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1、集合的基本运算讲义一、并集例题：考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1），；（2），；1 并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作：AB（读作：“A并B”），即这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即 = C说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：AB与集合A、B有什么特殊的关系？练习 1、2、（1）、（2）、二、交集的定义：例题：考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集，记作AB（读“A交B”）即：ABx|xA，且
2、xB讨论：AB与A、B、BA的关系？三、全集、补集例题：1、已知，则A、B与R有何关系？2、U=全班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学，则U、A、B有何关系？集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。 1全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。2 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：，读作：“A在U中的补集”，即提问：集合A与之间有什么关系？ ,四、元素与集合的关系,.五、摩根公式 .3.包含关系4.容斥原理六
3、、例题讲解1、集合Ax|1x0，满足BCC，求实数a的取值范围解(1)Bx|x2，ABx|2x，BCCBC，4.2、知集合A=x|x2+4x=0，集合B=x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，其中xR，若AB=B，求实数a的取值范围.解：A=0，-4，AB=B，BA.B=，0，-4，0，-4.（1）当B=时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实根，=4（a+1）2-4（a2-1）0，解得a-1.（2）当B=0或B=-4时，方程有两个相等实根，=4（a+1）2-4（a2-1）=0，得a=-1.代入验证，B=0满足题意.（3）当B=-4，0时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的两个根
4、为-4，0，则解得a=1，此时B=x|x2+4x=0=-4，0满足题意.综上可知，a-1或a=1.答案：a-1或a=13、向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的人数多3人，其余的不赞成；另外对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的多1人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：如右图所示，设50名学生为全集U，所以赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33人，设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，赞成A不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33
5、-x，所以由题意，得(30-x)+( 33-x)+x+ +1=50x=21，+1=8.所以对A、B都赞成的人数为21人，对A、B都不赞成的有8人.4、集合， 满足，求实数的值.解：，而，则至少有一个元素在中.又，即，得而矛盾，.5、集合AxR|ax23x20(1)若A，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A.解：(1)A是空集，即方程ax23x20无解若a0，方程有一解x，不合题意若a0，要使方程ax23x20无解，则98a.综上可知，若A，则a的取值范围应为a.(2)当a0时，方程ax23x20只有一根x，A符合题意当a0时，98a0，即a时，方程有两个相等的实数根，则A
6、综上可知，当a0时，A；当a时，A6、设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解：由x23x20得x1或x2，故集合A1,2(1)AB2，2B，代入B中的方程，得a24a30，解得a1或a3.当a1时，Bx|x2402,2，满足条件；当a3时，Bx|x24x402，满足条件.综上，a的值为1或3.(2)对于集合B，4(a1)24(a25)8(a3)ABA，BA.当0，即a0，即a3时，BA1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得解得矛盾.7、集Mx|mxm，Nx|nxn，且M，N都是集合Ux|0x1的子集，定义
7、ba为集合x|axb的“长度”，求集合MN的长度的最小值解在数轴上表示出集合M与N，可知当m0且n1或n0且m1时，MN的“长度”最小当m0且n1时，MNx|x，长度为；当n且m时，MNx|x，长度为.综上，MN的长度的最小值为.8、kA，如果k1A且k1A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素因此，符合题意的集合是：1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8共6个9、50名同学参加
8、一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此ABC中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有503218人10、设集合A2，Bx|ax10，aR，若ABB，求a的值解ABB，BA.A2，B或B.当B时
9、，方程ax10无解，此时a0.当B时，此时a0，则B，A，即有2，得a.综上，a0或a.12、就有关A、B两事，向50名学生调查赞成与否，赞成A的有30人，其余不赞成；赞成B的有33人，其余不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：设对A、B都赞成的有x人，对A、B都不赞成的有人，x=21对A、B都赞成的学生有21人，对A、B都不赞成的学生有8人.13、已知Ax|2x4，Bx|xa(1)若ABA，求实数a的取值范围；(2)若AB，且ABA，求实数a的取值范围解(1)如图可得，在数轴上实数a在2的右边，可得
10、a2；(2)由于AB，且ABA，所以在数轴上，实数a在2的右边且在4的左边，可得2a4.14、已知Ax|2axa3，Bx|x5，若AB，求a的取值范围解析由AB，(1)若A，有2aa3，a3.(2)若A，如图：-12a ，a35解得a2.综上所述，a的取值范围是a|a2或a315、已知集合Ax|2x5，Bx|2axa3，若ABA，求实数a的取值范围解ABA，BA.若B时，2aa3，即a3；若B时，解得：1a2，16、已知集合Ax|2a1x3a5，Bx|x1，或x16，分别根据下列条件求实数a的取值范围(1)AB；(2)A(AB)解(1)若A，则AB成立此时2a13a5，即a6.若A，如图所示，
