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1、高考数学数列知识点知识清单1数列的概念（1）数列定义 ：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义 ：如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明：na表 示 数 列 ，na表 示 数 列 中 的 第n项 ，na= fn表 示 数 列 的 通 项 公 式 ； 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯
2、 一 。 例 如 ，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkZnk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图像表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n，通常用na来代替 f n ，其图像是一群孤立点。（4）数列分类 :按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列
3、项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义 ：如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。(6 )数列na的前n项和nS与通项na的关系 ：11(1)(2)nnnSnaSSn注意：此公式较重要！ ！等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad
4、n。2、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0 为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。3、等差中项 的概念：定义：如果a， A，b 成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项，其中2abA。即：a， A，b成等差数列2abA或者 2A=a+b。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页4、等差数列的前n和的求和公式 ：11()(1)22nnn aan nSnad。5、等差数列的性质 ：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差
5、数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：1a，3a，5a，7a，；3a，8a，13a，18a，；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n， p ，qN且 mnpq ，则mnpqaaaa；说明：设数列na是等差数列，且公差为d ，（）若项数为偶数，设共有2n项，则 S奇S偶nd ； 1nnSaSa奇偶；（）若项数为奇数，设共有21n项，则 S偶S奇naa中；1SnSn奇偶。6、数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，可用二次函数最值的求法（
6、nN） ；若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。等比数列知识点1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比； 公比通常用字母 q 表示(0)q， 即：1na：(0)naq q（注意： “从第二项起”、 “常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明： （1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列； （2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如
7、果在ba与中间插入一个数 G ，使bGa,成等比数列，那么 G 叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。4等比数列前 n 项和公式一 般 地 ， 设 等 比 数 列123,na aaaLL的 前n 项 和 是nS123naaaaL， 当1q时 ，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当 q=1 时，1naSn（错位相减法）。说明： （1）nSnqa,1和nnSqaa,1各已知三个可求第四个； （2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆； （3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况（一定要记住这有一点，防止在解题时漏解）。精选学习资料 - -
8、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为 q，则有mnmnqaa；对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa，其中 n，m，u，v 是正整数。若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。数列通项与求和1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式： an=11sssnn12nn。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差迭加法。最基本的形式是
9、：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和重要公式： 1+2+n=21n(n+1)；12+22+n2=61n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=41n2(n+1)2；等差数列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和法将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后 消 的 求 和 法 叫 裂 项 求 和 法 。 用 裂 项 法 求 和 ， 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 ， 如 ：)11(
10、1)(1CAnBAnBCCAnBAnan、)1(1nn=n111n、 n n！ =(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、)!1(nn=!1n)!1(1n等。错项相减法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。nnncba, 其 中nb是 等 差 数 列 ，nc是 等 比 数 列 ， 记nnnnncbcbcbcbS112211， 则1211nnnnnqSb cbcb c，并项求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多
11、种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：nnncba2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及 a1=1，确定的数列 12n即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。方法技巧 : 1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法：对于n2的任意自然数, 验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2) 通项公式法：若 = +（n-1 ）d= +（n-k ）d ，则na为等差数列；若，则na为等比数列。(3) 中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列na中 , 有关nS的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当1a0,d0 时，满足100mmaa的项数 m使得mS取最大值 . (2) 当1a0 时，满足100mmaa的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页