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1、核心素养提升练三十一数 列 求 和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.120B.99C.11D.121【解析】选A.an=-,所以a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.在数列an中,an=,若an的前n项和Sn=,则n=()A.3B.4C.5 D.6【解析】选D.由an=1-得:Sn=n-=n-,则Sn=n-,将各选项中的值代入验证得n=6.3.已知数列an的前n项和为Sn,通项公式an=n(-1)n+1,则S17=()A.10B.9C.8D.7【
2、解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=(1+3+17)-(2+4+16)=81-72=9.4.在数列an中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列an的前12项和等于()A.76B.78C.80 D.82【解析】选B.由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,得an+2+an= (-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=
3、2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+a11+a12=78.【变式备选】已知数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10等于()A.15 B.12C.-12 D.-15【解析】选A.因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+a10=-1+4-7+10-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.5.在数列an中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN*,则S60的值为()A.990B.1 000C.1 100D.99【解析】选A.n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-a
4、n=2,an=n.故S60=230+(2+4+60)=990.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知正项数列an中,a1=1,a2=2,2=+(n2),bn=,数列bn的前n项和为Sn,则S33的值是_.【解析】因为2=+(n2),所以数列是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2.所以an=,所以bn=(-),所以数列bn的前n项和Sn=(-1)+(-)+(-)=(-1).则S33=(10-1)=3.答案:37.已知数列an,bn,若b1=0,an=,当n2时,有bn=bn-1+an-1,则b10= _.【解析】由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=
5、an-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,bn-bn-1=an-1,所以b2-b1+b3-b2+bn-bn-1=a1+a2+an-1=+,即bn-b1=a1+a2+an-1=+=-+-+-=1-=,又因为b1=0,所以bn=,所以b10=.答案:【变式备选】已知数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为an的前n项和,则S2 018=_.【解析】由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得,a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,a6=-2,a7=-1,故该数列为周期是4的数列,所以S2 018=504(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=504(-2)
6、+1-2=-1 009.答案:-1 0098.设数列an的通项公式为an=,令bn=nan,则数列bn的前n项和Sn为_.【解析】由bn=nan=n知Sn=12+223+325+n,从而22Sn=123+225+327+n,-得(1-22)Sn=2+23+25+-n,即Sn=(3n-1)+2.答案: (3n-1)+2三、解答题(每小题10分,共20分)9.设数列an满足:a1=5,an+1+4an=5(nN*).(1)是否存在实数t,使an+t是等比数列?(2)设bn=|an|,求bn的前2 013项的和S2 013.【解析】(1)由an+1+4an=5,得an+1=-4an+5.令an+1+
7、t=-4(an+t),得an+1=-4an-5t,所以-5t=5,所以t=-1.从而an+1-1=-4(an-1).又因为a1-1=4,所以an-10.所以an-1是首项为4,公比为-4的等比数列.所以存在实数t=-1,使an+t是等比数列.(2)由(1)得an-1=4(-4)n-1an=1-(-4)n.所以bn=|an|=所以S2 013=b1+b2+b2 013=(1+41)+(42-1)+(1+43)+(44-1)+(42 012-1)+(1+42 013)=41+42+43+42 013+1=+1=.【变式备选】已知数列an的前n项和为Sn,满足a1=2,an+1=2Sn+2.(1)求
8、数列an的通项公式.(2)若数列bn满足:bn=an+log3an,求数列bn的前2n项和S2n.【解析】(1)因为an+1=2Sn+2,所以当n2时, an=2Sn-1+2,-得:an+1-an=2anan+1=3an,又a1=2,由得a2=2a1+2=6,所以a2=3a1,所以an是以2为首项,3为公比的等比数列,所以an=23n-1.(2)因为bn=an+(-1)nlog3an=23n-1+(-1)nlog3(23n-1)=23n-1+(-1)nlog32+(n-1)log33=23n-1+(-1)n(-1+log32)+(-1)nn所以S2n=b1+b2+b2n=2(1+3+32+32
