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1、Word 格式完美整理2018 年高考数学数列压轴专项练习集（一）1. 已知等差数列na和等比数列nb，其中na的公差不为0设nS是数列na的前 n 项和若521,aaa是数列nb的前 3 项，且4S=16（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列taSnn14为等差数列，求实数t；（ 3 ） 构 造 数 列,.,.,.,21321321211kkbbbabbbabbaba若 该 数 列 前n项 和1821nT，求 n 的值2. 已知数列na满足1, 121aa，且)(2)1(2*2Nnaannn（1）求65aa的值；（2）设nS为数列na的前 n 项的和，求nS；（3）设nnnaab21
2、2，是否存正整数i ，j ，k（i j k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i ，j ，k；若不存在，请说明理由3.( 本题满分12 分)设数列na的前 n 项和为nS, 已知121aa,(2)nnnbnSna,数列nb是公差为 d 的等差数列 ,*nN. (1) 求 d 的值 ; (2) 求数列na的通项公式 ; (3) 求证 :2112122() ()(1)(2)nnna aaS SSnn. 4. 设数列na的首项1()aa aR，且13,34,3nnnnnaaaaa 时，1m，2，3，L(1) 若 01a，求2a ，3a ，4a ，5a (2) 若04na，证
3、明：104na(3) 若 02a ，求所有的正整数k ，使得对于任意*nN，均有n knaa 成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理5. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列；（）设数列 bn的前 n 项和为 Tn，b1=1，点（ Tn+1，Tn）在直线上，若不等式nnnamababab229111221
4、1?对于 nN*恒成立，求实数m的最大值6. 设不等式组)(04*Nxnxyyx所表示的平面区域为Dn，记 Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）（1）n=2 时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求 a2的值；（2）求数列 an 的通项公式；（3）记数列 an 的前 n 项的和为 Sn，试证明：对任意nN*恒有+成立7. 在数列na中，123a，*121,nnnSannNS（）求123,S S S的值；（）猜想nS的表达式，并证明你的猜想8. 设数列na是各项均为正数的等比数列，其前n项和为nS，若1564a a，5348SS. （1）求数列na的通项公式；名师资料总结 -
5、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理（2）对于正整数,k m l（kml），求证：“1mk且3lk”是“5,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列nb满足：对任意的正整数n，都有121321nnnna ba ba ba bL13 246nn，且集合*|,nnbMnnNa中有且仅有3 个元素，试求的取值范围 . 9. 已知 f （n）=1+，g（n）=，nN*（1）当 n=1
6、，2，3 时，试比较f （n）与 g（n）的大小关系；（2）猜想 f （n）与 g（n）的大小关系，并给出证明10. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若（nN*），则称 an 是“紧密数列”；（1）若 a1=1，a3=x，a4=4，求 x 的取值范围；（2）若 an为等差数列，首项a1，公差 d，且 0da1，判断 an是否为“紧密数列”；（3）设数列 an 是公比为 q 的等比数列，若数列an 与Sn 都是“紧密数列”，求q 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
7、 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理试卷答案1. 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（ 1）设 an 的公差d0由a1，a2，a5是数列 bn的前3 项，且S4=16可得，即，4a1+=16，解得 a1，d，即可得出（2）Sn=n2可得=根据数列 为等差数列，可得=+，t22t=0 解得 t （3）由（ 1）可得： Sn=n2，数列 bn的前 n 项和 An=数列 An 的前 n 项和Un=n=n数列a1， b1， a2，b1， b2， a3， b1，b2，b3， ak，b1，b2， bk，可得：该数列前k+=项和 =k2+（ k1），根据
8、 37=2187，38=6561进而得出【解答】解：（1）设an的公差 d0a1，a2，a5是数列 bn 的前 3 项，且 S4=16，即，4a1+=16，解得 a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n 1b1=1，b2=3，公比 q=3bn=3n1（2）Sn=n2 =数列 为等差数列，=+，t22t=0 解得 t=2 或 0，经过验证满足题意（3）由（ 1）可得： Sn=n2，数列 bn的前 n 项和 An=数列 An 的前 n 项名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
9、 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理和 Un=n=n数列 a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3， ak，b1，b2， bk，该数列前k+=项和 =k2+（ k1），37=2187，38=6561取 k=8，可得前=36 项的和为： =1700 ，令 Tn=1821=1700+，解得 m=5 n=36+5=41 2. 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（ 1）由题意，当n 为奇数时，；当 n 为偶数时，结合a1=1，a2=1，进一步求得，则 a5+a6可求；（2）当n=2k 时，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4
10、+a2k），代入等比数列前n 项和公式求解；当n=2k1 时，由 Sn=S2ka2k求解；（3）由（ 1）得（仅b1=0 且bn 递增）结合kj ，且 k，j Z，可得kj+1 然后分kj+2 与 k=j+1 两类分析可得满足条件的i ，j ，k 只有唯一一组解，即i=1 ，j=2 ，k=3【解答】解：（1）由题意，当n 为奇数时，；当 n 为偶数时，又 a1=1，a2=1，即 a5+a6=2；（2）当 n=2k 时， Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=当 n=2k1 时， Sn=S2ka2k=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
11、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理=；（3）由（ 1），得（仅 b1=0 且bn递增）k j ，且 k，j Z，kj+1 当 kj+2 时， bkbj+2，若 bi，bj，bk成等差数列，则=，此与 bn0 矛盾故此时不存在这样的等差数列当 k=j+1 时， bk=bj+1，若 bi，bj，bk成等差数列，则=，又i j ，且 i ，j Z，i j 1若 i j 2，则 bibj 2，得，得0，矛盾， i=j 1从而2bj=bj1+bj+1，得，化简，得3j
12、2=1，解得 j=2 从而，满足条件的i ，j ，k 只有唯一一组解，即i=1 ，j=2 ，k=33. 121111222122120.1(2)(1 2)442(22)2684nnnaabnSnabSaabSaaadbbQ解：，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理121111222122120.1(2)(12)442(22)2684nnnaabnSnabSaabSaaadbbQ解：，3分8分1
13、2分4. 见解析解：1(0,1)aa得2(3,4)a，2144aaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理3(0,1)a，3231aaa，4(3,4)a，4343aaa，5(0,1)a，543aaa证明：当03na 时，14nnaa，114na，当34na，13nnaa，101na，综上， 04na时，104na解：若01a，由知51aa ，所以4k，当4(*)km mN时，对所有的*nN，n
14、 knaa 成立若 12a，则24aa，且2(2,3a，3214(4)4aaaaa，2k，当2(*)km mN时，对所有的*nN，n knaa 成立，若2a，则2342aaa，1k，(*)km mN时，对所有的*nN，n knaa 成立，综上，若 01a，则4km ，*mN，若12a，则2km ，*mN，若2a，则 km，*mN5. 【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）利用递推式可得：an+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明；（）由（）得，由点（ Tn+1，Tn）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得bn=n利用不等式，可得Rn=，利用“错位相减法”
15、可得：对 n 分类讨论即可得出【解答】解：（）由a1+a2+a3+an+n=an+1，得 a1+a2+a3+an1+n1=an（n2），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理两式相减得an+1=2an+1，变形为 an+1+1=2（an+1）（n2），a1=0，a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），a1+1 是以 1 为首项，公比为2 的等比数列（）由（）得，点（ Tn+1
16、，Tn）在直线上，故是以为首项，为公差的等差数列，则，当 n2 时，b1=1 满足该式，bn=n不等式，即为，令，则，两式相减得，由恒成立，即恒成立，又，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理故当 n3 时，单调递减；当n=3 时，；当 n4 时，单调递增；当n=4 时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是6. 【考点】数列与不等式的综合【分析】（ 1）在 48的矩形区域内有59 个整点，对角线
17、上有5 个整点，可求a2的值；（2）直线 y=nx 与 x=4 交于点 P （4，4n），即可求数列an的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，在 48的矩形区域内有59 个整点，对角线上有5 个整点，a2=25（另解： a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线 y=nx 与 x=4 交于点 P （4，4n），据题意有an=10n+5（另解： an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8 分）=?，+=（+）=（+）（13 分）【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项
18、与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理7. （ ）11112,2,(2)2nnn innnnnnnaSSSSSSnSS当时，(3 分) 11231221314,32425SaSSSS（6 分）（）猜想12nnSn，（7 分）下面用数学归纳法证明：1)当 n=1 时，121 1312，S猜想正确；（8 分）2）假设当n=k 时猜想正确，即1,2kkS
19、k那么111(1)1,12(1)222kkkSkSkk即 n=k+1 时猜想也正确. （12 分）根据 1）， 2）可知，对任意nN+?，都有1.2nnSn（13 分）略8. （1）Q数列na是各项均为正数的等比数列，215364a aa，38a，又Q5348SS，2458848aaqq，2q，38 22nnna； 4 分（2）（）必要性：设5,kmlaaa这三项经适当排序后能构成等差数列，若2 5kmlaaa，则10 222kml，1022m klk，11522m klk，1121,24m klk13mklk. 6分若25mklaaa，则2 25 22mkl，1225mkl k，左边为偶数，
20、等式不成立，若25lkmaaa，同理也不成立，综合，得1,3mklk，所以必要性成立. 8分（）充分性：设1mk，3lk，则5,kmlaaa这三项为135,kkkaaa，即5,2,8kkkaaa，调整顺序后易知2,5,8kkkaaa成等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理差数列，所以充分性也成立. 综合（）（），原命题成立. 10 分（3）因为11213213 246nnnnna ba ba
21、 ba bnL，即123112122223 246nnnnnbbbbnL，（ * ）当2n时，1231123122223 242nnnnnbbbbnL，（ * ）则（ * ）式两边同乘以2，得2341123122223 284nnnnnbbbbnL，（* ）（ *）（ * ），得242nbn，即21(2)nbnn，又当1n时，2123 2102b，即11b，适合21(2)nbnn，21nbn. 14分212nnnbna，111212352222nnnnnnnbbnnnaa，2n时，110nnnnbbaa，即2121bbaa；3n时，110nnnnbbaa，此时nnba单调递减，又1112ba，
22、2234ba，3358ba，44716ba，71162. 16分9. 【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小【分析】（ 1）根据已知，nN*我们易得当 n=1，2，3 时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想 f （n）g（ n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）g（ n）当 n=1 时成立，再假设不等式f （n）g（ n）当 n=k（k1）时成立，进而证明当 n=k+1 时，不等式f （n）g（ n）也成立，最后得到不等式f （n）g（ n）对于所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
23、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理有的正整数n 成立；【解答】解：（1）当 n=1 时，f （1）=1，g（1）=1，所以 f （1）=g（1）；当 n=2 时，所以 f （2） g（2）；当 n=3 时，所以 f （3） g（3）（2）由（ 1），猜想 f （n）g（ n），下面用数学归纳法给出证明：当 n=1，2，3 时，不等式显然成立假设当n=k（k3）时不等式成立，即即+，那么，当n=k+1 时，因为，所以由、可知，对一切nN*，都有 f （
24、n）g（ n）成立10. 【考点】数列的应用【分析】（ 1）由题意，且，即可求出x 的取值范围；（2）由题意， an=a1+（n1）d， =1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q 并判断出 q1，由等比数列的通项公式、前n 项和公式化简，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q 的取值范围【解答】解：（1）由题意，且，2x3，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - Word 格式完美整理
25、x的取值范围是2 ，3 ；（2）由题意， an=a1+（n1）d，=1+，随着 n 的增大而减小，所以当n=1 时，取得最大值，2，an是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列an 的公比 q 当 q1 时，所以an=a1qn1，Sn=， =，因为数列 an与Sn都是“紧密数列”，所以，2，解得，当 q=1 时， an=a1，Sn=na1，则=1， =1+（ 1， ，符合题意，q的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -