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1、高 二 数 学 数 列 练 习 题( 答 案 )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 高二数列专题1nS与na的关系：11(1)(1)nnnSnaSSn，已知nS求na，应分1n时1a；2n时，na= 两步，最后考虑1a是否满足后面的na. 2.等差等比数列3.数列通项公式求法。（ 1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法等差数列等比数列定义1nnaad（2n）*1()nnaq nNa通项dnaan)1(
2、1，() ,()nmaanm dnm，中项如果,a A b成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项 2abA。等差中项的设法：如果,a G b成等比数列，那么 G 叫做a与 b 的等比中项 等比中项的设法：aq，a， aq前n项和)(21nnaanS，dnnnaSn2)1(1性质*(, ,)mnpqaaaam n p qNmnpq 若2mpq，则若qpnm，则2*2,(, , ,)mpqmpqaaap q n mN若则有nS、2nnSS、32nnSS为等差数列nS、2nnSS、32nnSS为等比数列函数看数列12221()()22nnadnadAnBddsnanAnBn111(1)11nnnn
3、nnaaqAqqaasqAAqqqq判定方法（1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数；（2）等差中项：证明*11(2Nnaaannn，)2n（3）通项公式 :( ,naknb k b为常数 )(*Nn) （4）2nsAnBn (,A B为常数 )(*nN ) （1）定义法：证明)(*1Nnaann为一个常数（2）中项：证明21nnaa*1(,2)nanNn（3）通项公式：( ,nnacqc q均是不为 0常数）（4）nnsAqA( ,A q为常数，A0,q0,1 ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
4、整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - （3）累乘法（nnncaa1型）； (4)利用公式11(1)(1)nnnSnaSSn；(5)构造法（bkaann 1型）(6) 倒数法 等4.数列求和（1）公式法；（ 2）分组求和法；（ 3）错位相减法；（ 4）裂项求和法；（ 5）倒序相加法。5. nS的最值问题 ：在等差数列na中,有关nS的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,01da时，满足001mmaa的项数 m 使得mS取最大值 . (2)当0,01da时，满足001mmaa的项数 m 使得mS取最小值。也可以直接表示nS，利用二次函数
5、配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决. 训练题一、选择题1.已知等差数列na的前三项依次为1a、1a、23a，则 2011 是这个数列的 ( B ) A.第 1006 项B.第 1007 项 C. 第 1008 项 D. 第 1009 项2.在等比数列na中，485756aaaa，则10S等于（A ）A1023 B1024 C 511 D 512 3若an为等差数列，且 a72a41，a30，则公差 d( ) A2 B12 C.12 D2
6、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 由等差中项的定义结合已知条件可知2a4a5a3，2da7a51，即 d12.故选 B. 4.已知等差数列 an的公差为正数，且a3 a7=12,a4+a6=4,则 S20为( A ) A.180 B.180 C.90 D.90 5.（2010 青岛市）已知na为等差数列 ,若951aaa,则28cos()aa的值为（ A ）A21B23C21D236在等比数列 an中，若 a3a
7、5a7a9a11243，则a29a11的值为( ) A9 B1 C2 D3 解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11a57243，所以得 a73，又a29a11a7a11a11a7，故选 D. 7已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a1a512S5，且 a920，则 S11( ) A260 B220 C130 D110 解析S5a1a525，又12S5a1a5， a1a50.a30， S11a1a11211a3a9211020211110，故选 D. 8 各项均不为零的等差数列an中，若 a2nan1an10(nN*，n2)，则 S2 009等于A0 B2 C2 009 D4 018
8、 解析各项均不为零的等差数列 an，由于 a2nan1an10(nN*，n2)，则 a2n2an0，an2，S2 0094 018，故选 D. 9数列 an是等比数列且 an0，a2a42a3a5a4a625，那么 a3a5的值等于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - A5 B10 C15 D20 解析由于 a2a4a23，a4a6a25，所以 a2 a42a3 a5a4 a6a232a3a5a25(a3a5)225
9、.所以 a3a55. 又 an0，所以 a3a55.所以选 A. 10. 首项为 1，公差不为 0 的等差数列 an中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( ) A8 B8 C6 D不确定答案B 解析a24a3 a6? (13d)2(12d)(15d) ? d(d1)0? d1，a31，a42，q2. a6a4 q4，第四项为 a6 q8.11.在ABC中， tanA是以-4 为第三项， 4 为第七项的等差数列的公差，tanB是以31为第三项， 9 为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B ) A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形1