11、则解得6a7.综上，满足条件AB的实数a的取值范围是a|a7(2)因为A(AB)，且(AB)A，所以ABA，即AB.显然A满足条件，此时a6.若A，如图所示，则或由解得a；由解得a.综上，满足条件A(AB)的实数a的取值范围是a|a6，或a16、已知Ax|1x3，Bx|mx13m(1)当m1时，求AB；(2)若BRA，求实数m的取值范围解(1)m1，Bx|1x4，ABx|1x4(2)RAx|x1，或x3当B时，即m13m得m，满足BRA，当B时，使BRA成立，则或解之得m3.综上可知，实数m的取值范围是.17、已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若AB，求a的取值范围；(2)若全集UR
12、，且A(UB)，求a的取值范围解Ax|4x2，Bx|xa，(1)由AB，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a4.(2)UR，UBx|xa，要使AUB，须a2.18、学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？解如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.根据题意有解得x5，即两项都参加的有5人19、已知全集UR，集合Ax|1x2，若B(UA)R，B(UA)x|0x1或2x3，求集合B.解Ax|1x2，UAx|x2又B(UA)R，A(UA)R，可得AB.而B(UA)x|0x1或2x3，
13、x|0x1或2x3B.借助于数轴可得BAx|0x1或2x3x|0x320、设全集为R，集合Ax|3x7，Bx|2x6，求R(AB)，R(AB)，(RA)B，A(RB)解：如图所示ABx|2x7，ABx|3x6R(AB)x|x2或x7，R(AB)x|x6或x3又RAx|x3或x7，(RA)Bx|2x3又RBx|x2或x6，A(RB)x|x2或x3经典例题（一）、选择题21、M，P是两个非空集合，定义M与P的差集MPx|xM且xP，则M(MP)等于()AP BM CMP DMP解：由题意，作出Venn图，如图所示：可得M(MP)= MP，故选C.22、已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2
14、,4,5,7,B=3,4,5,则(UA)(UB)等于()A1,6B4,5C2,3,4,5,7D1,2,3,6,7解：由补集的定义可得：UA=1,3,6,UB=1,2,6,7,所以(UA)(UB)=1,2,3,6,7.23、已知全集U=R,集合M=x|-1x3,则UM=()Ax|-1x3 Bx|-1x3 Cx|x3 Dx|x-1或x3解：由题意，全集U=R，集合M=x|1x3，所以CUM=x|x3，故选C.24、已知全集U=R,M=x|x1,P=x|x2,则U(MP)等于()A. x|1x2B.x|x1 C.x|x2 D.x|x1或x2解：因为MP=x|x1或x2,所以U(MP)=x|1x2.故
15、选A.25、已知集合A=1,3,m2,B=1,m,AB=A,则m等于()A.3 B.0或3 C.1或0D.1或3解：因为BA=A,所以BA,因为集合A=1,3,m2,B=1,m,所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.26、已知集合M=x|-3x5,N=x|x4,则MN=()A.x|x-3 B.x|-5x4 C.x|-3x4 D.x|x5解：在数轴上分别表示集合M和N,如图所示,则MN=x|x-3.27、已知全集U=N*,集合A=x|x=2n,nN*,B=x|x=4n,nN*,则()A.U=AB B.U=(UA)B C.U=A(UB)D.U=(UA)(UB)解：由题意易得BA,画出
16、如图所示的示意图,显然U=A(U B),故选C.（二）、填空题28、已知Mx|x1，Nx|xa2，若MN，则a的范围是_.解：集合Mx|x1，Nx|xa2，MN，则a1,故填a1.29、已知全集U1，2，a22 a3，A1，a，UA3，则实数a等于_解：因为UA3，所以a22a33，解得a0或a2.30、设全集是实数集R，Mx|2x2，Nx|x1，则R(MN)_.解：由题意，集合Mx|2x2，Nx|x1，则MNx|2x1,所以R(MN)x|x2或x1.31、设全集I=1,3,5,7,9,集合A=1,|a-5|,9,IA=5,7,则a的值为_.解：由题意A=1,a5,9,CIA=5,7，可得3A
17、,a5=3，所以a=2或a=8.32、已知集合A=x|x5,B=x|axb,且AB=R,AB=x|56,B=x|-2xa,若AB=R,则实数a的取值范围为_.解：由图示可知a6.所以a的取值范围为a|a634、已知集合A=x|1x2,B=x|x2,若AB=,必有a1.（三）、解答题35、已知全集U=R,集合A=x|-2x5,B=x|a+1x2a-1且AU B,求实数a的取值范围.解：若B=,则a+12a-1,则a2,此时U B=R,所以AU B;若B,则a+12a-1,即a2,此时U B=x|x2a-1,由于AU B,如图,则a+15,所以a4,所以实数a的取值范围为a|a4.36、已知非空集
18、合Ax|2a1x3a5，Bx|3x22(1)当a10时，求AB，AB；(2)求能使A(AB)成立的a的取值范围解：(1)当a10时，Ax|21x25又Bx|3x22，所以ABx|21x22，ABx|3x25(2)由A(AB)，可知AB，又因为A为非空集合，所以解得6a9.37、已知集合Ax|3x4，集合Bx|k1x2k1，且ABA，试求k的取值范围解：ABA，BA，当B时，k12k1，k2.当B，则根据题意如图所示：根据数轴可得解得2k.综合可得k的取值范围为.38、设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围解：由ABx|1x3知，1a3. 39、已知集合Ax|3x4，集
19、合Bx|k1x2k1，且ABA，试求k的取值范围解ABA，BA，当B时，k12k1，k2.当B，则根据题意如图所示：根据数轴可得解得2k.综合可得k的取值范围为.40、已知集合A=x|0x4,集合B=x|m+1x1-m,且AB=A,求实数m的取值范围.解：AB=A,BA.A=x|0x4,B=或B.当B=时,有m+11-m,解得m0.当B时,用数轴表示集合A和B,如图所示,BA,m+11-m,0m+1,1-m4,解得-1m0.检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m0或-1m0,即m-1.41、设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围解：如图所示，由ABx|1x3知，1a3. 42、已知M1,2，a23a1，N1，a,3，MN3，求实数a的值 解：MN3，3M；a23a1=3，即a23a4=0，解得a1或4.当a1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a4时，M1,2,3，N1,3,4，符合题意a4.学科网（北京）股份有限公司