（整理版）数列.doc

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1、数列一、考点分析：本章的知识结构图：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的根底，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比拟全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等根本数学方

2、法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.复习建议:在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1运用根本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8掌握一些数列求和的方法(1)分组求和(2

3、)裂项相消(3)错位相减4倒序相加5公式法。9以等差、等比数列的根本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用一、 等差与等比数列的概念和性质1. 公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：1求通项；2假设数列是等差数列，且，求非零常数；解：12， 2.设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an nN*是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列.1求数列an和bn的通项公式；2是否存在kN*，使akbk0，？假设存在，求出k；假设不存在，说明理由.解：1，2不存在3. 海南宁夏卷数列是一个等差数列，且，。求的通项；

4、求前n项和的最大值。提示：所以时，取到最大值4. 北京10年16an(nN*)为等差数列，且，求an的通项公式；假设等比数列bn(nN*)满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求bn的前n项和公式.解：an=2n12.() q=3.5. 全国课标10年文17设等差数列an满足a3=5，a10=9.求an的通项公式； 求an的前n项和Sn及使得Sn最大的n的值.解：an=2n+11.() Sn=n2+10n=(n5)2n=5时Sn最大为25.6. (全国课标10年理17)设数列an满足a1=2，an+1an=322n1 )求数列an的通项公式： 令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn.解：an

5、=22n17. (全国2文18) an是各项均为正数的等比数列，且，() 求an的通项公式；()设，求数列bn的前n项和Tn.解：an=2n-1.()， 8. 陕西文数16.an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.求数列an的通项;求数列2an的前n项和Sn.解 an1+n11n.()Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.9. 重庆文数16是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.求通项及；设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.10. 浙江文数19设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。假

6、设=5，求及a1；求d的取值范围。()解：a1=7，所以S6= -3,a1=7()解：d的取值范围为d-2或d2.11. 山东文数18等差数列满足：，.的前n项和为.求 及；令,求数列的前n项和.解：；=由知，所以bn=，=12.北京文数16为等差数列，且，。求的通项公式；假设等差数列满足，求的前n项和公式解：， 13. 四川文数20等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。求数列的通项公式；设，求数列的前n项和解：(1)an4n，(2) 所以，Sn15.山东理数18等差数列满足：，的前n项和为求及；令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】；=。=。二、求数列的通项：1、设数列的前项和1,

7、2, 3, ，数列满足：， (1, 2, 3 , )， 求数列的通项.解：bn 的通项.2、数列的前项和满足.写出数列的前三项；求数列的通项公式.由由由3、设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有(I) 求，的值； (II) 求数列的通项公式； III令，求数列的前 项和解：(I) ，； (II) ； =. 4、正数数列中前n项和= ，求通项公式.5、 (广东卷文)本小题总分值14分点1，是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+.1求数列和的通项公式；2假设数列前项和为，问的最小正整数是多少? . 【解析】1 ，2； 由得，满足的最小正整数为112

8、.7、广东卷理曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为1求数列的通项公式；解：18、全国卷理设数列的前项和为 I设，证明数列是等比数列 II求数列的通项公式。解：I， 那么当时，有得又，是首项，公比为的等比数列II， 9、陕西卷文数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。1证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。2。10. 四川卷理设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列的通项公式。解：， 11. 全国卷理在数列中，设，求数列的通项公式。解：由有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()三、数列求和1公式法：2分组求和法：08天津文20在数列中，证明数列是等比数列；

9、求数列的前项和；答案：3倒序相加法：求证：；4错位相减法： (山东卷文)等比数列的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 1求r的值； 11当b=2时，记 求数列的前项和解：, ，25裂项相消法：1求和： 答：；2在数列中，且S，那么n_答：99；6通项转换法：求和： 答：1、江西卷文本小题总分值12分数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) ()(2) 2、数列an满足: a1=1, a2=, an+2=an+1-an (nN*).() 记dn=an+1-an , 求证dn是等比数列; () 求数列an的通项公式;() 记bn=3

