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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date立体几何平行证明问题讲义教师立体几何中平行的问题 立体几何平行证明问题讲义 （一）平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一） 中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，(如例1求证：平面 P、B为顶点，平面内E为中点）采用中位线法。 具体做法：如例1，平面的三个顶点，除中点E外，取AC的中点O，连接EO，再确定由直线PB和中点E、O、D确定的P
2、BD（连接PBD的第三边BD），在PBD中，EO为PB的中位线。 规范写法：例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面；例2三棱柱中，为边 中点。求证：平面； 【习题巩固一】1. （2011天津文）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点 为中点（）证明：/平面； 2（2013年高考课标卷（文）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.(1)证明: BC1/平面A1CD; 2. （2011四川文）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1PA1C1，连接AP交棱CC1于D求证：PB1平面BDA1；（二
3、）平行四边形法：当直线上有一个中点(如例1证明：/平面；O为中点）采用平行四边形法。 具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C、D中只有E与已知平行条件EF/BC有关），再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOEM（原因是EF/OM，EF=OM），从而FO/EM。 规范写法（如图）：例1【天津高考】 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱（1）证明：/平面；例2（2013年高考福建卷（文）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.若为的中点,求证:; 例3（2010陕西文）如图，在
4、四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；（II）若H是AD的中点，证明：EA平面PHC； 【习题巩固二】1.【2010北京文数】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF/AC，AB=,CE=EF=1，（）求证：AF/平面BDE； 2.（2013年高考山东卷（文）如图,四棱锥中,E为PB的中点()求证:; 3.（2012广东）如图5所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高。（3）证明：EF平面PAD 二. “线面平行”与“面面平行”的转化问题中截面法：当直线
5、上有两个中点(如例1证明：平面 ）采用中截面法，如例1只要做出平面的中截面。具体做法：取AC中点P，连接MP、NP，则面MNP/平面规范书写：Tep1: 【如下图】 图 或者 Tep1: 【如上图】Tep2:（面面平行线面平行）；例1 三棱柱中， 分别是，的中点求证：平面； 例2（2013年辽宁卷（文）如图,(II)设 【习题巩固三】1如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为棱的中点求证：平面 2 如图,长方体ABCD-中,M、N分别是AE、的中点。（）求证：；3.(2012辽宁文科）如图，直三棱柱，点分别为和的中点。()证明：平面; 立体几何经典题精选题重点复习题型篇 （一）平行的问题参考答
6、案 一.“线线平行”与“线面平行”的转化问题（一）例1证明：连接BD，ACBD=O，连接EO,在PBD中，OD=OB，EO为PB的中位线，例2证明：连接，连接OD,在AB中，OD为A的中位线，【习题巩固一】1.证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB/MO。因为平面ACM，平面ACM，所以PB/平面ACM。2. 证明：连接，连接OD,在AB中，OD为B的中位线，3. 连结AB1与BA1交于点O，连结OD，C1D平面AA1，A1C1AP，AD=PD，又AO=B1O，ODPB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，PB1平面B
7、DA1（二）例1证明：取CD的中点M，连接OM，EM，EF/OM，EF=OM，FOEM为平行四边形，从而FO/EM，例2证明：取中点,连结, 在中,是中点, ,又, , 四边形为平行四边形, 又平面,平面 平面 例3证明：()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.（II）连接FH，易证EAFH是平行四边形，所以EA/FH,从而得证。【习题巩固二】1.证明：（）设AC，BD 交于点G。因为EFAG,且EF=1，AG=1所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AFEG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面
8、BDE2.证明：取中点，连结，。因为是的中点，所以。因为CD，所以CE，所以四边形MDCE是平行四边形，3.证明：取中点，连结，。因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，二. “线面平行”与“面面平行”的转化问题例1略例2连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点由Q为PA中点，得QMPC. 又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，BCPCC，所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.【习题巩固三】1.思路：取PB的中点M，连接ME、EF，证明面MEF/面PAD2思路：取CD的中点Q，连接MQ、NQ，证明面MNQ/面AD3.证明：取的中点为P，连结MP，NP，分别为和的中点， MP,NP,MP面,NP面, , 面MPN面，MN面， MN面.-