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1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动本章的内容有：本章的内容有： 物理量：物理量：角位置、角位移、角速度、角加速度、角位置、角位移、角速度、角加速度、转动惯量、力矩、转动动能、角动量转动惯量、力矩、转动动能、角动量物理定理：物理定理：动能定理、角动量定理动能定理、角动量定理 物理定律：物理定律：转动定律、角动量守恒定律转动定律、角动量守恒定律 ( (1) ) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面； ( (2) ) 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 ( (3) ) 运动描述仅需一个角坐标运动描
2、述仅需一个角坐标 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度当刚体绕定轴转动的角加速度=常量常量时，刚体做时，刚体做匀变速转动匀变速转动四、匀变速转动公式四、匀变速转动公式tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana五、角量与线量的关系五、角量与线量的关系例题例题1: 1: 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s5s内角速内角速度由度由15rad/s 15rad/s 匀减速
3、地降到匀减速地降到10rad/s10rad/s 。求：。求：(1)(1)角加速度；角加速度；(2)(2)在此在此5s5s内转过的圈数；内转过的圈数；(3)(3)还需要多少时间轮子停止转动。还需要多少时间轮子停止转动。解解 根据题意，角加速度为恒量。根据题意，角加速度为恒量。(1) 利用公式利用公式2rad/s1515100 t (2) 利用公式利用公式rad5 .62) 1(215102222020 5秒内转过的圈数秒内转过的圈数圈圈。1014. 325 .6220 N(3) 再利用再利用s101100 0rad/s1000 t例例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横
4、截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当 t =300 s 时时11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)
5、300(45022Nrad4503t42 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 一、力矩一、力矩1、引入、引入 外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。点的位置有关。力通过转轴：力通过转轴：转动状态不改变转动状态不改变力离转轴远：力离转轴远：转动状态容易改变转动状态容易改变力离转轴近：力离转轴近：转动状态不易改变转动状态不易改变Z转动平面rAFMrFMZM 沿沿Z Z 轴分量为轴分量为 对对Z Z 轴力矩轴力矩ZMMFsinrFM FrM对对O O 点的力矩点的力矩：FO2、力的力矩、力的力矩s 力不在转动平面内力不在转动平面内 说明：
6、说明： （1 1）在定轴动在定轴动问题中，如不加说明，所指问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。的分力对转轴的力矩。FrM 只能引起轴的只能引起轴的变形变形, 对转动无贡献对转动无贡献。1Fr转动平面1FF2F)(21FFr21FrFrr 是转轴到力作是转轴到力作用线的距离，称为力臂用线的距离，称为力臂。sinrd dFrFMZ22sin（2 2） （3 3） 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，1F在定轴转动中不予考虑。在定轴转动中不予考虑。 （4 4）在转轴方向确定后，力对在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴的力矩方向可用+ +
7、、- -号表示。号表示。转动平面1FF2Fr3、合力矩、合力矩 iMMF1F2Fn结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。注意：注意：oPzprF1FF2iFFiiiMFrFrFrM 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩，刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩， 不同的力作用于刚体上的不同位置可以产生不同的力作用于刚体上的不同位置可以产生相同的效果。相同的效果。OrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM 1、 单个质
8、点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM二、转动定律二、转动定律O刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM2、内力矩、内力矩 两个内力的合力矩为零。两个内力的合力矩为零。推广：推广：刚体的内力力矩之和为零。刚体的内力力矩之和为零。2iejjjjrmMM3、刚体、刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力合外力矩
9、矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFi说明：说明：1)1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2)2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。讨论：讨论： （4 4）J J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。 （3 3）J J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M M 的符号：使刚体向规定的
10、转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动（1） M M 一定，一定，J JtJJMdd三、转动惯量三、转动惯量1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。离平方的乘积之和。2、说明、说明 转动惯量是标量；转动惯量是标量； 转动惯量有可加性；转动惯量有可加性； 单位单位：kgm2 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算质量连续分布质量连续分布dmrJ2 iiirmJ2质量离散分布质量离散分布 y rix z yi
11、 xi mi 一维一维 dm=dl 二维二维 dm=ds 三维三维 dm=dV 例例2 2、求质量为、求质量为m m、半径为、半径为R R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：222mRdmRdmRJdm例例1 1、求长为、求长为L L、质量为、质量为m m的均匀细棒，求对棒的端点和中点并的均匀细棒，求对棒的端点和中点并与棒垂直的轴的转动惯量。与棒垂直的轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标，d dm= = d dx12/2222mLdxxJLLC 3/202mLdxxJLA 例例3 3、
12、求质量为、求质量为m m、半径为、半径为R R、厚度为、厚度为1 1的的均匀圆盘的转动惯量。均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r r宽为宽为d dr r的薄圆环的薄圆环, ,rdrdm2drrdmrdJ322 403212RdrrdJJR 2Rm Rrdr221mRJ 例例4 4、质量为、质量为m m 半径为半径为R R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量量. .sinRd解解: :在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径 sinRr rRdRmdm 242 dmrJ2 2032sin2 dmR232
13、mR 例例5 5、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 drrRmdm23434 drrRm233 232rdmdJJ RdrrRm0432252mR 小小 结结刚体的概念刚体的概念刚体的平动和转动刚体的平动和转动刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度dtdtt lim0220limdtddtdtt 力矩力矩FrM 转动定律转动定律 JM 转动惯量转动惯量dmrJ2 iiirmJ2思考题：思考题： 预预 习：习： 43, 44习习 题：题： P144 4.7 4.11作业作业33 结束语结束语