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1、13.2奇 偶 性1函数的奇偶性(1)定义奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做奇函数偶函数：设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有，则这个函数叫做偶函数xD，且f(x)f(x)xD，且g(x)g(x)(2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数坐标原点坐标原点y轴y轴(3)判断奇偶性f(x)|x|；f(x)x2
2、(x1)；f(x)|x1|x1|.答案偶既是奇函数，又是偶函数非奇非偶奇2用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数0 0 奇 本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数yf(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函
3、数既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)0，但f(x)0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件奇函数yf(x)若在x0处有定义，则一定有f(0)0.综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间a，b和b，a上有相同的单调性；偶函数在区间a，b和b，a上有相反的单调性(ab0)有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断例1判断下列函数的奇偶性分析利用函数奇偶性定义来判
4、断 f(x)为奇函数(2)f(x)定义域为R，且f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为偶函数(3)定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)为偶函数(4)定义域为(，)，f(x)2x1，f(x)f(x)且f(x)f(x)，f(x)为非奇非偶函数(5)定义域为1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数f(x)为偶函数判断函数f(x)|xa|xa|(aR)的奇偶性解析f(x)的定义域为R，当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，f(x)为奇函数，当a0时，有f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数.例2已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x
5、0时，f(x)x22x3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间分析由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式解析函数f(x)的图象关于原点对称f(x)为奇函数，则f(0)0，设x0，则x0，x0时，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3于是有：先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象如下图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.答案x1解析x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.
6、例3已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？分析由函数的奇偶性进行转化解析设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1)又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)于是f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数点评由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小结果为_(2)如果奇函数f(x)在区间1,6上是增函数，且最
7、大值为10，最小值为4，那么f(x)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值答案(1)f(5)f(3)解析(1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)，f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3)(2)设6x1x21，则1x2x16，f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10，又f(x)为奇函数，4f(x2)f(x1)10，10f(x1)f(1)解析(1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，必过点(2，1)和(4，2)，f(4)f(2)(2)(1)2.(2)偶函数
8、f(x)满足f(3)f(1)，f(3)f(1)点评(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.辨析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性一、选择题1下列函数不具备奇偶性的是()答案C2下列命题中真命题的个数为()(1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0则f(x)是奇函数(2)对f(x)的定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数A1 B2 C3 D4答案D解析四个命题都正确，故选D.3若函数yf(x)为
9、奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f(a)答案D解析f(a)f(a)，点(a，f(a)在yf(x)的图象上，故选D.4已知yf(x)是奇函数，且方程f(x)0有六个实根，则方程f(x)0的所有实根之和是()A4 B2 C1 D0答案D解析奇函数的图象关于原点对称，方程f(x)0的六个根，即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，和为0.5已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在(5，2)上是()A增函数B减函数C部分为增函数，部分为减函数D无法确定增减性答案A解析f(x)(m1)x22mx3为偶函数，m0，f(x)x23，因此f(x)在(5，2)上为增函数，故选A.6偶函数yf(x)在区间4，1是增函数，下列不等式成立的是()Af(2)f(3) Bf()f()答案D二、解答题7判断下列函数的奇偶性解析(1)为偶函数xQ时，xQ，f(x)1f(x)同理，x为无理数时，x也为无理数f(x)1f(x)，f(x)为偶函数(2)奇函数f(x)|2x1|2x1|2x1|2x1|f(x)，f(x)为奇函数(3)偶函数f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数