10、n2, 求数列anbn的前n项和Sn .答案：()an =2- () anbn=(3n-2)(2-)=2(3n-2)-， Sn=3n2-n-8+ 3、北京市海淀区高三期中试题设数列的前项和为，满足(，t为常数) ，且.当时，求和；假设是等比数列，求t的值；求. 答案：，或. 4、上海春季高考试题设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求的值。思路提示：，设那么5、(广东卷文)点1，是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+.1求数列和的通项公式；2假设数列前项和为，问的最小正整数是多少? 解：1 ， ()；2 ； 由得，满足的最小正整数为112.6.函数，点，

11、是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；假设数列的通项公式为，求数列的前m项的和；答案：点的纵坐标是定值，问题得证由于， 所以，四、数列与函数的综合应用数列可以看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.用函数的观点来认识数列，用函数的思维理解数列问题，用研究函数的方法来解决数列问题，是我们复习数列知识首先要到达的目标.1、数列，求前30项中最大的项和最小的项. 2、，试问：数列有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，说明理由.思路分析：，当时，即当时，数列单调递增，当时，数列单

12、调递减.数列有最大项为3、数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为 1求数列的通项公式 2假设，求数列的前项和3设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：1 2. 3.又，,解得27.所以， 五、数列中的恒成立问题与存在性问题1、四川卷文设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 I求数列与数列的通项公式；II设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？假设存在，找出一个正整数；假设不存在，请说明理由；III记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；【解析】I， II不存在正整数，使得成立。2、数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3

13、()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？假设存在，试求出 假设不存在,那么说明理由 思路分析：IIIIII存在，使数列是等差数列 数列是等差数列的充要条件是又当且仅当，即时，数列为等差数列 3、(海淀二模)数列满足，.() 当时，求实数及；是否存在实数，使得数列为等差数列？假设存在，求出其通项公式，假设不存在，说明理由；求数列的通项公式.解：() ， .不存在实数， 当时，；当时，；当且时，. 6、数列中，且，其前项和为，且当时，求证：数列是等比数列；求数列的通项公式；假设，令，记数列的前项和为设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？假设存在，求出和相应的值；假设

14、不存在，请说明理由解：当时，得， 当时，存在正整数，使等式成立7、 数列的前项和为，设 证明数列是等比数列；数列满足，设， 假设对一切不等式恒成立，求实数的取值范围证明：当时，恒成立 8.11昌平期末文(本小题总分值14分)数列的前项和为，点在直线上数列满足，且，前11项和为154.1求数列、的通项公式；2设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；3设 是否存在，使得成立？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由解：1，2= =因此单调递增，故令，得，所以 六、数列的其它应用1、(湖北卷理)数列的前n项和n为正整数。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；令，试比拟与

15、的大小，并予以证明。解析：I.(II) ，于是确定的大小关系等价于比拟的大小由 可猜测当证明如下：证法1：1当n=3时，由上验算显示成立。2假设时所以当时猜测也成立综合12可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时2、为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证： 解： 3、数列满足：，求的值，设，试求数列的通项公式；对于任意的正整数n，试讨论与的大小关系.解： ；. .14分4、数列满足，点在直线上. I求数列的通项公式； II假设数列满足 求的值； III对于II中的数列，求证：解：1 2 且； 当n=1时， 七、填空题中的第14题:1.江苏将全体正

16、整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 解： 2在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层第一层分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，那么；答案用n表示解答过程：显然，3将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第

17、1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 解：应填，324.陕西文数11.观察以下等式：1323122，1323331232，1323334312342，根据上述规律，第四个等式为1323334353123452或152.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为1323334353123452或152.5. 湖南理数15假设数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，那么得到一个新数列例如，假设数列是，那么数列是对任意的，那么 ， 6.棵树种植在点处，其中，

18、当时， 表示非负实数的整数局部，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第棵树种植点的坐标应为 提示:为(1,2) (3, 402)7.湖北卷古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。以下数中及时三角形数又是正方形数的是( )A.289 B.1024 ， 知必为奇数，故答案选C.8(湖南)将正ABC分割成2，nN个全等的小正三角形图2，图3分别给出了n=2,3的情形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数当数的个数不少于3时都分别一次成等差数列，假设顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ， f(n)= . 提示：