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1、1 不等式复习一、利用基本不等式求函数最值利用基本不等式求最值应遵循“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。例题（ 1）下列命题中正确的是A、1yxx的最小值是2 B、2232xyx的最小值是2 C、423(0)yxxx的最大值是24 3D、423(0)yxxx的最小值是24 3（答： C） ；（2）若21xy，则24xy的最小值是 _ （答：2 2） ；（3）正数, x y满足21xy，则yx11的最小值为 _ （答：32 2） ；（4）如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_ （答：9,）（5） （2013 年宁波二模 .文科 .7）已知关于x的不等式)0(0
2、22abxax的解集是,1|Rxaxx,且ba，则baba22的最小值是 ( ) A.22.B2 .C2.D1 (答：A）（6）若直线)0,0(022babyax被圆014222yxyx截得的弦长为 4，则ba31的最小值为. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 （7）若正数ba,满足abba1，则ba23的最小值是【答案】 5+34（8）设0ba，则)(112baaaba的最小值是【答案】 4 （9）设ba,为
3、正实数，且满足12ba，求bbaa411的最小值 .【答案】825（10）2013 年浙江乐清二中模拟）若实数0,0ab，且4110abab，则ab的最大值是. 【解析】设abt，则4110abtabt，241()109abttab210019tttt. 二、三角代换求不等式最值【例题】 1、实数, x y满足22222xxyy，则222xy的最小值是. 2、已知1444xy，则22xy的最大值是. 3、设, x y为正实数，满足xya xy恒成立，则a的最小值为. 4、实数, x y满足2244xyx，求证221165xy. 5、设实数,a b满足0,8a b，且2216ba，则ba的最大值
4、为. 三、根据几何意义求最值1、222248xxxx的最小值是【答案：10】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 2、 已知正实数, x y满足22xy，则22+xxy的最小值是（）.A85.B45.C2.D1【答案：A】3、已知222222( , )3(5)(52 )(5)4(1)f a babbbba，其中,a bR，则( , )f a b的最小值是.【答案：4 5】四、 常用不等式 有：（1）2222211a
5、bababab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、 b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号） ；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题） 。五、含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0| |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab . 如设2( )13f xxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( )| 2(| 1)f xf aa六不等式的恒成立, 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法” 转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).
6、恒成立问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB如（ 1）设实数, x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值范围是 _ （答：21,） ；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _ （答：1a） ；（3） 若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都
7、成立，则x的取值范围 _ （答：（712,312） ） ；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_ （答：3 2,)2） ；（5）若不等式22210 xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围. （答：12m） ；（6）函数2328log1mxxnyx的值域为 0,2，求,m n的值（答：)5nm. 2).能成立问题若 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式Axf成 立 , 则 等 价 于 在 区 间D上maxfxA；若 在 区 间D上 存 在 实 数x使 不 等 式Bxf成 立 , 则 等 价 于 在 区 间D上 的minfxB.
8、如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集， 求实数a的取值范围 _ （答：1a）3).恰成立问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 【附录】近几年浙江考题中的不等式1. （ 2012 年理科 .9 ）设0,0 ba，.A若baba3222，则ba；.B若baba3222
9、，则ba；.C若baba3222，则ba；.D若baba3222，则ba. 【答案】A2. （ 2012年 理 科 .17） 设Ra,若0 x时 均 有0)1-(1-)1-(2axxxa，则a . 【答案】23。【 解 析 】 当1a时 ， 显 然 不 符 合 题 意 ；1a时 ， 设1-)1-()(xaxf，1-(2axxxg），在同一坐标系内做出它们的 图 像， 它 们 都过 点），（10，若0 x时 均 有0)1-(1-)1-(2axxxa，则它们函数值的符号必须相同。又)(xf的图像过点0,1-1a，方程01-2axx有符号相异的两根，故01-2axx有正根1-1a，解关于a的方程01
10、-1-1-12aaa，得23a0a（舍去）. 3. （ 2012 年文科 .9 ）若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是.A524.B528.C5.D6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 【答案】C4. （ 2011浙 江 理 科16 ） 设,x y为 实 数 ， 若2241,xyxy则2xy的 最 大 值是.。【答案 】51025. （ 2011浙 江 文 科 .16 ） 若 实 数,x y满 足2
11、21xyxy， 则xy的 最 大 值 是_ 。答案：332. 6.(2014年文科 .16 ）已知cba,满足0cba，1222cba，则实数a的最大值是 . 【答案】36. 【 考题变式】：Ryx,， （1）3xyyx，求xy的最大值；（2）03xyyx时，求xy的最小值。【不等式练习题】1、（2016 宁波一模） 7已知实数列na是等比数列， 若2588a a a，则151959149a aa aa a（ ）A有最大值12B有最小值12C有最大值52D有最小值52【答案：D】2、 （ 2016 宁波一模）若正数, x y满足22421xyxy，则xy的最大值为 _.名师资料总结 - - -
12、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 3、 （2016 宁波二模文科 .15）已知0,0 ba，且12122baa，则ba的最小值是_，此时a_.【答案：1+ 222，】4、 （ 2016 宁波二模理科）13.已知正数,x y满足1xy，则11112Mxy的最小值为_ 【答案：2 22】5、设实数, x y满足2xyxy，则|2 |xy的最小值为【答案：221】6、 已知实数,0 x y，且2xy，则3322848xyxy的最小值为.【答案： 1】7、（ 2017 年宁波一模 .16）已知正实数,a b满足2(2)16abab，则21abab的最大值是.【答案：16】8、已知5(1,2)abab，则12ab的最大值为.【答案： 4】9、 （ 2017 年宁波二模）若226461xyxy，, x yR，则22xy的最大值为.【答案：15】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -