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1、学习好资料欢迎下载3.2 导数的应用考点一导数与函数的单调性1.(2013浙江 ,8,5分) 已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一, 且其导函数y=f (x)的图象如图所示 , 则该函数的图象是( ) 答案B 2.(2013天津 ,20,14分) 设 a -2,0,已知函数f(x)= (1) 证明 f(x) 在区间 (-1,1)内单调递减 , 在区间(1,+ ) 内单调递增; (2) 设曲线 y=f(x)在点 Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行, 且 x1x2x30.证明 x1+x2+x3-. 证明(1) 设函数 f1(x)=x3- (a+5)x(x 0),f
2、2(x)=x3-x2+ax(x0), f 1(x)=3x2-(a+5),由 a -2,0,从而当 -1x0 时, f 1(x)=3x2-(a+5)3-a-50, 所以函数f1(x) 在区间 (-1,0内单调递减 . f 2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于 a -2,0,所以当 0 x1 时, f 2(x)1时, f 2(x)0. 即函数 f2(x) 在区间 0,1) 内单调递减 , 在区间 (1,+ ) 内单调递增 . 综合, 及 f1(0)=f2(0), 可知函数 f(x)在区间 (-1,1)内单调递减 , 在区间 (1,+ ) 内单调递增. (2) 由(1)
3、知 f (x)在区间 (- ,0) 内单调递减 , 在区间内单调递减, 在区间内单调递增. 因为曲线y=f(x)在点 Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行, 从而 x1,x2,x3互不相等 , 且f (x1)=f (x2)= f (x3). 不妨设 x10 x2x3, 由 3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a, 可得 3-3-(a+3)(x2-x3)=0, 解得 x2+x3=, 从而 0 x2x3. 设 g(x)=3x2-(a+3)x+a,则 gg(x2)g(0)=a. 由 3-(a+5)=g(x2)a, 解得 -x1-+, 设 t=, 则 a=
4、, 因为 a -2,0, 所以 t ,故 x1+x2+x3-t+=(t-1)2- -, 即 x1+x2+x3-. 3.(2013湖北 ,21,13分) 设 a0,b0, 已知函数 f(x)=. (1) 当 ab时, 讨论函数 f(x) 的单调性 ; (2) 当 x0 时 , 称 f(x) 为 a、b 关于 x 的加权平均数 . (i) 判断 f(1),f , f 是否成等比数列,并证明 f f;(ii)a、b 的几何平均数记为G.称为 a、b 的调和平均数 , 记为 H.若 Hf(x) G,求 x 的取值范围 . 解析(1)f(x)的定义域为 (- ,- 1)(-1,+),f (x)=. 名师
5、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当 ab 时,f (x)0,函数 f(x) 在(- ,-1),(-1,+) 上单调递增; 当 ab 时,f (x)0,f=0,f=0, 故 f (1)f= =ab=,即 f(1)f=.所以 f(1),f,f成等比数列 . 因为, 所以 f(1) f. 由得f f.(ii)由(i) 知 f=H,f=G. 故由 Hf(x) G,得f f(x) f. 当 a=b 时,f=f
6、(x)=f=a. 这时 ,x 的取值范围为 (0,+ );当 ab 时,01, 从而 , 由 f(x) 在(0,+ ) 上单调递增与式, 得x,即 x 的取值范围为; 当 a1, 从而 , 由 f(x)在(0,+ ) 上单调递减与式, 得x,即 x 的取值范围为. 考点二导数与函数的极值与最值4.(2013福建 ,12,5分) 设函数 f(x) 的定义域为R,x0(x00)是 f(x) 的极大值点 , 以下结论一定正确的是 ( ) A.? xR, f(x)f(x0) B.-x0是 f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案D 5.(2013课标全
7、国 ,20,12分) 已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线方程为y=4x+4. (1) 求 a,b 的值 ; (2) 讨论 f(x) 的单调性 , 并求 f(x)的极大值 . 解析(1)f (x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4, f (0)=4.故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2) 由(1) 知 f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f (x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2). 令 f (x)=0,得 x=-ln 2或 x=-2. 从而当 x(- ,-2)(- ln 2,
8、+ ) 时 , f (x)0; 当 x(-2,-ln 2)时, f (x)1,求 f(x) 在闭区间 0,2|a|上的最小值 . 解析(1) 当 a=1 时, f (x)=6x2-12x+6, 所以 f (2)=6. 又因为 f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8. (2) 记 g(a) 为 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值 . f (x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f (x)=0,得到 x1=1,x2=a. 当 a1 时, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
9、 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f (x) + 0 - 0 + f(x) 0 单调递增极大值3a-1 单调递减极小值a2(3-a) 单调递增4a3比较 f(0)=0和 f(a)=a2(3-a) 的大小可得g(a)= 当 a0, f(x)为(- ,+ ) 上的增函数, 所以函数 f(x)无极值 . 当 a0 时, 令 f (x)=0,得 ex=a,x=ln a. x(- ,ln a), f (x)0,所以 f(x) 在(- ,ln a)上单调递减, 在(ln a
10、,+) 上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a处取得极小值 , 且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值 . 综上 , 当 a0时, 函数 f(x)无极值 ; 当 a0 时, f(x)在 x=ln a处取得极小值ln a,无极大值 . (3) 解法一 : 当 a=1 时, f(x)=x-1+. 令 g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+,则直线 l:y=kx-1与曲线 y=f(x)没有公共点 , 等价于方程g(x)=0在 R上没有实数解 . 假设 k1, 此时 g(0)=10, g=-1+0,知方程 g(x)=0在 R上没有实数解 . 所以 k 的最大值为1. 解法二 : 当
11、 a=1 时, f(x)=x-1+. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载直线 l:y=kx-1与曲线 y=f(x)没有公共点 , 等价于关于x 的方程 kx-1=x-1+ 在 R上没有实数解 , 即关于 x 的方程 (k-1)x=(*) 在 R上没有实数解, 当 k=1 时, 方程 (*) 可化为 =0, 在 R上没有实数解 . 当 k1 时 , 方程 (*) 可化为 =xex. 令 g(x)=x
12、ex, 则有 g(x)=(1+x)ex. 令 g(x)=0,得 x=-1, 当 x 变化时 ,g(x),g(x)的变化情况如下表: x (- ,-1) -1 (- 1,+)g(x) - 0 + g(x) - 当 x=-1 时,g(x)min=-, 同时当 x 趋于+时 ,g(x) 趋于+,从而 g(x) 的取值范围为 . 所以当时 , 方程 (*) 无实数解 , 解得 k 的取值范围为 (1-e,1). 综合 , 得 k 的最大值为1. 9.(2013辽宁 ,21,12分) (1) 证明 : 当 x0,1 时,x sinx x;(2) 若不等式ax+x2+2(x+2)cos x 4对 x0,1
13、 恒成立 , 求实数 a 的取值范围 . 解析(1) 证明 : 记 F(x)=sin x-x,则 F(x)=cos x-. 当 x时 ,F(x)0,F(x)在上是增函数 ; 当 x时 ,F(x)0,所以当 x0,1 时,F(x) 0, 即sin x x.(3分) 记 H(x)=sin x-x,则当 x(0,1) 时 ,H(x)=cos x-1-2 时, 不等式 ax+x2+2(x+2)cos x 4对 x0,1 不恒成立 . 因为当 x0,1 时 ,ax+x2+2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2(a+2)x+x2+-4(x+2) =(a+2)x-x2- (
14、a+2)x -x2=-x. 所以存在x0(0,1)例如 x0取和中的较小值满足 ax0+2(x0+2)cos x0-40, 即当 a-2 时 , 不等式 ax+x2+2(x+2)cos x-40对 x0,1 不恒成立 . 综上 , 实数 a 的取值范围是 (- ,-2.(12分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解法二 : 记 f(x)=ax+x2+2(x+2)cos x-4,则 f (x)=a
15、+2x+2cos x-2(x+2)sin x. 记 G(x)=f (x),则 G(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 当 x(0,1) 时 ,cos x.因此 G(x)2+3x-4x -(x+2)=(2-2)x0. 于是 f (x)在0,1上是减函数 , 因此 , 当 x(0,1) 时 , f (x)f (0)=a+2,故当 a-2 时, f (x)-2 时, 不等式 ax+x2+2(x+2)cos x 4对 x0,1 不恒成立 . f (x)在0,1上是减函数 , 且 f (0)=a+20, f (1)=a+2cos 1-6sin 1. 当 a6sin 1 -2cos 1
16、-时, f (1)0, 所以当x(0,1) 时 , f (x)0.因此 f(x)在0,1上是增函数 ,故 f(1)f(0)=0; 当-2a6sin 1-2cos 1- 时, f (1)0,故存在 x0(0,1) 使 f (x0)=0, 则当 0 xf (x0)=0, 所以 f(x) 在0,x0上是增函数 , 所以当 x(0,x0)时, f(x)f(0)=0. 所以 , 当 a-2 时, 不等式 ax+x2+2(x+2)cos x 4对 x0,1 不恒成立 . 综上 , 实数 a 的取值范围是 (- ,-2.(12分) 10.(2013 四川 ,21,14分) 已知函数 f(x)= 其中 a 是
17、实数 . 设 A(x1, f(x1),B(x2, f(x2) 为该函数图象上的两点, 且 x1x2. (1) 指出函数f(x)的单调区间 ; (2) 若函数 f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直, 且 x20, 证明 :x2-x11;(3) 若函数 f(x)的图象在点A,B 处的切线重合 , 求 a 的取值范围 . 解析(1) 函数 f(x) 的单调递减区间为(- ,-1), 单调递增区间为-1,0 ),(0,+).(3分) (2) 由导数的几何意义可知, 点 A处的切线斜率为f (x1), 点 B处的切线斜率为f (x2). 故当点 A处的切线与点B处的切线垂直时, 有 f (x1)f
18、 (x2)=-1. 当 x0 时,对函数 f(x) 求导 , 得 f (x)=2x+2. 因为 x1x20, 所以(2x1+2)(2x2+2)=-1, 所以 2x1+20. 因此 x2-x1=-(2x1+2)+2x2+2=1.当且仅当 -(2x1+2)=2x2+2=1, 即 x1=- 且 x2=- 时等号成立所以 , 函数 f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时, 有 x2-x11.(7分) (3) 当 x1x2x10 时, f (x1) f (x2), 故 x10 x2. 当 x10 时, 函数 f(x)的图象在点 (x2, f(x2) 处的切线方程为y-ln x2=(x-x2), 即
19、 y=x+ln x2-1. 两切线重合的充要条件是由及 x10 x2知,02. 由得 ,a=ln x2+-1 =-ln+-1. 令 t=, 则 0t2, 且 a=t2-t-ln t. 设 h(t)=t2-t-ln t(0t2), 则 h(t)=t-1-=0, 所以 h(t)(0th(2)=-ln 2-1. 所以 a-ln 2-1. 而当 t (0,2) 且 t 趋近于 0 时,h(t)无限增大 , 所以 a 的取值范围是 (-ln 2-1,+).故当函数f(x) 的图象在点A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+).(14分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -