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1、1 函数及其表示考点一求定义域的几种情况假设 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；假设 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；假设 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；假设 f(x)是对数函数，真数应大于零。.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。假设 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；假设 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式Card(A)=m,card(B)=n, m,nN,则从 A 到 B 的映射个数为nm。简单
2、说成“前指后底” 。方法技巧清单方法一函数定义域的求法1 2009江西卷文函数234xxyx的定义域为A 4,1B 4, 0)C(0,1D 4, 0)(0,1解析由20340 xxx得40 x或 01x,故选 D. 2 2009江西卷理函数2ln(1)34xyxx的定义域为( ) A( 4,1)B( 4,1)C( 1,1)D( 1,1解析由21011141340 xxxxxx.故选 C 3.2009福建卷文以下函数中，与函数1yx有相同定义域的是( ) A .( )lnf xxB.1( )fxxC. ( )|f xxD.( )xf xe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
3、总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 解析 由1yx可得定义域是0.( )lnxf xx的定义域0 x；1( )f xx的定义域是x0；( )|f xx的定义域是;( )xxR f xe定义域是 xR。故选 A. 4.2007年上海 函数3)4lg(xxy的定义域是答案34xxx且5.求以下函数的定义域。y=22 ?xx.y=xxx 12.y=xx116.已知函数 f(x)的定义域为,51，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。方法二函数概念的考察1. 以下各组函数中表示同一函数的是A.y=55x和xy2B.y=lnex和exylnC.3131xyxx
4、xy和D.xxyy001和2函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为A. 0 个 B. 1个C. 0个或 1 个D. 不能确定3已知函数 y=22x定义域为2, 1.0 , 1，则其值域为方法三 分段函数的考察求分段函数的定义域和值域2x+2 x0 ,11 求函数 f(x)= x21x2,0的定义域和值域3 x,222010天津文数 设函数2( )2()g xxxR，( )4,( ),( ),( ).( )g xxx g xg xx x g xf x则( )f x的值域是A9,0(1,)4B0,)C9,)4D9,0(2,)4【解析】依题意知22222(4),2( )2,2xxxx
5、f xxx xx，222,12( )2,12xxxf xxxx或求分段函数函数值3 2010湖北文数 3.已知函数3log,0( )2 ,0 xx xf xx，则1( )9ff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 A.4 B. 14C.-4 D-14【解析】根据分段函数可得311( )log299f，则211()( 2)294fff，所以 B 正确. 解分段函数不等式4.2009天津卷文设函数0, 60, 64)(2xxxxxxf则不等式)1 ()(fxf的解集是A.),3()1 ,3(B.),2()1 ,3(C.
6、),3() 1 ,1(D.)3, 1()3,(答案 A 解析由已知，函数先增后减再增当0 x，2)(xf3) 1(f令,3)(xf解得3, 1 xx。当0 x，3,36xx故3)1()(fxf，解得313xx或5 2009天津卷理已知函数0,40,4)(22xxxxxxxf假设2(2)( ),faf a则实数a的取值范围是 A (, 1)(2,)B ( 1,2)C ( 2,1)D (, 2)(1,)解析：由题知)(xf在 R 上是增函数，由题得aa22，解得12a，故选择 C。6.2009北京理假设函数1,0( )1( ) ,03xxxf xx则不等式1|( ) |3f x的解集为 _. 解析
7、1 由01|( )|301133xf xxx. 2 由001|( ) |01111133333xxxxf xx. 不等式1|( ) |3f x的解集为| 31xx，应填3,1 . 7。 2010天津理数 假设函数 f(x)=212log,0,log (),0 x xxx,假设 f(a)f(-a),则实数 a的取值范围是A -1，0 0，1 B -，-1 1,+C -1，0 1,+ D -，-1 0,1【答案】 C 由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。2112220a0( )()logloglog ()log ()af afaaaaa或001-10112aaaaaaa或或【温馨提示
8、】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 事要注意底数在 0，1上时，不等号的方向不要写错。解分段函数方程8 2009北京文已知函数3 ,1,( ),1,xxf xxx假设( )2f x，则x. .w 解析5.u.c 此题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由31log 232xxx，122xxx无解，故应填3log 2. 方法四 求函数的解析式1求以下函数的解析式 已知).(,1133xfxxfxx
9、求).(lg12xfxxf，求已知 已知 f(x)是二次函数，假设f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x). 已知 f(x)满足.312xxfxf求 f(x). 方法五 函数图像的考察1. (2009山东卷理 )函数xxxxeeyee的图像大致为( ). 1x y 1O A xyO11B xyO 1 1 C x y 1 1 D O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页5 解 析函 数 有 意 义 , 需 使0 xxee, 其 定 义 域 为0| xx, 排 除C,D, 又 因 为22212111
10、xxxxxxxeeeyeeee,所以当0 x时函数为减函数 ,故选 A. 2. 2009 广 东 卷 理 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和如图 2 所示 那么对于图中给定的01tt和，以下判断中一定正确的选项是A. 在1t时刻，甲车在乙车前面B. 1t时刻后，甲车在乙车后面C. 在0t时刻，两车的位置相同D. 0t时刻后，乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线甲v比乙v在 00t、01t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选A. 3.2009江西卷文如下图，一质点( ,)P x y在xOy平面上沿曲线运动，速
11、度大小不变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象大致为( ) A B C D 解析由图可知，当质点( ,)P x y在两个封闭曲线上运动时， 投影点( ,0)Q x的速度先由正到 0、 到负数，再到 0，到正，故 A错误；质点( ,)P x y在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误；质点( , )P x y在开始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此 C 是错误的，故选 B. O( )V ttO( )V ttO( )V ttO( )V ttyO( , )P x y( ,0)Q x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
12、 - - - - - -第 5 页，共 12 页6 42010山东理数 (11)函数 y=2x-2x的图像大致是【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x-2x=0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x-2x=14lge0,知 ab,又 c=21lge, 作商比较知 cb,选 B。3.2009辽宁卷文已知偶函数( )f x在区间 0,)单调增加，则满足(21)fx1()3f的 x 取值范围是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 A 13，23B.13，23C.12，23D.12，23答案A 解析由于 f(
13、x)是偶函数 ,故 f(x)f(|x|) 得 f(|2x1|) f(13),再根据 f(x)的单调性得 |2x 1| 13解得13x234. 2009陕西卷文 定义在 R上的偶函数( )f x满足： 对任意的1212,0,)()x xxx， 有2121()()0f xfxxx.则( ) (A)(3)( 2)(1)fffB.(1)( 2)(3)fffC. ( 2)(1)(3)fffD.(3)(1)( 2)fff答案A 解析由2121()()()0 xxf xf x等价，于2121()()0f xf xxx则( )f x在1212,(,0()x xxx上单调递增 , 又( )f x是偶函数 ,故(
14、 )f x在1212,(0,()x xxx单调递减 .且满足*nN时, ( 2)(2)ff, 0321,得(3)( 2)(1)fff,故选 A. 5.(2009陕西卷理 )定义在 R 上的偶函数( )fx满足：对任意的1212,(,0()xxxx，有2121()()()0 xxf xf x. 则当*nN时,有( ) (A)()(1)(1)fnf nf nB.(1)()(1)f nfnf nC. C.(1)()(1)f nfnf nD.(1)(1)()f nf nfn答案C 6.2009 江苏卷已知512a，函数( )xf xa，假设实数m、n满足()( )f mf n，则m、n的大小关系为.
15、121221212121,(, 0()()()()0()()()(, 0()()(0(1)()(1)(1)()(1)xxxxxxfxfxxxfxfxfxfxfxfnfnfnfnfnfn解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数而 n+1nn-10,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页1 0解析51(0,1)2a，函数( )xf xa在 R 上递减。由()( )f mf n得：m0)在区间8, 8上有四个不同的根1234,x xx x,则1234_.xxxx答案-8 解析因为定义在R 上的奇函数，满足(4)( )f xf
16、 x,所以(4)()f xfx,所以, 由)(xf为奇函数 ,所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f,由(4)( )f xf x知(8)( )f xf x,所以函数是以 8为周期的周期函数 ,又因为)(xf在区间 0,2上是增函数 ,所以)(xf在区间 -2,0上也是增函数 .如下图 ,那么方程f(x)=m(m0) 在区间8 ,8上有四个不同的根1234,x xxx,不妨设1234xxxx由对称性知1212xx344xx所以12341248xxxx-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
17、 - - - - -第 10 页，共 12 页1 1方法十二对数函数的考察32010全国卷 1 文数 (7)已知函数( )|lg|f xx.假设 ab且，( )( )f af b，则 ab的取值范围是(A)(1,)(B)1,)(C) (2,)(D) 2,)C【命题意图】做本小题时极易无视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12aa,从而错选D,【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或1ba，所以 a+b=1aa又 0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是 (2,+). 【解析 2】由 0ab,且 f(a)=f(b
18、)得：0111abab，利用线性规划得：0111xyxy，化为求 zxy的取值范围问题， zxyyxz，2111yyxx过点 1,1 时 z 最小为 2,(C) (2,)42010全国卷 1 理数 10已知函数 f(x)=|lg x|. 假设 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b的取值范围是(A)(22,)(B)22,)(C)(3,)(D)3,)方法十三函数创新题的解法1.(2009浙江理对于正实数，记M为满足下述条件的函数( )f x构成的集合：12,x xR且21xx，有212121()()()()xxf xf xxx以下结论中正确的选项是( ) 精选学习资料 - - - - -
19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页1 2A假设1( )f xM，2( )g xM，则12( )( )f xg xMB假设1( )f xM，2( )g xM，且( )0g x，则12( )( )f xMg xC假设1( )fxM，2( )g xM，则12( )( )f xg xMD假设1( )f xM，2( )g xM，且12，则12( )( )f xg xM答 案C 解析对 于212121()()()()xxf xf xxx， 即 有2121()()fxf xxx，令2121()()f xf xkxx，有k，不妨设1( )f xM，2( )g x
20、M，即有11,fk22gk，因此有1212fgkk，因此有12( )( )f xg xM2.2009福建卷理函数( )(0)f xaxbxc a的图象关于直线2bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程2( )( )0m f xnf xp的解集都不可能是( ) A. 1,2B 1,4C 1,2,3,4D 1,4,16,64答案D 解析对方程2( )( )0m f xnfxP中, ,m n p 分别赋值求出( )f x代入( )0f x求出检验即得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页