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1、第25讲 立体几何平行与垂直判断与证明问题 【考点预测】1、证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行
2、的判定定理；利用平行公理；2、证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质（）；平行线垂直直线的传递性（）.（2）证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定（）；面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理（）.【典例例题】例1（2023内蒙古赤峰统考模拟预测）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的命题个数为（）A0个
3、B1个C2个D3个【答案】D【解析】对于命题，若，过直线的平面与的交线满足，则，则，命题正确；对于命题，若，则，命题正确；对于命题，若，则或，或相交但不垂直，或，故错误；对于命题，根据面面垂直的判断定理可知，若，则，命题正确.故选：D.例2（2023山东滨州高三统考期末）已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A，则B，则C，则D，则【答案】D【解析】对于A，则或，A错误；对于B，若，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，则，又因为，所以，D正确.故选:D.例3（2023全国唐山市第十一中学校考模拟预
4、测）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】对于A，根据基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；对于B，根据平面平行的传递性，若，则，故B正确；对于C，由，当时，则，当时，则不一定垂直于，故C错误；对于D，由，设，且，又，则，又，所以，故D正确故选：C例4（2023高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求证：平面平面【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，则为平行四边形，则，故E、F、B、D共面.（2）由题意可得：分别为的中点，则，则，且平
5、面，平面，平面，连接，由题意可得：分别为的中点，则，则，即为平行四边形，平面，平面，平面，平面，故平面平面.例5（2023全国高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，为中点，为的中点(1)求证：直线平面；(2)求直线与所成角大小【解析】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，因为为中点，为的中点，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理可得平面PCD，因为，平面，所以平面平面PCD，因为平面MNE，所以直线平面；（2）连接AC，四边形为边长为的菱形，所以，由余弦定理得：，因为，为中点，所以,因为底面，平面ABCD，所以PAAC，PAAD，所以，因为，所以直线与所成的角
6、或其补角为直线与所成的角，由余弦定理得：，故直线与所成角的大小为.例6（2023北京顺义高二统考期末）如图，在三棱柱中，且，底面，E为中点(1)求证：；(2)求证：平面【解析】（1）底面且平面，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中点，连接，因为分别为的中点可知，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面例7（2023全国高三专题练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)若E为B
7、C边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA/平面DEF？并证明你的结论【解析】（1）在底面菱形ABCD中，DAB60，G为AD边的中点，所以BGAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD（2）连接DE，EF，DF，设DE交AC于点H，连接HF因为PA/平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA/，可得，所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA/平面DEF.例8（2023全国高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E为AD的中点
8、(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD.【解析】（1）因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD，因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.（2）因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.例9（2023贵州铜仁高三统考期末）如图，在直三棱柱中，M，N分别是，的中点(1)求证：；(2)求三棱锥的体积【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，
9、所以平面平面，且平面平面，因为，且点是的中点，所以平面，又因为平面，所以；（2）三棱锥,由条件可知是等腰直角三角形，所以，点到平面的距离，.例10（2023春重庆高三统考开学考试）如图1，在平面四边形中，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，求证：；【解析】（1）证明:延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面平面，平面，且平面平面，所以平面，又由，所以平面，因为平面，所以，所以，【技能提升训练】一、单选题1（2023吉林长春高三长春市第二中学校考期末）下列说法中正确的是（）A若，则B若，则C平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行D若，则【答案】D【
10、解析】对于A，若，则与可能平行，可能异面，所以A错误，对于B，若，则有可能，有可能，所以B错误，对于C，若平面内的三个顶点到平面的距离相等，则当三点在的同侧时，因为，所以与平行，当三点在的两侧时，可得与相交，所以C错误，对于D，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：D2（2023河南郑州高三校联考期末）已知在正方体中，交于点，则（）A平面B平面C平面D【答案】C【解析】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.故选：C.二、多选题3（2023广东茂名统考一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A若，则B若，则C若
