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1、函数概念（一）知识梳理1映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf :，f 表示对应法则注意： A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1) 函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(2) 函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域
2、； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （1）AR，|0Byy，:|fxyx；（2）*|2,Ax xxN，|0,By yyN，2:22fxyxx；（3）|0Ax x，|By yR，:
3、fxyx上述三个对应是A到B的映射例 2若4,3 ,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例 3设集合 1,0,1M， 2, 1,0,1,2N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象( )f x的和都为奇数，则映射f的个数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页()A8个()B12 个()C16 个()D18 个答案： 1. （2） ；281,64,81 ；3.D考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示
4、同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 答案 （1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二
5、次函数)(xf满足564) 12(2xxxf，求)(xf（三种方法）例 2 （09 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型 2：求抽象函数解析式例 1已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（ 1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实
6、际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1. （08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为 ( ) A.),2)4,(;B.)1 ,0()0 ,4(；C. 1 ,0()0 ,4,;D. )1 ,0()0,4,答案：D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （2007湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A. 4 ,00, 4；B. 4, 11,4；C. 2,
7、11,2；D. 4, 22, 4答案： B. 例 2已知函数)(xfy的定义域为ba，求)2(xfy的定义域例 3已知)2(xfy的定义域是ba，求函数)(xfy的定义域例 4已知(21)yfx的定义域是（-2，0） ，求(21)yfx的定义域 (-3x0）的函数， m0 就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（ 1）单调区间（ 2）x 的范围 3,5，求值域（ 3）x -1,0 )(0,4,求值域（2）如44yxx，求（ 1）3,7上的值域（2）单调递增区间（x0 或 x4）（3）如123yxx， （1）求 -1,1 上的值域（2）求单调递增区间精选学习资料 - - - - - - -
8、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间； 如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是： 设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf， 那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(
9、xf，那么)(xf为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法 （取值作差变形定号）；导数法 （在区间( , )a b内，若总有( )0fx，则( )f x为增函数；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数，则( )0fx，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，减区间为,0),(0,bbaa. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减
10、函数） 。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0 ,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。4、函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立，那么
11、称)(0 xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0 xfxf恒成立，那么称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页)(0 xf为)(xfy的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 （1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2( )82,f xxx若2( )(2)g xfx试确定( )g x的单调区间和单调性解： （1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，（2）222( )82(2)(2)g xxx4228xx，3( )
12、44g xxx，令( )0g x，得1x或01x，令( )0gx，1x或10 x单调增区间为(, 1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)例 2. 判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.解：函数的定义域为x|x -1 或 x1,则 f(x)= 12x,可分解成两个简单函数.f(x)=)(, )(xuxu =x2-1 的形式 . 当 x1 时， u(x) 为增函数，)( xu为增函数 .f （x）=12x在 1，+ ) 上为增函数 . 当 x -1 时， u（x) 为减函数，)(xu为减函数，f(x)=12x在（ - ,-1 上为减函数.题型 2：研究抽象函数的单调性例 1已知函
13、数( )fx的定义域是0 x的一切实数， 对定义域内的任意12,x x都有1212()()()f xxf xf x，且当1x时( )0,(2)1f xf，（1）求证：( )f x是偶函数；（2）( )f x在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx解： （1）令121xx，得(1)2(1)ff，(1)0f，令121xx，得( 1)0f，()( 1)( 1)( )( )fxfxff xf x，( )f x是偶函数（2）设210 xx，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页221111()()()()xf xf
14、 xf xf xx221111()()()()xxfxff xfxx210 xx，211xx，21()xfx0，即21()()0f xf x，21()()f xf x( )f x在(0,)上是增函数（3）(2)1f，(4)(2)(2)2fff，( )f x是偶函数不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，又函数在(0,)上是增函数，2|21| 4x，解得：101022x，即不等式的解集为1010(,)22题型 3：函数的单调性的应用例 1若函数2) 1(2)(2xaxxf在区间（，4 上是减函数，那么实数a的取值范围是 _( 答：3a）) ；例 2已知函数1( )2axf xx在
