函数，则实数a的取值范围是（）A),2B)2, 1() 1 ,0(C)1 ,21D21,0(58设 f(x)=3ax0.22cbacbx若,f(0) 0，f(1)0，求证：()a0 且-2ba-1；()方程 f(x)=0 在（ 0，1）内有两个实根. 59已知二次函数y=f1(x) 的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x) 的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,
14、f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数 f(x) 的表达式；(2) 证明 :当 a3 时 ,关于 x 的方程 f(x)= f(a) 有三个实数解 . 60 设 二 次 函 数)0,()(2aRcbacbxaxxf满 足 条 件 ： Rx时)2()4(xfxf，且xxf)(；当)2,0(x时，2)21()(xxf；)(xf在 R 上的最小值是0。求)(xf的解析式61已知定义域为R 的函数( )f x满足22( )( ).ff xxxf xxx（I）若(2)3f，求(1)f;又若(0)fa，求( )f a; （II）设有且仅有一个实数0 x，使得00()f xx，求函数( )f
15、x的解析表达式62对于函数f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”，若xxff)(，则称 x 为 f(x)的 “稳定点”， 函数 f(x) 的 “不动点”和 “稳定点”的集合分别记为A和B， 即xxfxA)(|，)(|xxffxB.(1). 求 证 ： AB； (2).若),(1)(2RxRaaxxf， 且BA，求实数a 的取值范围 . 63 定义在集合 A 上的函数 f(x)满足：对任意的 x1, x2A 都有)()(21)2(2121xfxfxxf,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
16、心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - 则我们称函数)(xf是 A 上的凹函数 .（1）试判断)(xf=3x2+x 是否是 R 上的凹函数？（2）若函数)(xf=ax2+x 是 R 上的凹函数，求实数a的取值范围 . 64已知)(xf是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则)2(Tf（A）0 （B）2T（ C）T（D）2T65已知函数)(xf是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1 () 1(xfxxxf，则)25(f的值是（）A. 0 B. 21C. 1 D. 2566)(xf是定义在
17、 R 上的以 3 为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是A5 B4 C3 D2 5 67函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( ) (A) ( )f x是偶函数(B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)f xf x(D) (3)f x是奇函数68已知定义在R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数 ,则( ). A.( 25)(11)(80)fffB. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fffD. ( 25)(80)(11)fff69已
18、知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx1( )3f的 x 取值范围是（）（A） （13，23） (B) 13，23） (C)（12，23） (D) 12，23）70定义在区间 (-,+)的奇函数 f(x) 为增函数；偶函数g(x)在区间 0,+)的图象与 f(x)的图象重合 .设ab0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);(a)-f(-b)0 时， f(x)1，且对任意的a、bR ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证： f(0)=1 ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
19、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - （2）求证：对任意的xR，恒有 f(x)0；（3）证明： f(x)是 R上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。79已知函数( )f x,( )g x，对任意的, x yR有()( ) ( )( )( )f xyf x g yg x f y且(1)0f（1）求证：( )f x为奇函数（2）若(1)(2)ff， 求(1)( 1)gg的值80函数)(xf对任意实数yx ,恒有)()()(yfxfyxf且当 x0 .
20、2)1(.0)(fxf又(1) 判断)( xf的奇偶性； (2) 求)( xf在区间 3,3 上的最大值；(3) 解关于x的不等式. 4)()(2)(2axfxfaxf81定义在R 上的函数 f（x）对任意实数a、b 都有 f（a+b）+ f（ab）=2 f（a） f（b）成立，且f ( )00。（1）求 f（0）的值；（2）试判断 f（x）的奇偶性；（3）若存在常数c0 使fc()20，试问 f（x）是否为周期函数？指出它的一个周期82已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足：f xxf xf xf xf x()()()()()1212211，且存在正常数a，使 f（a）=1 求证：（1
21、）f（x）是奇函数； （2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a 83设函数( )fx对于任意, x y都有()( )( )f xyf xf y成立，且(1)2f，当0 x时，( )0f x。（1）判断 f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当 -2003 x2003时，( )f x是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于x的不等式2211()( )()( )22f bxf xf b xf b，其中22b. 84设)(xf是定义域在 1, 1上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l ）求证)(xf在 1, 1上是减函数；（ll ）如果)(cxf，)
22、(2cxf的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；（lll）证明若21c，则)(cxf，)(2cxf存在公共的定义域，并求这个公共的空义域 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 33 页 - - - - - - - - - 85已知函数f(x)= 1)(1)(xgxg, 且 f(x),g(x)定义域都是R,且 g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数 . g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证： f(x)是 R上的增函数86 .f(
23、x) 是R 上的函数，f(1)=1, 且对任意x R 都有f(x+5) f(x)+5,f(x+1) f(x)+1. 若g(x)=f(x)+1-x, 求 g(2002) 87定义域为 R的函数 f(x) 满足：对于任意的实数x，y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0时f(x) 0恒成立 .(1)判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明 f(x) 为减函数；若函数f(x) 在-3，3）上总有 f(x) 6成立，试确定 f(1)应满足的条件；)0a,n(),a(f)xa(fn1)x(f)ax(fn1x)3(22是一个给定的自然数的不等式解关于88设函数( )f x在
24、(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间 0，7上，只有(1)(3)0ff（）试判断函数( )yf x的奇偶性；（）试求方程( )f x=0 在闭区间 -2005 ，2005 上的根的个数，并证明你的结论89设f x( )定义在 R上且对任意的x有f xf xfx( )()()12，求证：fx( )是周期函数，并找出它的一个周期。90己知函数f （x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f （a） 1（a0，a 是定义域中的一个数）；当0 x2a 时， f （x） 0。试问：（ 1）f （x）的奇偶性如何？说明理由。 2 ）在（ 0，4a）
25、上,f （x）的单调性如何？说明理由。91若)(nf为*)( 12Nnn的各位数字之和，如：1971142，17791，则17)14(f;记)8(*,),()(,),()(),()(20081121fNknffnfnffnfnfnfkk则_ 92在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2。则函数fxxxxx( )()()1222，的最大值等于（）（ “ ”和“”仍为通常的乘法和减法）A. 1B. 1 C. 6 D. 12 93用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用 x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
26、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 33 页 - - - - - - - - - 上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为21( )1f xx（）试解释(0)f的实际意义；（） 现有 a （a0）单位量的水， 可以清洗一次， 也可以把水平均分成2 份后清洗两次 哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由94定义运算xy=)()(yxyyxx，若 |m 1|m=|m1|，则 m 的取值范围是95在 R 上定义运算：xy=x(1 -y) 若不等式 (x-a) (x+a)0 时，得 x4，2440
