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1、第第2 2章章 平面向量平面向量2.3.2 2.3.2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算探索探索1:以坐标原点以坐标原点O为起点，为起点，P为终点为终点的向量能否用坐标表示？如何的向量能否用坐标表示？如何表示？表示？oPxya4321-1-2-3-2246ij），（yxP( , )OPxiy jx y 向量的坐标表示O向量向量 P（x ，y）一一 一一 对对 应应OP xiy j在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:oxya在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点原点O
2、的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示?探索探索2:Aoxyaa可通过向量的平移，可通过向量的平移，将向量的起点移到坐将向量的起点移到坐标的原点标的原点O处处,其终点其终点的坐标（的坐标（x，y）称为）称为a的（直角）坐标，的（直角）坐标，记记a=（x，y）。）。解决方案:在平面直角坐标系内，若分别取与在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、轴、Y轴正方向轴正方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得使得 a=x i+y j.归纳总结归纳总结2
3、、单位向量、单位向量 i1、 a=x i+y j =( x , y) 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.0=（1，0），），j =（0，1），），对应坐标相等。件是它们的两个向量相等的充要条)2(21212211),(),(yyxxbayxbyxa则设),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算一个重要结论：一个一个向量的坐标向量的坐标等于表示该向量的等于表示该向量的终点终点的坐标减去的坐标减去起点起点的坐标的坐标说明：说明：），（则向量已知点12122211),(),(yyxxAByxByxA),(),(),(
4、12121122yyxxyxyxOAOBAB1（）平面向量的坐标表示1.,aOAxiy jx y （）OXYA22yxOAa且yx2121(,)ABxx yy 222121|()()ABxxyy 2. 若A ，B ，则11( ,)x y22(,)xy的坐标。，求向量），（），（），（），（、如图，已知例CDAOOBOADCBA431431312四边形四边形OCDA是平行四边形？是平行四边形？ 例例3 已知已知 平行四边形平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D
5、的坐标为（的坐标为（x，y），（），），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22D2. 如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的充要条件的充要条件? 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?1. 向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的充要条件是有且的充要条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得abba设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得),(11yxa ),(22yxb ba0,b22, yx01221
6、yxyx01221yxyx这就是说这就是说: 的充要条件是的充要条件是 )0(/bba向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示3. 向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba1、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（ ）12A. B. C.2 D.212CC2、平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为( ) A(8,9) B(5,1) C(1,5) D(8,6)课堂练习课堂练习: :2、已知单位正方形AB
7、CD， 求 的模 。,ABa BCb ACc 23abc53.( 3, 1),| 5,4.(sincos ,sincos ),ppmm 已知且则已知则 的长度为110221(21,2),(2, 2). ,axyxybx yab例题 、已知向量为何值时， 与 共线？相等？与为何值时，又问：bayx,02)2()2() 12(yxyx解)2(12yxyxRyx31解得：3131)2(yx解得：210,(3, 4)/.ababa例题 、已知且，求向量babyxayxa/),4, 3(10),(22又则解：设8686yxyx或解得：0341022yxyx)8 , 6()8, 6(aa或课堂练习课堂练习
8、: :1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量 同向量的单位向量是（ ）AB 22.(,)22A 22.(,)22B22.(,)22C 22.(,)22DB2、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b 且uv,求x,1)2(x=3、平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2) c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc) (2b-a),求实数k(4)设d=(x,y)满足(d-c) (a+b)且 |d-c|=1,求d.205 52 5205 52 5(,)(,)5555d或(0,6)58,9
9、9mn1613k 课后小结课后小结2 加、减法法则加、减法法则.a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)3 向量坐标向量坐标：若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)1 向量坐标定义向量坐标定义.则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)4向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示：11221221( ,),(,),/0ax ybxyabx yx y若向量则的充要条件是 在平面直角坐标系内，我们分别取与在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、轴、Y
10、轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得使得 a=x i+y j.向量坐标定义向量坐标定义2 、把把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式.4、其中其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标.单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1）1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式.3、 a=x i+y j =( x , y)0