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高三数学复习
——立体几何中的平行与垂直的证明
一、平面的基本性质
公理1:
公理2:
推论1:
推论2:
推论3:
公理3:
二、空间中直线与直线的位置关系
平行:
相交:
异面:
三、平行问题
1. 直线与平面平行的判定与性质
定义
判定定理
性质
性质定理
图形
条件
a∥α
结论
a∥α
b∥α
a∩α=
a∥b
2. 面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β,a⊂β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
平行问题的转化关系:
四、垂直问题
(一)、直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
推论
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
3.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
4.直线和平面垂直的常用性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.
②垂直于同一个平面的两条直线平行.
③垂直于同一条直线的两平面平行.
(二)、平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
类型一、平行与垂直
例1、如图,已知三棱锥中,为中点,为中点,且△为正三角形。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若,,求三棱锥的体积。
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
例2. 如图,已知三棱柱中,底面,,,,,分别是棱,中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
【变式1】. 如图,三棱柱中,侧棱平面,为等腰直角三角形,,且,分别是的中点。
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)设,求三棱锥的体积。
二、线面平行与垂直的性质
例3、如图4,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.
(1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积.
例4、如图,四棱锥P—ABCD中,平面ABCD,底面为正方形,BC=PD=2,E为PC的中点,
(I)求证:;
(II)求三棱锥C—DEG的体积;
(III)AD边上是否存在一点M,使得平面MEG。若存在,求AM的长;否则,说明理由。
【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90,AB=2AD=2CD=2.
(Ⅰ)求证:AC平面BB1C1C;
(Ⅱ) A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.
4
4
2
2
4
4
4
正视图
侧视图
俯视图
三、三视图与折叠问题
例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若为的中点,求证:面;
(1) 证明:∥面;
(2) 求三棱锥的体积。
A
B
E
P
D
C
例6.已知四边形是等腰梯形,(如图1)。现将沿折起,使得(如图2),连结。
(I)求证:平面平面;
(II)试在棱上确定一点,使截面把几何体分成两部分的体积比;
(III)在点满足(II)的情况下,判断直线是否平行于平面,并说明理由。
图1
图2
【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E为PD中点.科网
(I)求证:PB//平面AEC;(II)求四棱锥的体积;
(Ⅲ)若F为侧棱PA上一点,且,则为何值时,平面BDF.
【变式4】如图1所示,正的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点。现将沿CD翻折,使翻折后平面ACD平面BCD(如图2)
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求三棱锥C-DEF的体积。
四、立体几何中的最值问题
例7.图4,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径, C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A= AB=2.
(1)求证: BC⊥平面A1AC;
(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
图4
A
B
C
A1
例8. 如图,在交AC于 点D,现将
(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为
【变式5】如图3,已知在中,,平面ABC,于E,于F,,,当变化时,求三棱锥体积的最大值。
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案)
【典例探究】
例1解:(Ⅰ)∵
∴∥,又∴
∴∥
(Ⅱ)∵△为正三角形,且为中点,∴
又由(1)∴知 ∴
又已知 ∴,
∴,又∵
∴,∴平面平面,
(Ⅲ)∵,∴,∴
又,
∴
∴
例2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱中,底面
又因为平面, 所以. ……………………… 1分
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
G
因为,是中点,
所以. ………………………………………… 2分
因为, …………………………………………… 3分
所以平面. …………………………………………… 4分
(Ⅱ)证明:取的中点,连结,,
因为,分别是棱,中点,
所以,.
又因为,,
所以,.
所以四边形是平行四边形. ………………………………………… 6分
所以. …………………………………………………………… 7分
因为平面,平面, …………………………… 8分
所以平面. ……………………………………………………… 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面. …………………………………………… 10分
所以. ………………………… 13分
变式1.(1)根据中点寻找平行线即可;(2)易证,在根据勾股定理的逆定理证明;(3)由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。
【解析】(1)取中点,连接
平行四边形,平面,平面,平面。 (4分)
(2)等腰直角三角形中为斜边的中点,
又直三棱柱,面面,
面,
设
又面。 (8分)
(3)由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的。,所以三棱锥的高为;在中,,所以三棱锥的底面面积为,故三棱锥的体积为。(12分)
二、线面平行与垂直的性质
例3.(1)证明:在中,由于,,,
∴. …… 2分
∴ .
又平面平面,平面平面,平面,
∴平面. …… 4分
(2)解:过作交于.
又平面平面, ∴平面. …… 6分
∵是边长为2的等边三角形, ∴.
由(1)知,,在中,
斜边边上的高为. …… 8分
∵,∴. …… 10分
∴. …… 14分
例4、(I)证明:平面ABCD,
又∵ABCD是正方形,∴BC⊥CD,
∵PDICE=D, ∴BC⊥平面PCD
又∵PC面PBC,∴PC⊥BC
(II)解:∵BC⊥平面PCD,∴GC是三棱锥G—DEC的高。
∵E是PC的中点,
(III)连结AC,取A C中点O,连结EO、GO,延长GO交AD于点M,则PA//平面MEG。
下面证明之
∵E为PC的中点,O是AC的中点,∴EO//平面PA,
又,∴PA//平面MEG
在正方形ABCD中,∵O是AC中点,≌
∴所求AM的长为
变式2.证明:(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90,AB=2AD=2CD=2,
∴AC=,∠CAB=45,∴BC=,∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B,BB1,BC平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)存在点P,P为A1B1的中点。
证明:由P为A1B1的中点,有PB1∥AB,且PB1=AB.
又∵DC∥AB,DC=AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1,
∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP.又CB1∥ACB1,DP面ACB1,∴DP∥面ACB1.
同理,DP∥面BCB1.
4
4
2
2
4
4
4
正视图
侧视图
俯视图
A
B
E
P
D
C
例5、
(1)由几何体的三视图可知,底面是边长为4的正方形,面,
∥,
为中点,
又面。
(2)取的中点,与的交点为,∥,
∥,故为平行四边形,
∥,∥面。
(3)
例6.答案略
变式3.解:(1)由三视图得,四棱锥底面ABCD为菱形,
棱锥的高为3,设,则即是棱锥
的高,底面边长是2,连接,分别
是的中点,∥,
∥
(2)
(3)过作----10分
---------------12分
---------------14分
变式4.解:(1)判断:AB//平面DEF………………………………………………..2分
M
证明:
因在中,E,F分别是
AC,BC的中点,有
EF//AB………………..5分
又因
AB平面DEF,
EF平面DEF…………..6分
所以
AB//平面DEF……………..7分
(2)过点E作EMDC于点M,
面ACD面BCD,面ACD面BCD=CD,而EM面ACD
故EM平面BCD 于是EM是三棱锥E-CDF的高……………………………..9分
又CDF的面积为
EM=……………………………………………………………………11分
故三棱锥C-DEF的体积为
四、立体几何中的最值问题
例7.图4
A
B
C
A1
证明:∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,
AB是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC, ……2分
∵AA1⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴AA1⊥BC, ……4分
∵AA1∩AC=A,AA1平面AA1 C,AC平面AA1 C,
∴BC⊥平面AA1C. ……6分
(2)解法1:设AC=x,在Rt△ABC中,
(0
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