15、区间2,上为增函数，则实数a的取值范围 _（答：1(,)2） ；考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法： （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值例 1 （2007 上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x当21a时，求函数)
16、(xf的最小值。 解析 当21a时，2211)( , 221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间), 1上为增函数。)(xf在区间), 1 上的最小值为27)1 (f。题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围例 2 （2008 广东）已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x若对任意1,),( )0 xf x恒成立 ,试求实数a的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页 解析 02)(2xaxxxf在区间), 1上恒成立；022axx在区间), 1上恒成立；axx22在区间), 1上恒成立；函数x
17、xy22在区间), 1上的最小值为3，3a即3a函数的奇偶性（一）知识梳理1、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 ： 对 于 函 数)(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个x， 都 有)()(xfxf 或0)()(xfxf ，则称)(xf为奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称。对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf或0)()(xfxf ，则称)(xf为偶函数 . 偶函数的图象关于y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2. 函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇
18、偶函数的定义判断( )()f xfx（2）利用定义的等价形式,( )()0fxfx，()1( )fxf x（( )0f x）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （2）若奇函数( )fx定义域中含有0，则必有(0)0f. 故(0)0f是( )f x为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）” 。如设)(xf是定义域为R 的任一函数，( )()
19、( )2f xfxF x，( )()( )2f xfxG x。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. （5）设( )f x，( )g x的定义域分别是12,D D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（二）考点分析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1| |x1| ； （2）f（x）=（x1）xx11；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页（3）2|2|1)(2xxxf； （
20、4）).0()1(),0()1()(xxxxxxxf题型 2：证明抽象函数的奇偶性例 1 .(09 年山东 )定义在区间) 1 , 1(上的函数f(x) 满足：对任意的) 1 , 1(, yx， 都有)1()()(xyyxfyfxf. 求证f (x) 为奇函数； 解析 令 x = y = 0，则 f (0) + f (0) = )0()0100(ff f (0) = 0 令 x ( 1, 1) x( 1, 1) f (x) + f (x) = f (21xxx) = f (0) = 0 f (x) = f (x) f (x) 在 ( 1，1) 上为奇函数例 2 （1）函数)(xf，Rx，若对于
21、任意实数ba,，都有)()()(bfafbaf，求证：)(xf为奇函数。（2）设函数)(xf定义在),(ll上，证明)()(xfxf是偶函数，)()(xfxf是奇函数。考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已知奇函数)(xf是定义在)2 ,2(上的减函数，若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。 解析 )(xf是定义在)2,2(上奇函数对任意x)2,2(有fxfx由条件0)12()1(mfmf得(1)(21)f mfm=(12)fm)(xf是定义在)2, 2(上减函数21212mm，解得1223m实数m的取值范围是1223m例 2设函数)(xf对于任意的Ryx,，都有)()()(
22、yfxfyxf，且0 x时0)(xf,2)1(f（1）求证)(xf是奇函数；（2）试问当33x时，)(xf是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例 3设函数f(x) 是定义在R 上的偶函数，并在区间( ,0) 内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1). 求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132aa的单调递减区间. 解析 设 0 x1x2, 则x2x10，f(x) 在区间 ( ,0) 内单调递增，f( x2)f( x1), f(x) 为偶函数，f( x2)=f(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)f(x1). f(x) 在(0，+) 内单调递减. .
23、 032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又由f(2a2+a+1)3a22a+1. 解之，得0a3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页又a23a+1=(a23)245. 函数y=(21)132aa的单调减区间是3,)2结合 0a0 时，抛物线开口向上，函数在2,(ab上单调递减，在),2ab上单调递增，abx2时，abacxf44)(2min；（ 2） a0) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页(1)x1
24、,x2 ,x2, 则0)()2/(0afab(3) x1 , x2 ,则)2/(0)(0)(0abff(4)x1( 0(0(0(0)的解集为( ,) ()或者是(, )( ,)（二）考点分析考点 1求二次函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足 f(2)= -1，f(-1)= -1且 f(x) 的最大值是8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设 f(x)=ax2+bx+c(a 0) ，由题意得：84411242abaccbacba解得：744cba f(x)= - 4x2+4x+7 法二：利用顶点式f(2)= f(-1) 对称轴212)1(2x又最大值是8 可设)0(8)21()(2axax
25、f，由 f(2)= -1可得 a= - 4 7448)21(4)(22xxxxf法 三 ： 由 已 知f(x)+1=0的 两 根 为x1=2,x2=-1 ， 故 可 设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又84)12(482maxaaaay即得 a= - 4或 a=0(舍) f(x)= - 4x2+4x+7 例 2已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0, 1)，求函数的解析式解：二次函数的对称轴为2x，设所求函数为2( )(2)f xa xb，又( )f x截x轴上的弦长为4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
26、 - - - - - - -第 11 页，共 26 页( )f x过点(22,0)，( )f x又过点(0, 1)，4021abab，122ab，21( )(2)22f xx考点 2二次函数在区间上的最值问题例 1已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0 x 1 时有最大值2，求 a 的值。思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论解： f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0 x 1), 对称轴 x=a 10 a1 时，22) 1()(maxaafxf综上所述： a= - 1或 a=2 例 2已知 y=f(x)=x2-2x+3, 当 x t,t+1时，求函数的最大
27、值和最小值。答案：32,2,12min2maxttytyt时2,2,121min2maxytyt时2, 32,210min2maxyttyt时2,32,02min2maxtyttyt时例 3已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值分析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题解：令sintx， 1,1t，221()(2)24aytaa，对称轴为2at，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页（1）当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）（2）当12a，即2a时，函
28、数221()(2)24aytaa在 1,1单调递增，由max111242yaa，得103a（3）当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在 1,1单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）综上可得：a的值为2a或103a考点 3一元二次方程根的分布及取值范围例 1已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1) 若方程有两根，其中一根在区间（-1 ， 0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2) 若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴abx2与区间相对位置。解：设 f(x)=x2+2m
29、x+2m+1 (1)由题意画出示意图2165056) 1(02)1(012)0(mmffmf2121100) 1(0)0(0mmff（ 2 ）练习：方程kxx232在（ - 1 ，1）上有实根，求k 的取值范围。宜采用函数思想，求)11(23)(2xxxxf的值域。)25,169k【反思归纳】根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数22( )(21)2f xxaxa与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围解法一：由题知关于x的方程22(21)20
30、xaxa至少有一个非负实根，设根为12,x x则120 x x或1212000 x xxx，得924a-1012yx01yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页解法二：由题知(0)0f或(0)0(21)020fa，得924a指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算mnmnaa；1mnmnaa；01a；rsrsaaa(0,)arsQ、；()rsrsaa(0,)arsQ、；()rrsaba b(0,)arsQ、2.指数函数：xay（0,1aa） ，定义域 R，值域为（,0）.当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当
31、01a，指数函数：xay在定义域上为减函数 .当1a时，xay的a值越大，越靠近y轴；当01a时，则相反 . （二）考点分析例 1已知下列不等式，比较m，n的大小：（1）22mn(2)0.20.2mn变式 1：设111()( )1222ba，那么（）A.aaabbaB.aa baabC.abaabaD.abbaaa例 2函数xya在 0，1上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（）A12B.2 C.4 D.14例3 已 知 函 数)(xfy的 图 象 与 函 数xay（0a且1a） 的 图 象 关 于 直 线xy对 称 ， 记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
32、- - - - - -第 14 页，共 26 页1)2(2)()()(fxfxfxg若)(xgy在区间2,21上是增函数，则实数a的取值范围是（）A),2B)2, 1()1 ,0(C)1 ,21D21,0(对数与对数函数（一）知识梳理1对数运算：log ()loglogaaaMNMN；logloglogaaaMMNN；loglognaaMnM；1loglognaaMMn；logaNaN；logloglogbabNNa换底公式：；logloglog1abcbca推论：2对数函数：如果a（0,1aa）的b次幂等于N ，就是Nab，数b就叫做以a为底的N 的对数，记作bNalog（0,1aa，负数和
33、零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数 . 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x 轴；当01a时，则相反 .（二）考点分析例 1已知函数( )log (1)af xx，( )log (1)(0ag xx a，且1)a（1）求函数( )( )f xg x定义域（2）判断函数( )( )f xg x的奇偶性，并说明理由. 例 2已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3 C.1 1, )7 3D.1,1)7例 3若3log1(04aa，且1)a，求实数a的取值范围 . 变式 1：若011log22aaa，则a
34、的取值范围是（）A),21(B), 1 (C)1 ,21(D)21,0(幂函数（一）知识梳理1、幂函数的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页一般地，形如yx()xR的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质yx2yx3yx12yx1yx定义域R R R 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数yx(,)xR是常数的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数yx(,)xR是常数的图像都过点(1,1)；当0时函数yx
35、的图像都过原点(0,0)；当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c） ；当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c）当12时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c）当1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c）3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点(0,0)，(1,1)；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点(1,1)
36、；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页（二）考点分析考点 1：利用幂函数的单调性比较大小例 1已知0，试比较1,0.2 ,22的大小；例 2已知点 (2 2)， 在幂函数( )f x 的图象上，点124，在幂函数( )g x 的图象上问当 x 为何值时有： （）
37、( )( )f xg x ； （）( )( )f xg x ； （）( )( )f xg x 函数图象（一）知识梳理1函数图象（ 1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是
38、一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移： 函数()yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x)h左移y=f(x+h)； 2）y=f(x) h右移y=f(x h)；、竖直平移： 函数( )yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x) h上移y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移y=f(x) h。对称变换