10、2、（2009 澄海）记等差数列na的前项和为ns，若103ss，且公差不为 0，则当ns取最大值时，n（)C A4 或 5 B5 或 6 C6 或 7 D7 或 8 13在等差数列 an中，前 n 项和为 Sn，且 S2 0112 011，a1 0073，则 S2 012的值为A1 006 B2 012 C2 012 D1 006 答案C解析方法一设等差数列的首项为a1，公差为 d，根据题意可得，S2 0112 011a12 011 2 01112d2 011，a1 007a11 006d3，即a11 005d1，a11 006d3，解得a14 021，d4.名师资料总结 - - -精品资料
11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 所以， S2 0122 012a12 012 2 01212d2 012( 4 021)2 0122 01122 012(4 022 4 021)2012. 方法二由 S2 0112 011a1a2 01122 011a1 0062 011， 解得 a1 0061，则S2 0122 012a1a2 01222 012a1 006a1 00722 012 1322 012.14设函数 f(x)满足 f(n1)2f
12、nn2(nN*)，且 f(1)2，则 f(20)( B ) A95 B97 C105 D192 解析f(n1)f(n)n2，错误 !累加，得 f(20)f(1)(1222192)f(1)1920497. 15.已知数列na的前n项和nS满足1)1log2nSn（，则通项公式为（ B ）A.)(2*Nnann B. )2(2)1(3nnannC. )(2*1Nnann D. 以上都不正确16.一种细胞每 3 分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2 个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为（ D ）A15 分钟 B30 分钟 C4
13、5 分钟 D57 分钟二、填空题1、等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a2=1,a3=3,则 S4= 8.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2.（2008广东理，2）记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若a1=21，S4=20，则 S6= . 48 3.（2010 广州一模）在等比数列na中，11a，公比2q，若64na，则n的值为7 4.（2008海南、宁夏理，4）设等比数列 an的公比 q=2, 前
14、 n 项和为 Sn,则24aS= .2155.等差数列 an，bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若SnTn2n3n1，则a100b100_. 答案199299解析a100b100a1a1992b1b1992S199T1991992996、数列na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn则na的通项公式解：（）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan又21213aS213aa故na是首项为 1，公比为 3得等比数列13nna7已知各项都为正数的等比数列an中，a2 a44，a1a2a314，则满足an an1 an219的最大正整数 n
15、 的值为 _答案4 解析设等比数列 an的公比为 q，其中 q0，依题意得a23a2 a44.又 a30，因此 a3a1q22，a1a2a1a1q12，由此解得 q12，a18，an8(12)n124n，an an1 an2293n.由于 231819，因此要使 293n19，只要 93n3，即 n4，于是满足an an1 an219的最大正整数 n 的值为 4. 8等比数列 an的首项为 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S53132，则公比 q 等于_答案12解析因为S10S53132，所以S10S5S5313232132，即 q5(12)5，所以 q12.三、解答题名师资料总结 -
16、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1（2010 山东理数） （18）（本小题满分 12 分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS； （）令 bn=211na(nN*)，求数列nb的前 n 项和nT1【解析】（）设等差数列na的公差为 d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +
17、2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+-)4223n n+1L=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。2（全国新课标理17）已知等比数列na的各项均为正数，且212326231,9aaaa a（I）求数列na的通项公式（II）设31323logloglognnbaaaL，求数列1nb的前 n项和2 解：（）设数列 an的公比为 q，由23269aa a得32349aa所以219q由条件可知 c0，故13q由12231aa得12231aa