27、422 144xxPPxxPxx当 P=0 时，不等式404Px不成立，解集为当2044010,04PxxPPx时即原不等式化为22 122 1PxP29解：（1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2 f(0) 0 f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) )x(f1)x(f由已知 x0 时， f(x)10 ，当 x0， f(-x)0 0)x(f1)x(f又 x=0 时， f(0)=10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，
28、共 33 页 - - - - - - - - - 对任意 xR，f(x)0 (3)任取 x2x1，则 f(x2)0 ，f(x1)0 ，x2-x10 1)xx(f)x( f)x(f)x(f)x(f121212 f(x2)f(x1) f(x) 在 R 上是增函数（4）f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又 1=f(0) ，f(x) 在 R 上递增 由 f(3x-x2)f(0) 得： x-x20 0 x3 30 （1）证明：对于任意的,10yx),()()()()(0)(, 10 xfxfxyfxxyfyfxyfxy所以可得则即对于任意的).()(, 10yfxfy
29、x有,5 分（2）证明：由已知条件可得).(2)()()2(xfxfxfxf.)(21,21,2)(,1 ,0.2)(,0, 020) 0(,0*10000上一定在某个区间则使得假设存在时即当时当Nkxxxfxxxfxfxkk.2)(,1 ,0,. 12)2(, 1)1()2(, 12, 1221,21,21.2)2(,8)4(,4)2(.1 ,02,4,2,21,2100000101001100010000010010 xxfxxxffxfxxxxxfxxfxxfxxxxkkkkkkkkkkkk使得因此不存在从而得到矛盾又所以且可知由则内均在区间则设所以对于任意的.2)(, 10 xxfx有
30、,10 分（3）解：取函数.121, 1,210, 0)(xxxf则)(xf显然满足题目中的（1） ， （2）两个条件，任意取两个数, 1, 0,0,212121xxxxxx使得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 33 页 - - - - - - - - - ,1,2121, 0,),()(0)(,21,0,21212121中一个和分别属于区间若则若xxxfxfxxfxx.969.051.09.11)51.0(.)(,1 ,21,),()(1)(212121
31、fxfxxxfxfxxf而满足题目中的三个条件综上可知不可能都属于而则即不等式. 1 , 09. 1)(都成立并不对所有 xxxf31、解：（1）函数( )21xg x在区间0,1上是否同时适合？并说明理由；（2）假设存在0,1a，使得( )0,1f a且( )ff aa，求证：( )f aa（1）显然( )21xg x，在 0，1满足( )0g x；满足(1)1g；对于，若12120,0,1xxxx，则121212121212()()()2121212221xxxxxxxxg xxg xg x21(21)(21)0 xx故( )g x适合（2）由知，任给0,1m n、时，当mn时，()( )
32、()f mf nf mn由于01,0,1nmmn，()( )()0f mf nf mn所以()( )f mf n若( )af a，则( )( )f aff aa前后矛盾若( )af a，则( )( )f aff aa前后矛盾故( )af a得证32解：（1）定义域 x| x k ，kZ 关于原点对称，又f（x）= f （ a x）a= f (ax) f (a)1f (a)f (ax)= 1f (ax)1f (ax)= 1f (a)f (x) 1f (x) f (a)1f (a)f (x) 1f (x) f (a)= 11f (x)f (x) 111f (x)f (x) 1= 2f (x)2=
33、f （x） ，对于定义域内的每个x 值都成立 f（x）为奇函数（ 2）易证： f（x + 4a） = f（x） ，周期为 4a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 33 页 - - - - - - - - - （3）f（2a）= f（a + a）= f a （ a）= f (a)f (a)1f (a)f (a)= 1f 2(a)2f (a)= 0，f（3a）= f（2a + a）= f 2a （ a）= f (2a)f (a)1f (a)f (2a)= 1f
34、(a)= 1先证明 f（x）在 2a，3a上单调递减为此，必须证明x（ 2a，3a）时，f（x） 0，设 2a x 3a，则 0 x 2a 0， f（x） 0- 设 2a x1 x2 3a ，则 0 x2 x1 a， f（x1） 0 f（x2） 0， f（x1） f（x2）= f (x1)f (x2)1f (x2 x1) 0， f（x1） f（x2） ， f （x）在 2a，3a上单调递减 f（x）在 2a，3a上的最大值为f（2a = 0，最小值为f（3a）= 1 33、解 : (1) 假设函数( )f xx属于集合M, 则存在非零常数T, 对任意xR, 有()( )f xTTfx成立 ,
35、即: xTTx成立 . 令0 x, 则0T, 与题矛盾 . 故( )fxM. (2) ( )f xM, 且2T, 则对任意Rx, 有(2)2( )f xfx, 设32x, 则142x, 11( )(2)(4)24f xfxf x当12x时, ( )lnf xxx, 故当32x时, 1( )4ln(4)4f xxx. 34设1) 1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x。（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224,043233aabaab两式相加得12ab，所以，10 x；（2）由aabxx4)1()(2221,
36、可得1)1(122ba。又0121axx，所以21, xx同号名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 33 页 - - - - - - - - - 21x，212xx等价于1) 1(1220221baxx或1)1(1202212baxx, 即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b。35 A 36A 37C 38 C 39)1(21)(23xxxxxf40A 412142720 或 144043()( )
37、fxf x0c5(1)217(2)4ff5217224abba212ab由（ 1）问可得1( )22f xxx1( )22f xxx在区间（ 0，0.5 ）上是单调递减的证明：设任意的两个实数12102xx21121212121221121211()()()2()2()222()(14)2xxf xf xxxxxxxxxxxx xx x又12102xx120 xx12104x x，12140 x x12()()0f xf x1( )22fxxx在区间（ 0， 0.5 ）上是单调递减的44令0yx，得2)0()0(ff，即有0)0(f或1)0(f。若0)0(f，则0)0()()0()(fxfxf
38、xf，对任意Rx均成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故0)0(f，必有1)0(f。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 33 页 - - - - - - - - - 由于)()()(yfxfyxf对任意Ryx、均成立，因此，对任意Rx，有0)2()2()2()22()(2xfxfxfxxfxf下面来证明，对任意0)(xfRx，设存在Rx0，使得0)(0 xf，则0)()()()0(0000 xfxfxxff这与上面已证的0)0(f矛
39、盾，因此，对任意0)(xfRx，所以0)(xf45增46偶47 （1）在)()()(nfmfnmf中，令01nm，得)0() 1()1 (fff，因为0) 1(f，所以1)0(f。在)()()(nfmfnmf中，令xnxm，因为当0 x时，1)(0 xf所以当0 x时1)(00 xfx，而1)0()()(fxfxf所以01)(1)(xfxf又当 x=0 时，01)0(f，所以，综上可知，对于任意Rx，均有0)(xf。设21xx，则1)(001212xxfxx，所以)()()()()(11211212xfxxfxfxxxfxf所以)(xfy在 R 上为减函数。（2）由于函数y=f （x）在 R
40、上为减函数，所以)1 ()()()(2222fyxfyfxf即有122yx又)0(1)2(fyaxf，根据函数的单调性，有02yax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 33 页 - - - - - - - - - 由BA， 所 以 直 线02yax与 圆 面122yx无 公 共 点 。 因 此 有1122a，解得11a。48 C 49A 50B 51 C 52解：条件是说集合A、B 有相同的元素，条件是说-2 A 但B2， A、B是两个方程的解集，方程02q
41、pxx和012pxqx的根的关系的确定是该题的突破口。设Ax0，则00 x，否则将有q=0 与题设矛盾。于是由0020qpxx，两边同除以20 x，得011)1(020 xpxq，知Bx01，故集合 A、B中的元素互为倒数。由知存在Ax0，使得Bx01，且001xx，得10 x或10 x。由知 A=1，-2 或 A=-1 ，-2 。若 A=1，-2 ，则21,1B，有. 2)2(1; 1)21(qp同理，若 A=-1 ，-2 ，则21, 1B，得 p=3，q=2。综上， p=1，q=-2 或 p=3，q=2。53 （1）当x0，xxxxxf2)(2)()(22又 f（x）为奇函数，2()( )
42、2fxf xxx， f（x） x22x， m2 y f（x）的图象如右所示（2）由（ 1）知 f（x）)0(2)0(0)0(222xxxxxxx，由图象可知，)(xf在1，1上单调递增，要使)(xf在1，|a|2上单调递增，只需12|12|aa解之得3113aa或54、解： （1）任取1x，,2nmx，且21xx，21212211)()(xxxxaxfxf，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 33 页 - - - - - - - - - 因为21xx，1x
43、，,2nmx，所以021xx，即)()(21xfxf，故)(xf在,nm上单调递增。（2）因为)(xf在,nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是,nmnnfmmf)(,)(，即nm,是方程xxaaa2112的两个不等的正根01)2(222xaaxa有两个不等的正根。所以04)2(222aaa，0222aaa21a。55 （1）投资为x万元， A产品的利润为)(xf万元， B产品的利润为)(xg万元，由题设)(xf=xk1，)(xg=xk2，. 由图知41)1 (f411k，又25)4(g452k从而)(xf=)0( ,41xx，)(xg=x45，)0(x（2）设 A产品投入x万元，则 B产
44、品投入 10-x万元，设企业的利润为y 万元Y=)(xf+)10(xg=xx10454， （100 x） ，令),100( ,1625)25(4145410,1022ttttytx则当25t，4maxy，此时42510 x=3.75 当 A产品投入 3.75 万元， B产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润约为4 万元。56、解),0(2)1()(2abxbaxxf（1）当 a2，b 2 时，.42)(2xxxf设 x 为其不动点，即.422xxx则.04222xx)(. 2, 121xfxx即的不动点是 1，2（2）由xxf)(得：022bbxax由已知，此方程有相异二实根，0 x恒成
45、立，即.0)2(42bab即0842aabb对任意Rb恒成立.2003216.02aaab（3） 设),(),(2211xxBxxA， 直线1212akxy是线段 AB的垂直平分线，1k记 AB的中点).,(00 xxM由（ 2）知,20abx.12122,12122aababakxyM上在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 33 页 - - - - - - - - - 化简得：22(421221121122aaaaaaab当时，等号成立） 即 0.42b5
46、7 D 58 （I）因为(0)0,(1)0ff，所以0,320cabc. 由条件0abc，消去b，得0ac；由条件0abc，消去c，得0ab，20ab. 故21ba. （II ）抛物线2( )32f xaxbxc的顶点坐标为23(,)33bacbaa，在21ba的两边乘以13，得12333ba. 又因为(0)0,(1)0,ff而22()0,33bacacfaa所以方程( )0f x在区间(0,)3ba与(,1)3ba内分别有一实根。故方程( )0f x在(0,1)内有两个实根 . 59 (1)由已知 ,设 f1(x)=ax2, 由 f1(1)=1, 得 a=1, f1(x)= x2. 设 f2
47、(x)=xk(k0), 它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k,k)B(k,k) 由AB=8,得 k=8,. f2(x)=x8.故 f(x)=x2+x8. (2) 【证法一】 f(x)=f(a), 得 x2+x8=a2+a8, 即x8=x2+a2+a8. 在同一坐标系内作出f2(x)=x8和f3(x)= x2+a2+a8的大致图象 ,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、 三象限的双曲线 , f3(x) 的图象是以 (0, a2+a8)为顶点 ,开口向下的抛物线. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
48、 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 33 页 - - - - - - - - - 因此 , f2(x) 与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即 f(x)=f(a) 有一个负数解 . 又 f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+a8当 a3 时,. f3(2) f2(2)= a2+a880, 当 a3 时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2) 在 f2(x) 图象的上方 . f2(x) 与 f3(x) 的图象在第一象限有两个交点,即 f(x)=f(a) 有两个正数解 . 因此 ,方程 f(x)=f(a) 有三个实数解 . 【证法二】由f(x)=
49、f(a), 得 x2+x8=a2+a8, 即(xa)(x+aax8)=0,得方程的一个解x1=a. 方程 x+aax8=0 化为 ax2+a2x 8=0, 由 a3,=a4+32a0,得x2=aaaa23242, x3=aaaa23242, x20, x1 x2,且 x2 x3. 若 x1= x3,即 a=aaaa23242,则 3a2=aa324, a4=4a, 得 a=0 或 a=34,这与 a3 矛盾 , x1 x3. 故原方程有三个实数解. 60412141)(2xxxf6122222)()2)(2)222322,(1)1f(0)=a,f(00)00,()xfxxxffaafaa222
50、解：(I)因为对任意xR, 有 f(f(x)-x所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得 f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)( )( ).(),( )()()0( )0( )xRff xxxf xxxxf xxxRf xxxxxxf xxxxf xxxxxxxf xxxf xx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1若=0，则，即2022020( )1,( )1.( )1 ()xxxxxxf xxxf xxxf xxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件