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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date椭圆和双曲线练习题及答案解析资源库第二章 圆锥曲线与方程一、选择题1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析：选D根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，故选D.2已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4
2、 D12解析：选C由于ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|BF|2，|CA|CF|2，便可求得ABC的周长为4.3命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|PB|2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义若P点轨迹是椭圆，则|PA|PB|2a(a0，常数)，故甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点
3、无轨迹，故甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要不充分条件4如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A(3，) B(，2) C(，2)(3，) D(6，2)(3，)解析：选D由a2a60，得所以，所以a3或6a2.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.1 B.1或1C.1 D.1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，得c.由2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，得 a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.6椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一
4、个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0) B(0，10) C(0，13) D(0，)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)7已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21 C.1 D.1解析：选A由椭圆的性质知，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1.8已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Aa22
5、5，b216 Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225 Da225，b29解析：选D因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b29.9已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：选D2，|2|.又POBF，即，e.10过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：选B法一：将xc代入椭圆方程可解得点Pc，故|PF1|，又在RtF1PF2中F1PF260，所
6、以|PF2|，根据椭圆定义得2a，从而可得e.法二：设|F1F2|2c，则在RtF1PF2中，|PF1|c，|PF2|c.所以|PF1|PF2|2c2a，离心率e.11已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1或1 D.0或0解析：选C由于焦点所在轴不确定，有两种情况又a5，c7，b2725224.12已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C若方程1表示双曲线，则必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件13已知定点A，B且|AB
7、|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A. B. C. D5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.14双曲线1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是()A17 B7 C7或17 D2或22解析：选D依题意及双曲线定义知，|PF1|PF2|10，即12|PF2|10，|PF2|2或22，故选D.15焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21 Cy21 D.1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1.又c2
8、，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.16下列双曲线中离心率为的是()A.1 B.1 C.1 D.1解析：选B由e得e2，则，即a22b2.因此可知B正确17中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24 Cy2x28 Dy2x24解析：选A令y0得，x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0)，c4，a2c2168，故选A.18(广东高考)若实数k 满足0k5 ，则曲线 1与曲线 1的()A实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C离心率相等 D. 焦距相等解析：选D由0k5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于165
9、k16k5，所以两曲线的焦距相等19双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(10,0) B(12,0) C(3,0) D(60，12)解析：选B由题意知k0，a24，b2k.e21.又e(1,2)，114，12k0.20(天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：选A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线yx与直线y2x10平行，所以2且左焦点为(5,0)，所以a2b2c225，解得a25，b220，故双曲线的方程为1.二、填空题21椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：
10、当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3.答案：3或522已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.答案：123椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭
11、圆的标准方程为_资*源%库 解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，.com8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案：124与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_解析：椭圆9x24y236可化为1，因此可设待求椭圆为1.又b2，故m20，得1.答案：125椭圆1的离心率为，则m_.解析：当焦点在x轴上时，m3；当焦点在y轴上时，m.综上，m3或m.答案：3或26已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(5,4)，则椭圆的方程为_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.设椭圆的标准方程为1(a0)，an椭圆过点P(5,4)，
12、1.解得a245.椭圆的方程为1.答案：127设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：1628经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.答案：129已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析：解析：由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即
13、|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.答案：y2130若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_解析：由渐近线方程为yxx，得m3，所以c，又焦点在x轴上，则焦点坐标为(，0)答案：(，0)31过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：232双曲线1的右顶点为A
14、，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：双曲线1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设直线FB的方程为y(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|(53).答案：.三、解答题33设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标解：由点在椭圆上，得1，又2a4，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)34已知椭圆的两焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，P
15、为椭圆上一点，且2.(1)求此椭圆的方程；资*源% 库Z(2)若点P满足F1PF2120，求PF1F2的面积WWW解：(1)由已知得2，*源%库42a，a2.b2a2c2413，椭圆的标准方程为1.(2)在PF1F2中，由余弦定理得2222cos 120，即42，4(2a)216，12，SPF1F2sin 120123.35在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，.由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|
16、BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故椭圆C的标准方程为1.36椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围资*源%库解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2y22，所以y2axx2.又P点在椭圆上，故1.把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2.由b2a2c2，得a22c2，所以e.又0e1，e1.即椭圆离心率的取值范围是.37已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解：已知双曲线1.据c2a2b2，得
17、c216925，c5.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意，c5，b2c2a225a2，故双曲线方程可写为1.点P在双曲线上，1.化简，得4a4129a21250，Z解得a21或a2.又当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，故a21，b224.所求双曲线的标准方程为x21.38已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.Z(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程Z解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)s
18、in Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x21(x1)3939.已知椭圆方程是1，双曲线E的渐近线方程是3x4y0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程资*源%库资*源%库 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(，0)，顶点坐标为(，0)和(0，)因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(，0)时，可设所求的双曲线方程为9x216y2k(k0)，将点的坐标代入得k45，故所求方程是1.40已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解：(1)由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)所以x0m，y0x0m2m.Z$来&源：因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m1.-