39、：、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x) 轴yy=f( x) 、函数( )yf x的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页y=f(x) 轴xy= f(x) 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点y= f( x) 、函数)( yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到。y=f(x) xy直线x=f(y) 、函数)2(xafy的图像可以将函数(
40、)yf x的图像关于直线ax对称即可得到；y=f(x) ax直线y=f(2a x)。翻折变换：、函数|( )|yf x的图像可以将函数( )yfx的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留( )yf x的x轴上方部分即可得到；y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx、函数(|)yfx的图像可以将函数( )yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留( )yf x在y轴右边部分即可得到y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx伸缩变换：、函数( )yaf x (0)a的图像可以将函数( )yfx的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
41、(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；y=f(x)ayy=af(x) 、函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页f ( x)y=f(x)axy=f(ax) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例 1 （08 江苏理 14）设函数3( )31()f xaxxxR，若对于任意的1 , 1x都有0)(xf成立，则实数a的值为【解析】本小题考查函数单调性的
42、综合运用若 x0， 则不论a取何值，fx0 显然成立； 当 x0 即1,1x时，331fxaxx0 可化为，2331axx设2331g xxx，则43 12xgxx， 所以g x在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142g xg，从而a4；当 x 0 即1,0时，331fxaxx0 可化为a2331xx，43 12xgxx0g x在区间1,0上单调递增，因此ma14ng xg，从而a4，综上a 4 【答案】 4 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关
43、系；例 2 （ 2009 广 东 卷 理 ）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和（如图 2所示）那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是（）A. 在1t时刻，甲车在乙车前面B. 1t时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t时刻，两车的位置相同D. 0t时刻后，乙车在甲车前面答案A 解析由图像可知，曲线甲v比乙v在 00t、01t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选 A.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页（2）. (2
44、009 山东卷理 ) 函数xxxxeeyee的图像大致为( ). 答案A 解 析函 数 有意义 , 需 使0 xxee,其 定 义 域 为0|xx, 排除 C,D,又因为22111xxxxxxeeeyeee,所以当0 x时函数为减函数,故选 A . 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂 ,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例3已知函数)(Rxxfy满足)1() 1(xfxf，且当1 , 1x时，2)(xxf，则)(xfy与xy5log的图象的交点个数为（）A、2 B、3 C、4 D、5 解析： 由)1()1
45、(xfxf知函数)(xfy的周期为2，作出其图象如右，当x=5 时， f(x)=1,log5x=1; 当 x5 时， f(x)= 10 ， 1 ，log5x1,)(xfy与xy5log的图象不再有交点，故选C巩固 设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满 足f(x+1)= - f(x) ，若当 x0,1时， f(x)=2x-1, 则 f(6log21)= .例 4 （2009 江西卷文）如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象大致为( ) y x O 1 -1 1 5 1x y 1O A
46、xyO11B xyO 1 1 C x y 1 1 D O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页A B C D 答案B 解析由图可知，当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时，投影点( ,0)Q x的速度先由正到0、到负数，再到 0，到正，故A错误；质点( ,)P x y在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点( ,)P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此C是错误的，故选B. 题型 3：函数的图象变换例 5 （2008 全国文， 21）21 （本小题满分12 分）设aR，函
47、数233)(xaxxf（）若2x是函数)(xfy的极值点，求a的值；（）若函数( )( )( )0 2g xf xfxx，在0 x处取得最大值，求a的取值范围解：（）2( )363 (2)fxaxxx ax因为2x是函数( )yf x的极值点，所以(2)0f，即6(22)0a，因此1a经验证，当1a时，2x是函数( )yfx的极值点 4 分（）由题设，3222( )336(3)3 (2)g xaxxaxxaxxx x当( )g x在区间0 2，上的最大值为(0)g时，(0)(2)gg，即02024a故得65a 9 分O( )V ttO( )V ttO( )V ttO( )V tt精选学习资料
48、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页反之，当65a时，对任意0 2x，26( )(3)3 (2)5g xxxx x23(210)5xxx3(25)(2)5xxx0，而(0)0g，故( )g x在区间0 2，上的最大值为(0)g综上，a的取值范围为65， 12 分点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例 6 （2009 四川卷文）已知函数)(xf是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1() 1(xfxxxf，则)25(f的值是( ) A. 0 B. 21C. 1 D. 25答案A 解析若x0，则有)(
49、1) 1(xfxxxf，取21x，则有：)21()21()21(21211) 121()21(fffff（)(xf是偶函数，则)21()21(ff）由此得0)21(f于是0)21(5)21(2121135)121(35)23(35)23(23231) 123()25(fffffff题型 4：函数图象应用例 7函数( )yf x与( )yg x的图像如下图：则函数( )( )yf xg x的图像可能是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页y=f(x)oyxy=g(x)oyxoyxoyxoyxoyxABCD解析：函数
50、( )( )yf xg x的定义域是函数( )yf x与( )yg x的定义域的交集(,0)(0,)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当 x 为很小的正数时( )0f x且( )0g x，故( )( )0f xg x。选 A。点评：明确函数图像在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。例 8已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围。解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过 原 点 ， 即f(0)=0, 得d=0，又 f(x)的图象过 (1，0)，f(x)=a+b+c又有 f(1)0，即 a+bc 0+得 b0，故