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1、学习必备欢迎下载数列知识点一考纲要求内容 4 要求层次A B C 数列数列的概念数列的概念和表示法等差数列、等比数列等差数列的概念等比数列的概念等差数列的通项公式与前n项和公式等比数列的通项公式与前n项和公式二知识点(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义 ：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个
2、数列的通项公式说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n，通常用na来代替fn，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：按数列
3、项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（二）等差数列1. 等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载 2 等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项 :1a，公差 :d ，末项 :na
4、推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、 B是常数，所以当d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1 的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：若d
5、aann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（2） 等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa（3） 数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4） 数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公
6、差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. （4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列 (5) 若na 是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列（6）数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列， d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和1. 当项数为偶数n2 时，121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana
7、偶11=nnnnSSnanan aand偶奇精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为2n+1 的等差数列的中间项） （8）等差数列na的前 n 项和mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSmn(9) 求nS的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二
8、： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项法三： 直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值） 。若S p = S q则其对称轴为2pqn（三）等比数列1. 等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为 公比2. 通项公式：11110,0nnnnaaa qq
9、A BaqA Bq，首项：1a；公比：q推广：n mnmaa q，从而得n mnmaqa或nn mmaqa3. 等比中项（ 1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2Aab或Aab注意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项互为相反数）（ 2）数列na是等比数列211nnnaaa4. 等比数列的前n 项和nS公式：(1) 当1q时，1nSna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载(2) 当1q时，11111nnnaqaa qSqq5. 等比数列的
10、判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na为等比数列（2） 等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列（3） 通项公式：0nnaA BA Bna为等比数列（4） 前 n 项和公式：,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数na为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnaqana为等比数列7. 等比数列的性质(1) 当1q时等比数列通项公式1110nnnnaaa qqA BA Bq是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q前 n 项和1111111111nnnnnnaqa
11、a qaaSqAA BA BAqqqq， 系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,n*N,在等比数列na中,有n mnmaa q,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t*N),则nmstaaaa.特别的 ,当 n+m=2k 时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a(4) 列na,nb为等比数列 ,则数列nka,nk a,kna,nnk abnnab(k 为非零常数 ) 均为等比数列. (5) 数列na为等比数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项
12、 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等比数列(6) 如果na是各项均为正数的 等比数列 ,则数列logana是等差数列(7) 若na为等比数列 ,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8) 若na为等比数列 ,则数列12naaa, 122nnnaaa, 21223nnnaaa成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载(9) 当1q时，当1q0时，1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列, 1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时
13、数列也为等差数列）; 当 q0,a0 时，1s最小：当 d0,a0 时，ns最小（na0) 当 d0,a0 时，1s最大；当 d0 时，ns最大(na0,1na0) 在等差数列 an 中： (1)a5=6,a7=16,则 a1= ,公差 d= (2)a3=20,a10=-1,则 a15= 思考：等差数列可以运用于哪些方面重要性数列是高中数学的重要内容之一，而等差数列作为一类重要的特殊数列，一方面它的定义、通项、求和、性质及运算是历年高考的热点，另一方面学生学习等差数列是探究特殊数列的开始，可以为今后学习数列提供帮助，更为等比数列提供了学习对比的依据。等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列前