11、，则D若，则【答案】ACD【解析】对于A，则一定成立，A正确；对于B，如图，正方体两两相交的三个平面,平面,平面,平面平面，平面平面,平面平面，但不平行，故B错误；对于C，若，则或，但，所以，C正确；对于D，则，D正确. 故选:ACD.4（2023春山西忻州高三校联考开学考试）已知直线，两个不同的平面和，下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【解析】若，则或，A错误；若，则，B正确；若，则由面面平行的性质可得，C正确；若，则与平行或相交，D错误；故选：BC5（2023春河北石家庄高三校联考开学考试）已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，Q是空间中的一个点
12、，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】CD【解析】对于A，若，直线m与平面可能相交，故A错误；对于B，若可知n上有一点在内，根据两点确定一条直线可知，n不一定在内，故B错误；对于C，故C正确：对于D，故D正确故选:CD6（2023河北保定高三统考期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（）AAB与CD平行BCD与GH是异面直线CEF与GH成角DCD与EF平行【答案】CD【解析】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A错；与相交，故B错；因为该几何体为正方体，所以，三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD正确.故选：CD.7（2023福建龙岩高三
13、校联考期末）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（）ABCD【答案】AC【解析】显然，BD错误；与与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确.故选：AC8（2023河北唐山高三统考期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BD【解析】A选项，若，则可能异面，A选项错误.B选项，若，则，B选项正确.C选项，若，则可能相交，C选项正确.D选项，若，则，D选项正确.故选：BD9（2023山西晋城高二校考期末）如图，在正方体中，下列结论正确的是（）A平面B平面C平面平面D平面平面【答案】ACD【解析】因为
14、平面平面，所以平面，故A正确；与不垂直，则与不垂直，故平面不正确，故B错误；因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，故C正确；正方体中，有平面，因为平面，则，又，平面，可得平面，因为平面，从而平面平面，故D正确.故选：.三、填空题10（2023高三课时练习）已知a、b、c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是_（写出所有满足条件的说法序号）若，则；若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；若a、b分别在两个相交平面上，则这两条直线可能平行、相交或异面；若a与c相交，b与c异面，则a与b异面【答案】【解析】对于：根据公理可得正确.对于如图：把直线看成直线，直线看成，直线看成可
15、知，直线a与c异面，故错误.对于如图，可得正确.对于，如图选项的图，把直线看成，直线看成，直线看成，所以直线相交，故错误.故答案为：11（2023高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是_（写出所有符合条件的序号）【答案】【解析】对于，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.又，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，所以平面平面.又平面，所以平面，故正确；对于，如图2，连结.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平
16、面，故正确；对于，如图3，连结、.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.因为平面，平面，所以平面.同理可得平面.因为平面，平面，所以平面平面.显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故错误；对于：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，故平面即为平面，由正方体可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，显然不正确，故错误.故答案为：.四、解答题12（2023四川凉山统考一模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，为的中点(1)当时，求证：平面；(2)求三棱锥的体积【解析】（1）证明：，取中点，连接，如图所示， 为的中点，且，又当时，则为的中点，又，且，且，且，四边形为平行
17、四边形，又平面，平面，平面（2）由题意知，在等边中，D为BC中点，则，又，平面，平面，平面，又，即三棱锥的体积为13（2023辽宁沈阳高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【解析】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点，又面ABCD，面ABCD，平面；（2）底面是正方形，又底面，面ABCD，面，面，面，又面，.14（2023高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于证明：【解析】证明：连结，交于点，连结.因为四边形为平行四边形，所以是的中点.又是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.又平面平面
18、，平面，所以15（2023全国高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接.因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，所以为的中点，又因为为的中点，所以在中，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：连接，因为为的中点，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.由（）知平面，又因为，平面，所以平面平面.16（2023高一课时练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点求证：是
19、中点【解析】证明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因为点是的中点，所以是中点17（2023河南南阳高三统考期末）如图,四棱锥的底面为直角梯形,底面, ,设平面与平面的交线为(1)证明:;(2)证明:平面;(3)求点到平面的距离【解析】（1）证明:由题可知,平面,平面,故平面,平面,平面平面,;（2）证明:底面,底面为直角梯形,且,平面,平面,平面,由(1)知,平面;（3）由题知,且,连接,如图所示:可得,底面,为直角三角形,设点到平面的距离为,即,即,解得:,故点到平面的距离为.18（2023全国高三专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，
20、分别在棱和上，平面，求的值【解析】如图，过点作交于点，连接，与确定一个平面，平面，平面平面，四边形为平行四边形，又，.19（2023全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，求证：.【解析】在四棱锥中，平面，平面，平面平面，所以.20（2023全国高三专题练习）如图，在长方体中，分别是线段，的中点，证明：平面【解析】取的中点，连接，则，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；21（2023全国高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，点E、F分别为AD、PC的中点设平面平面(1)证明：平面PBE；(2)证明：【解析】（1）取PB中点，连接FG，EG，
21、因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.22（2023全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点求证：平面；【解析】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，则，又平面，平面，故平面，则，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面23（2023高三课时练习）如图，在直三棱柱中，E，F分别是棱、AB的中点(1)求证：；(2)求四棱锥的体积；(3)判断直线CF和平
22、面的位置关系，并加以证明【解析】（1）因为三棱柱是直棱柱，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以；（2）因为平面ABC，又平面ABC，所以，由，即，且，平面，所以平面，由E是棱的中点，则，所以四边形的面积为，所以四棱锥的体积为；（3）平面如图，取的中点G，连接EG、FG，因为F、G分别是棱AB、的中点，所以，又，所以，FG=EC，所以四边形FGEC是平行四边形，进而得，又平面，平面，所以平面24（2023高一课时练习）已知在平面外，满足，平面，垂足为，求证：为底面的垂心【解析】证明：如图，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以同理可证平面，因为平面，所以
23、，所以为底面的垂心25（2023河南高三安阳一中校联考阶段练习）如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；【解析】（1）平面平面，如图，连接四边形为正方形，又平面，平面，平面.26（2023广西桂林统考模拟预测）如图，正方体中，E是的中点，M是AD的中点(1)证明：平面；【解析】（1）如图，取中点F，连接EF，AF交于O，E，F分别为和中点，平行且相等， 平行且相等，平行且相等，四边形为平行四边形，与相似，即，平面，且平面，平面，平面，平面；27（2023全国高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，平面，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【解析】（1）
24、证明：取的中点，连接交于，连接，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到平面的距离为，因为平面，平面,所以,因为,平面，所以平面，且平面,所以,因为，所以，所以,所以且,所以,取中点为，连接,因为是菱形，所以为等边三角形，所以,且,又因为平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因为,因为，即,所以.28（2023四川成都统考一模）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图所示的四棱锥.(1)设平面平面，证明：平面；【解析】（1）平面平面，平面.平面
25、，平面平面，.由图，得，.平面，平面；29（2023春安徽高三统考开学考试）如图，在几何体中，四边形为矩形，.(1)证明：；【解析】（1）证明：由题意得，四边形为直角梯形，又，易知，所以，所以.又因为，平面，所以平面，平面，所以.30（2023全国高三专题练习）如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且(1)证明：平面平面；【解析】（1）连接，由已知，且，四边形为菱形，在圆锥中，平面，平面，平面，平面，平面又平面，平面平面31（2023江苏高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面(1)求证：平面；【解析】（1）作于H，平面平面，平面平面平面平
26、面，平面，平面；32（2023全国高三专题练习）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，.(1)证明:；【解析】（1） 点在平面内的射影在上，平面，又平面， ，平面， 平面，平面， ， ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形，故，又，平面， 平面，平面，；33（2023全国高三专题练习）如图，在三棱柱中，点是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面为菱形，求证：平面.【解析】（1）连接交于，连接，由为三棱柱，则为平行四边形，所以是中点，又是的中点，故在中，面，面，所以平面.（2）由，而，面，所以面，又面，则，由侧面为菱形，故，又，面，故平面.34（2023全国高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，
27、是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面【解析】（1）证明：（1）取的中点，连接，是的中点，和都垂直于平面，四边形为平行四边形，从而，平面，平面，平面（2）证明垂直于平面，平面，平面，平面，由（1）可知：，平面35（2023春河南开封高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，(1)证明：平面PCD平面PBC；(2)若，求三棱锥的体积【解析】（1）连接，因为，所以,又因为，所以，即,又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，又因为平面PCD，所以平面PCD,又因为平面PBC，所以平面PCD平面PBC.（2）在直角三角形中，在直角三角形中，所以，所以，所以.36（2023江苏泰州高三统考期末）如图,在三棱台中,已知平面平面,(1)求证:直线平面;【解析】（1）证明:在等腰梯形中,过作于点,画图如下:所以,且,所以,即,即,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面;