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1、2014年高考数学试题汇编 导数一选择题1. （2014大纲）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A B C2 D1【答案】C2. （2014浙江）已知函数（ ）A. B. C. D. C3. (2014陕西)定积分的值为（ ） 【答案】 C【解析】4. (2014湖南)已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( ) A. B. C. D.5(2014山东)直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C）2（D）46. (2014新课标II)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D7. (2
2、014江西)若则（ ）A. B. C. D.1【答案】B【解析】设，则，所以.8. （2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】9. (2014陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ） （A） （B）（C） （D）【答案】 A【解析】10(2014湖北)若函数上的一组正交函数，给出三组函数：；其中为区间上的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3二填空题1. (2014江苏)在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在
3、点P处的切线与直线平行，则的值是 .2. (2014广东)曲线在点处的切线方程为 .3(2014江西).若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.【答案】【解析】三解答题1、(2014江西)（本小题满分12分）已知函数.(1) 当时，求的极值；(2) 若在区间上单调递增，求b的取值范围.【解析】1）当时，的定义域为令，解得当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增；所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值。（2） 在上单调递增且不恒等于0对x恒成立7分8分10分11分12分2(2014安徽)（本小题满分 12 分）设函数，其中()讨论在其定义域上的单调性；()当时，求取得最大值和最小值
4、时的的值.解：（）的定义域为，令，得所以当或时，；当时，故在和内单调递减，在内单调递增（）因为，所以 当时，由（）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由（）知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值3. (2014新课标I) (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【解析】：() 函数的定义域为，由题意可得()，故 6分（）由()知，(，从而等价于设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递减，在()单调递增，从而()在()的最
5、小值为(. 8分设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递增，在()单调递减，从而()在()的最小值为(. 综上：当时，即. 12分4. (2014新课标II)（本小题满分12分）已知函数=（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【答案】 (1) （2） 2（1）（2）5(2014天津)（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（）求的取值范围；（）证明 随着的减小而增大；（）证明 随着的减小而增大.【答案】 （1） （2）省略（3）省略（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数
6、的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时 在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.（2）时， 由，得.当变化时，的变化情况如下表：0这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1；2存在，满足；3存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，. 对于任意的，设，其中；，其中.因为
7、在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（）证明：由，可得，.故.设，则，且解得，.所以，. 令，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，由此可得，故在上单调递增.因此，由可得随着的增大而增大.而由（），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大. 6. (2014湖南)已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.7、(2014四川) (本小题满分14分)已知函数，其中，为自然对数的底数。（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有
8、零点，求的取值范围。【答案】 （） （） 【解析】（）（）8(2014山东)（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.9. (2014陕西)（本小题满分14分）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.【答案】 （1） （2） (3) 前式 后式【解析】（1）（2）（3）10. (2014湖北)（本小题满分14分）为圆周率，e=2.718 28为自然对数的底数.（）求函数的单调区间；（）求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与
9、最小数.（）将e3,3e,e,e,3,3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.（）函数的定义域为因为，所以 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中 由及（）的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中的最大数是，最小数是（）由（）知，.又有（）知，得.故只需比较与和与的大小.由（）知，当0xe时，即.在上式中，令，又，则，从而，即得.由得，即e3,亦即，所以.又由得，即3，所以.综上可得，即6个数从小到大的顺序为.11. （
10、2014辽宁）（本小题满分12分）已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2） 存在唯一，使，且对（1）中的.【答案】 （1） 0.108 （2） 1.8,0.72【解析】（1）（2）（II）考虑 令则时，记由（I）得，当在（0，）上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点。在上为减函数，由，=-4ln2,知存在唯一 ，使.所以存在唯一的，使.因此存在唯一的，使=0.因为当时，故=（）与有相同的零点，所以存在唯一的，使=0.12. （2014福建）（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对
11、任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.20解：方法一：(1)由f(x)exax，得f (x)exa.又f (0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f (x)ex2.令f (x)0，得xln 2.当xln 2时，f (x)ln 2时，f (x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，故g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x20时，x20时，x2cex.取x
12、00，当x(x0，)时，恒有x2cex.若0c1，要使不等式x2kx2成立而要使exkx2成立，则只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，则h(x)1.所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增取x016k16，所以h(x)在(x0，)内单调递增又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2，5k0，所以h(x0)0.即存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x20时，exx2，所以exee，当xx0时，exx2，因此
13、，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先证明当x(0，)时，恒有x30时，x2ex，从而h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2x3ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.13(2014北京)（本小题13分）已知函数，（1） 求证：；（2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.解：（I）由得 。 因为在区间上，所以在区间上单调递减。从而。（）当时，“”等价于“”“”等价于“”。 令，则， 当时，对任意恒成立。 当时，因为对任意，所以在区
14、间上单调递减。从而对任意恒成立。 当时，存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下： 0因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即， 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。 所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.14(2014重庆)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（1） 确定的值；（2） 若，判断的单调性；（3） 若有极值，求的取值范围.【答案】（1）a=b=1（2）在R上单调递增（3）【解析】（1）（2）（3）15（2014浙江）（本题满分14分）已知函
15、数（1） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2） 设若对恒成立，求的取值范围.16.（I）因为，所以，由于，（i）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，（ii）当时，若，在上是增函数，若，在上是减函数，所以，由于，因此，当时，当时，（iii）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，故，综上；（II）令，则，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由（I）知，（i）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；（ii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，（iii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，解得，（iv）当时，在上的最大值是，最小值是，
16、所以，解得，综上的取值范围17. (2014江苏) (本小题满分16分) 已知函数,其中e是自然对数的底数. (1)证明:是R上的偶函数；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.18. （2014大纲）（本小题满分12分）函数.（I）讨论的单调性；（II）设，证明：.解：（I）的定义域为（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数（II）由（I）知，当时，在是增函数当时，即又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，即下面用数学归纳法证明（i）当时，由已知，故结论成立；（ii）假设当时结论成立，即当时，即当时有，结论成立根据（i）、（ii）知对任何结论都成立