9、n-1)+0+n=32n+n-1.10.已知正项数列an满足a1+a2+a3+an=.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】(1)式中令n=1,求得a1=1,n用n-1代,得a1+a2+a3+an-1=,两式作差化简可得an-an-1=2,进而可求得an.(2)由(1)可得bn=2n,由错位相减法可求和.【解析】(1)设数列an的前n项和为Sn.当n=1时, a1=,所以a1=1,当n2时,4Sn=,所以4Sn-1=,两式相减得4an=+2an-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又an0,所以an-an-1=2,所以
10、数列an是首项为1,公差为2的等差数列,即an=2n-1.(2)因为bn=(2n-1)2n,所以Tn=121+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,-得-Tn=2+2(22+23+2n)-(2n-1)2n+1=2-8+2n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(2-2n+1)=-6+2n+1(3-2n),所以Tn=6+2n+1(2n-3).【变式备选】已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)当n=1时,a1=2.当n2时,Sn-1=2an-1-
11、2,所以an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),即=2(n2,nN*),所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n(nN*).(2)令bn=,则Tn=+,得Tn=+,-,得Tn=1+-=-,整理得Tn=3-.(20分钟40分)1.(5分)在数列an中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos(n+1),记Sn为数列an的前n项和,则=()A.2 019B.2 020C.1 008D.-1 008【解析】选D.因为an+1+(-1)nan=cos(n+1)=(-1)n+1,所以当n=2k时,+a2k=-1,kN*,所以=a1+(a2+a3)+(+)=1+(-1)
12、1 009=-1 008.2.(5分)已知在正项等比数列an中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=()A.224B.225C.226D.256【解析】选B.设正项等比数列an的公比为q且q0,因为a1=1,a2a4=16,所以q4=16,解得q=2.所以an=12n-1=2n-1,由2n-112,解得n4.所以|a1-12|+|a2-12|+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+a8-12=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+a8)=-2+=-2(24-1)+28-1=225.3.(5分)已知数列an满足
13、an+1=+,且a1=,则该数列的前20项的和等于_.【解析】因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前20项的和等于S20=10=15.答案:15【变式备选】已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足n(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(nN*),则S1+S2+=_.【解析】因为n(n+1)+(n2+n-1)Sn-1=0(nN*),所以(Sn+1)n(n+1)Sn-1=0.所以n(n+1)Sn-1=0,所以Sn=-.所以S1+S2+=+=.答案:4.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an-1(nN*).(1)求数列an
14、的通项公式.(2)设bn=2log3+1,求+.【解析】(1)当n=1时,a1=a1-1,所以a1=2,当n2时,因为Sn=an-1,所以Sn-1=an-1-1,-得an=-,即an=3an-1,所以数列an是首项为2,公比为3的等比数列,所以an=23n-1.(2)由(1)得bn=2log3+1=2n-1,所以+=+=1-+-+-=.【变式备选】已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(nN*).(1)求a的值及数列an的通项公式.(2)若bn=(1-an)log3(an+1),求数列的前n项和Tn.【解析】(1)因为6Sn=3n+1+a(nN*),所以当n=1时,6S1=6
15、a1=9+a,当n2时,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,因为an是等比数列,所以a1也适合an=3n-1,所以a1=1,则9+a=6,得a=-3,所以a=-3,数列an的通项公式为an=3n-1(nN*).(2)由(1)得bn=(1-an)log3(an+1)=(3n-2)(3n+1),所以Tn=+=+=1-+-+-=.5.(13分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=3,an+1=2an+2n+1-1(nN*).(1)求a2,a3.(2)求实数使为等差数列,并由此求出an与Sn.【解析】(1)因为a1=3,an+1=2an+2n+1-1,所以a2=23+22-1=9,
16、a3=29+23-1=25.(2)因为a1=3,an+1=2an+2n+1-1,所以an+1-1=2(an-1)+2n+1,所以-=1,故=-1时,数列成等差数列,且首项为=1,公差d=1.所以=n,即an=n2n+1.所以Sn=(12+222+323+n2n)+n,设Tn=12+222+323+n2n,则2Tn=122+223+324+n2n+1,-得,-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Tn=(n-1)2n+1+2,所以Sn=Tn+n=(n-1)2n+1+2+n.【变式备选】已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式.(2)求数列的前n项和.【解析】(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以an的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=+,Sn=+.两式相减得Sn=+-=+-.所以Sn=2-.