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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN()A0，1B(0，1C0，1) D(，12某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A93 B123 C137 D1673如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D104二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15，则n()A7 B6
2、 C5 D45一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4 C24 D346“sin cos ”是“cos 20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b28根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y()A2 B4 C10 D289设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BprqCqrp Dprq10某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料
3、，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12万元 B16万元C17万元 D18万元11设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.12对二次函数f(x)ax2bxc(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A1是f(x)的零点B1是f(x)的极值点C3是f(x)的极值D点(2，8)在曲线yf(x)上二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横
4、线上)13中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_14若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_15设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_16如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m与n平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积18(本小题
5、满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值19(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望ET；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时
6、间不超过120分钟的概率20(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程21(本小题满分12分)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2.(1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明22(本小题满分10分)选修
7、41：几何证明选讲如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA; (2)若AD3DC，BC，求O的直径23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值参考答案1解析：选AMx|x2x0，1，Nx|lg
8、x0x|0x1，MN0，1，故选A.2 A93 B123 C137 D167解析：选C初中部的女教师人数为11070%77，高中部的女教师人数为150(160%)60，该校女教师的人数为7760137，故选C.3解析：选C根据图象得函数的最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.4解析：选B(x1)n(1x)n，(1x)n的通项为Tr1Cxr，令r2，则C15，即n(n1)30.又n0，得n6.5解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为222121243.6解析：选Acos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 可得到cos 20
9、，反之不成立，故选A.7解析：选B根据ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立当向量a和b方向不相同时，|ab|a|b|，B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2，D恒成立8解析：选Cx每执行一次循环减少2，当x变为2时跳出循环，y3x132110.9解析：选B因为ba0，故.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnp，即prq.10解析：选D设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示
10、，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2，3)时，z取最大值，最大值为324318.11解析：选D|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示当|z|1时，yx表示的是图中阴影部分，其面积为S1211.又圆的面积为，根据几何概型公式得概率P.12解析：选AA中1是f(x)的零点，则有abc0.B中1是f(x)的极值点，则有b2a.C中3是f(x)的极值，则有3.D中点(2，8)在曲线yf(x)上，则有4a2bc8.联立解得a，b，c.联立解得a5，b10，c8，从而可判断A错误，故选A.13解析：设数列首项为a1，则1 010，故a15.答案：514解析：抛物线的准线方程为x，
11、p0，双曲线的焦点为F1(，0)，F2(，0)，所以，p2.答案：215解析：yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1)答案：(1，1)16解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，2)，(5，0)，(5，0)，得抛物线的函数表达式为yx22，抛物线与x轴围成的面积S1dx，梯形面积S216.最大流量比为S2S11.2.答案：1.217解：(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得si
12、n Asin B sin Bcos A0，又sin B0，从而tan A.由于0A，所以A.(2)法一：由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30.因为c0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.法二：由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcoscos Bsin.所以ABC的面积为absin C.18解：(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC
13、.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0，0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，得取n1(1，1，1)；得取n2(0，1，1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.19解：(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0
14、.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET250.2300.3350.4400.132(分钟)(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”法一：P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)0.210.310.40.90.10.50.91.法二：P(A)P(T1T270)P(T135，T240)
15、P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09.故P(A)1P(A)0.91.20解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x
16、1x2| 由|AB| ，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2| .由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.21解：(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则Fn
17、(1)n10，Fn1220，所以Fn(x)在内至少存在一个零点又Fn(x)12xnxn10，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)法一：由题设，gn(x).设h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，h(x)12xnxn1.若0x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h(x)在(0，1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)综上所述，当
18、x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)gn(x)法二：由题设，fn(x)1xx2xn，gn(x)，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)那么，当nk1时，fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1xk1.又gk1(x)，令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)，则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时，hk(x)0，hk(x)在(0，1)上递减；当x1时，hk(x)0
19、，hk(x)在(1，)上递增所以hk(x)hk(1)0，从而gk1(x).故fk1(x)gk1(x)，即nk1时不等式也成立由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)gn(x)法三：由已知，记等差数列为ak，等比数列为bk，k1，2，n1.则a1b11，an1bn1xn，所以ak1(k1)(2kn)，bkxk1(2kn)，令mk(x)akbk1xk1，x0(2kn)，当x1时，akbk，所以fn(x)gn(x)当x1时，mk(x)nxn1(k1)xk2(k1)xk2(xnk11)而2kn，所以k10，nk11.若0x1，xnk11，mk(x)0；若x1，xnk11，mk(x)0，从而mk(x)在
20、(0，1)上递减，在(1，)上递增，所以mk(x)mk(1)0，所以当x0且x1时，akbk(2kn)又a1b1，an1bn1，故fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x); 当x1时，fn(x)gn(x)22解：(1)证明：因为DE为O直径，所以BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，则3.又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.23解：(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3，0)24解：(1)由|xa|b，得baxba，则解得(2) 24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.