18、 q，所以113a 故数列 an的通项式为 an=13n（ ）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 故12112()(1)1nbn nnn12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn所以数列1nb的前 n 项和为21nn3. (本小题满分 12 分)已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a22(1a11a2)，a3a4a5
19、64(1a31a41a5)(1)求an的通项公式； (2)设 bn(an1an)2，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解析(1)设an的公比为 q，则 ana1qn1. 由已知，有a1a1q21a11a1q，a1q2a1q3a1q4641a1q21a1q31a1q4，化简，得a21q2，a21q664.又 a10，故 q2，a11. 所以 an2n1. (2)由(1)知，bn an1an2a2n1a2n24n114n12. 因此， Tn(144n1)(11414n1)2n14n14114n1142n13(4n41n)2n1. 4.（山东省济南市2011）已知na为等比数列，256, 151a
20、a；nS为等差数列nb的前n项和，,21b8525SS. （1） 求na和nb的通项公式；（2） 设nTnnbababa2211，求nT. 解：（ 1） 设an的公比为q，由a5=a1q4得q=4 所以an=4n-1.设 bn 的公差为d，由 5S5=2 S8得 5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，3223231ad, 所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2）Tn=1 2+4 5+42 8+4n-1(3n-1),4Tn=4 2+42 5+43 8+4n(3n-1), - 得： 3Tn=-2-3(4+42+ +4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-
21、1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - =2+(3n- 2) 4nTn=（n-32）4n+325（2013 广东理） 设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN. () 求2a的值； () 求数列na的通项公式；() 证明:对一切正整数n,有1211174naaaL. 【解析】 () 依题意 ,12122133Sa,又111Sa,所以24a； () 当2n时,32112233nn
22、Snannn, 321122111133nnSnannn两式相减得2112213312133nnnananannn整理得111nnnanan n,即111nnaann,又21121aa故数列nan是首项为111a,公差为 1的等差数列 , 所以111nannn,所以2nan. () 当1n时,11714a；当2n时,12111571444aa；当3n时,21111111nannnnn,此时222121111111111111111434423341naaannnLLL11171714244nn综上,对一切正整数n,有1211174naaaL. 6（本小题满分14 分）设各项均为正数的数列na的
23、前n项和为nS，满足21441,nnSannN且2514,aa a构成等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - (1) 证明：2145aa； (2) 求数列na的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有1223111112nna aa aa aL1.【解析】（ 1）当1n时，22122145,45aaaa，21045naaaQ（2）当2n时，214411nnSan，22114444nnnnnaSSaa2221
24、442nnnnaaaa,102nnnaaaQ当2n时，na是公差2d的等差数列 . 2514,aa aQ构成等比数列，25214aaa，2222824aaa，解得23a, 由（ 1）可知，212145=4,1aaa213 12aaQna是首项11a,公差2d的等差数列 . 数列na的通项公式为21nan. （3）1223111111111 33 55 72121nna aa aa annLL11111111123355721211111.2212nnn7.（本题满分 14 分）2a,5a是方程2x02712x的两根 , 数列na是公差为正的等差数列，数列nb的前n项和为nT,且nT211nbN
25、n. (1)求数列na,nb的通项公式 ; (2)记nc=nanb,求数列nc的前n项和nS. 2.解：(1)由27,125252aaaa.且0d得9,352aa 2 分2325aad,11aNnnan12 4 分在nnbT211中,令, 1n得.321b当2n时,Tn=,211nb11211nnbT, 两式相减得nnnbbb21211,2311nbbnn 6 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - Nnbnnn3
26、231321. 8 分(2)nnnnnc3243212, 9 分nnnS312353331232,132312332333123nnnnnS, 10 分132312313131231232nnnnS=21131231131191231nnn=11344343123131312nnnnn, 13 分nnnS3222 14 分8.（全国大纲理 20） 设数列na满足10a且1111.11nnaa（）求na的通项公式；（）设111,1.nnnnknkabbSn记S证明：解： （I）由题设1111,11nnaa即11na是公差为 1 的等差数列。又1111,.11nnaa故所以11.nan（II）由（ I）得11,11111nnabnnnnnnn，8 分11111()11.11nnnkkkSbkkn12 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -