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1、1当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数2(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中有 确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集合A到B的映射，记作.分段函数唯一任何f：AB(2)给定一个集合A到集合B的映射时，aA，bB如果b和a对应，那么我们把元素b叫做，元素a叫做b的象原象本节重点：分段函数概念的理解；映射定义理解本节难点：函数图象的画法；分段函数的理解应用；用映射理解
2、函数的定义(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大(小)者研究分段函数常借助图象进行(2)映射f：AB包含三个要素：原象集合A，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合对应法则f可用文字表述，也可以用符号表示映射是一种特殊的对应，它具有：方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中的每一个元素都有原象；唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多”但可以“多对一”分析图象法
3、是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图总结评述：函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点 答案B 例2设f：MN是集合M到集合N的映射，下列说法中正确的是()AM中每一个元素在N中必有元素与之对应BN中每一个元素在M中必有元素与之对应CM中的元素在N中可以有不同元素与之对应DN中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的分析根据映射的定义判断解析在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应，所以B是
4、错误的；又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对一”，因此D也是错误的M中元素的象是惟一的，故C错，选A.答案B分析判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟一的元素和它对应解析在A中，当x3时，|x3|0，于是A中有一个元素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射；B符合定义，故选B.例3已知集合AB(x，y)|x、yR，给定映射
5、f：AB，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(xy，xy)对应(1)求A中元素(2,3)的象；(2)求B中元素(2，3)的原象；*(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如(a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不存在，说明理由分析由对应法则，可以根据A中元素与B中元素的对应关系建立起关于x、y的方程组其中第(3)问即是判断相应的方程组是否有解，何时有解总结评述：在一个给定的映射f：AB中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集合B的一个子集在涉及元素的对应问题中，常常需要建立方程组求解(2)设集合A、B都是正整
6、数集，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素3n2n，则在映射f下，象89的原象是()A2 B3 C4 D5答案(1)D(2)C点评(2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n3时，结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89，则选A.分析这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出x的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍答案A 例5上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费0.
7、12元/分钟根据信息产业部调整因特网资费的要求，自1999年3月1日起，该地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/时计算，超过60小时部分，以8元/时计算(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为时间(小时)的函数(每月按30天计算)；(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网60小时的费用开支，因特网资费调整后，若要不超过其家庭经济预算中上网费支出，则该网民现在每月可上网多少小时，从涨价和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况解析设调整后上网x小时的费用为f(x)元(1)当0 x60时，f(x)0.1620 x4x7.2x；当x6
8、0时，f(x)4600.1620 x(x60)811.2x240.(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元，则g(x)0.1220 x0.1260 x9.6x.原上网60小时预算费用为9.660576(元)，由57611.2x240得x72.85(时)，故该网民现在每月可上网72.85小时当0 x60时，f(x)g(x)；当x60时，由f(x)g(x)，可得x150.所以，上网小于150小时时，f(x)g(x)；上网大于150小时时，f(x)g(x)如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y.(1)求
9、y关于x的函数关系式yf(x)；(2)画出yf(x)的图象；(3)若APB的面积不小于2，求x的取值范围(2)yf(x)的图象如图所示(3)即f(x)2，当0 x4时，2x2，x1，当8x12时，2(12x)2，x11，x的取值范围是1x11.点评(3)可以作直线y2与函数yf(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y2，应有1x11.例6设集合A1,2,3，k，B4,7，a4，a23a，其中a，kN，映射f：AB使B中的元素y与A中元素x对应且y3x1，求a及k的值错解B中元素y3x1与A中元素x对应，A中元素1,2分别对应B中元素4,7.a，kN，a不存在，k不存在辨析以上解法
10、的错误之处在于误解了映射的定义由于集合元素的无序性，所以a410或a23a10都有可能，因而要分类讨论一、选择题1函数y|x1|的图象是()答案A解析当x1时y0，因此否定B、C，又y0，否定D，故选A.2在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射()A、B、C、 D、答案D解析由图知中元素a1在B中对应元素不唯一，中元素a2在B中无象，都不是映射，是映射，故选D.答案B解析设(x，y)在f作用下对应(3,1)，则与(3,1)对应的元素为(1,1)，故选B.4已知图中的图象对应的函数为yf(x)，则图的图象对应的函数在下列给出的四个选项中，只可能是()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案C解析观察图可知，当x0时，yf(x)，图对应的函数为yf(|x|)二、填空题5一等腰三角形的周长为10，底为x，则腰y与x的函数解析式是_解析将n2,3,4,5分别代入函数式，依次可得，f(2)f(1)21123，f(3)f(2)22347，f(4)f(3)237613，f(5)f(4)2413821.