14、n 项的和的求和公式一、基本概念1、数列：按照一定顺序排列着的一列数+1nn数列的项、数列的项数表示数列的第 n项与序号 n之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（1）、（1）递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载222有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第项起，每一项都不小于它的前一项的数列数列分类递减数列：从第项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数列：各项相等的数列摆动数列：从第项起，有些
15、项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、等差数列：从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差1,2nnaad nnZ且，或1,1nnaad nnZ且1、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则有111111nmnnmnaandanm dknbaaaadnnmaand性质：2322,+ +npqnmnpqnmmkmkmknnnnnaaabnpqaaaamnpqaaaaaaaaaabaab等差中项：三个数，G，b组成的等差数列，则称G为 与b的等差中项2G=若 是等差数列，则若 是等差数列，则、 构成公差公差 kd的等差数列若 、是等差数列 则、是等差数
16、列2、等差数列的前n项和的公式：121122nnn aan nSnadpnqn等差数列的前n项和的性质：（1）*211*212212111nnnnnnnnnnSSndn nSn aaSaSaSSannSnaSna SnaSnSn偶奇奇偶奇偶奇偶奇偶若项数为，则，若项数为，则，（2）232SSS ,SSSmmmmmnn，成等差数列是等差数列若等差数列na,nb的前 n 项和为,nnS T,则1212nnnnTSba（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）若001da，则nS有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足001kkaa精选学习资料 - - - - - -
17、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载若001da，则nS有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足001kkaa三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比1、通项公式及其性质若等比数列na的首项是1a，公比是q，则1111,nn mnmnn mnnmaa qa qaaqqaa22232npqnmnpqkmm kmkmkaaGabnpqaaaamnpqaaaaaaaaq，G ，b成等比数列，则称 G 为 与b的等比中项性质：若是等比数列，则、 成公比的等比数列2、前 n 项和及其性质11111
18、111 ,(1)1,111111nnnnnnnaqqSaqaa qaa qaaqAqA qqqqqq2322322SSS ,SSnnmnmnnnnnmmmmmSSqSSSSSSSnqS偶奇、成等比数列性质若项数为，则，成等比数列四、 (1)na与nS的关系：111;2nnnSnaSSn（检验1a是否满足1nnnaSS）(2)2222223333(1)1232(1)(2)1236(1)1234n nnn nnnn nn五、一些方法1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n 项和的最大值、最小值2、求通向公式的常见方法（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）；（2）1( ),nnaa
19、f n累加消元 ;1( ),nnaf na累乘消元。（3）1111,()nnnnnaakakaa倒数构造等差 :；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载11111,(1)nnnnnnaaa aaa两边同除构造等差:；（4）1,nnakab化为1()()nnaxk ax构造等比11,1nnnnaqapnraxnyq ax ny（构造等比数列：）1nnnaqap，化为111nnnnaaqpp p，分qp是否等 1 讨论。3、求前 n 项和的常见方法公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和数列知识点巩固
20、练习一、选择题1、一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan AC的值是（）A3B3C33D不确定2、等差数列na的公差为 2，若1a，3a，4a成等比数列，则2a等于( ) A 4 B 6 C 8 D 103、等比数列 an的前 3 项的和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比（）A2 B1 C2 或 1 D2 或1 4、等差数列an中，已知前 15项的和90S15，则8a等于（） A245B12 C 445D6 5、等比数列na中,0na,a5a6=9, 则313233310loglogloglogaaaa( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 56、等比数列 an
21、的前 n 项和为 Sn ， 若 S4=1，S8=4，则 a13+a14+a15+a16=（） A7 B16 C 27 D64 7、数列na的通项公式11nnan，则该数列的前（）项之和等于9A98B99C96D978、在等比数列an中,a5a7=6,a2+a10=5,则1018aa等于 ( ) A.2332或B.32C. 23D. 32或239、等差数列na,nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载A23B2131nnC2131nnD
22、2134nn10、已知数列na的前n项和为)34()1(2117139511nSnn, 则312215SSS的值是（）A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 二、填空题1、数列,924,715,58, 1的一个通项公式是2、数列11111, 2, 3,2482nn的前 n 项和是3、在数列na中，11a，且对于任意自然数n，都有1nnaan，则100a4、已知31a，nnanna23131)1(n，na=_ 5、已知数列的12nnSn，则12111098aaaaa=_6、等差数列 an中，39|,aa公差0 ,d那么使前n项和nS最大的n值为 _ 三、解答题1、已知数列na的前n项和
23、nnS23，求na2、已知数列na满足112a, 112nnnna aaa,求数列na的通项公式。3、数列na中，18a，42a，且满足2120nnnaaa（ 1）求数列na的通项公式；（2）设12|nnSaaa，求nS。4、已知na是等差数列，其前n 项和为 Sn，已知,153,1193Sa（1）求数列na的通项公式（2）设nnba2log，证明nb是等比数列，并求其前n项和 Tn5、已知数列na是等差数列，且12a，12312aaa. 求数列na的通项公式； 令nnnba *(N )n，求数列nb的前n项和的公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页