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1、第第4章章 结构的位移计算结构的位移计算4.1 位移计算概述位移计算概述一、位移的概念一、位移的概念1.1.定义定义：在外因（荷载、温度变化、支座沉降等）作用在外因（荷载、温度变化、支座沉降等）作用下，结构将发生尺寸和形状的改变，称为变形。结下，结构将发生尺寸和形状的改变，称为变形。结构变形后，其上各点的位置会有变动，称为位移。构变形后，其上各点的位置会有变动，称为位移。位移是位移是矢量矢量，有大小、方向。，有大小、方向。2.2.种类：种类：（1 1）线位移：水平位移；竖向位移）线位移：水平位移；竖向位移 （2 2）角位移：转动方向）角位移：转动方向二、计算位移目的二、计算位移目的三、位移产生
2、的主要原因三、位移产生的主要原因AyAxAAAP1.1.验算结构的验算结构的刚度刚度；2.2.为为超静定超静定结构的内力分析打基础。结构的内力分析打基础。1.1.荷载作用；荷载作用；2.2.温度改变和材料胀缩；温度改变和材料胀缩；3.3.支座沉降和制造误差等。支座沉降和制造误差等。四、计算结构位移的原理四、计算结构位移的原理1.1.位移计算假定条件：线弹性变形体在小变形条件下的位移位移计算假定条件：线弹性变形体在小变形条件下的位移2.2.计算原理：变形体系的虚功原理计算原理：变形体系的虚功原理3.3.计算方法：虚设单位荷载法计算方法：虚设单位荷载法4.2 4.2 虚功和虚功原理虚功和虚功原理1
3、.概念概念一、实功与虚功一、实功与虚功实功：力在实功：力在自身自身所产生的位移上所作的功。所产生的位移上所作的功。虚功：力在虚功：力在其它原因其它原因产生的位移上作的功。产生的位移上作的功。2.做功的两种形式做功的两种形式力在变形位移上所作的实功为：力在变形位移上所作的实功为：P力在对应虚位移上所作的虚功为：力在对应虚位移上所作的虚功为：tPWCttP PW常力实功常力实功： 静力实功：静力实功： PW21 刚体在外力作用下处于平衡的刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于虚位移，外力所作的虚功之和等于零。零。0232
4、22 PPP二、虚功原理二、虚功原理P0AX2/PYB 2/PYA 23/21.1.刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理 0外W 体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。2.2.变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理ieWW 说明：说明：（1 1）虚功原理里存在两个状态）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态力状态必须满足平衡条件；位移状态 必须
5、满足协调条件。必须满足协调条件。（2 2）原理适用于任何）原理适用于任何 ( (线性和非线性线性和非线性) )的变形体，适用于任何结构。的变形体，适用于任何结构。（3 3）位移和变形是微小量，位移曲线光滑连续，并符合约束条件。）位移和变形是微小量，位移曲线光滑连续，并符合约束条件。（4 4）在虚功原理中，做功的力和位移无关，可以虚设力也可虚设位移。）在虚功原理中，做功的力和位移无关，可以虚设力也可虚设位移。3.3.虚功原理的应用虚功原理的应用1 1）虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法虚设单位位移法: :已知一个力状态，虚设一个单位位移已知一个力状态，虚
6、设一个单位位移状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原理也称为虚位移原理。理也称为虚位移原理。2 2）虚设力系求位移（虚力原理）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法虚设单位荷载法: :已知一个位移状态，虚设一个单位力已知一个位移状态，虚设一个单位力状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚功原理也称为虚力原理。功原理也称为虚力原理。三、刚体体系虚功原理应用举例三、刚体体系虚功原理应用举例例例1. 1. 求求A A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c c 时引起时引起
7、C C点的竖向位移点的竖向位移 . .解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。由由 得：得： 0BMabYA/ 01cYAacb/解得：解得： 这是这是单位荷载法单位荷载法 。虚功方程为：虚功方程为：ABaCbAC c1ABCAY例例2. 2. 求多跨静定梁在求多跨静定梁在C C点的支座反力点的支座反力FC C。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FCABCDE(c)C=112（3 3）代入刚体体系的虚功方程，求）代入刚体体系的虚功
8、方程，求FC C。043231FFFC FFC43解得：解得： 这是这是单位位移法单位位移法 。虚功方程为：虚功方程为：解：解：（1 1）撤掉支座撤掉支座C,C,把支座反力变成主动力把支座反力变成主动力FC C。这时体系。这时体系变成一个机构，如图变成一个机构，如图（b b）所示。所示。（2 2）取图（）取图（c c）所示机构的刚体体系沿所求支座反力方向）所示机构的刚体体系沿所求支座反力方向 虚设虚设单位位移单位位移C C=1=1。根据几何关系，可求出力。根据几何关系，可求出力F F作用点处作用点处相应的位移相应的位移：1 1=-3/2=-3/2， 2 2=3/4=3/4d微段的变形可分为微段
9、的变形可分为: :ddd.ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd4.3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式2ds一、公式的推导一、公式的推导基本原理基本原理变形体系的变形体系的虚力原理虚力原理（虚设（虚设单位荷载法单位荷载法） 虚设力状态虚设力状态：在求位移处沿所求位在求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力移方向加上相应的广义单位力P=1P=1。)ddd(111MQNcRKH如图所示结构，计算如图所示结构，计算K点的水平位移点的水平位移。KKKKKHcRsMQNcRMQNd )()ddd(P=1MQN虚拟力状态 11RP1P2t1t2位移状态 2c1KKHK对于
10、杆系结构，内力所作虚功：对于杆系结构，内力所作虚功：)ddd(dMQNWWii外力所作虚功：外力所作虚功：111cRWKHe由变形体虚功原理：由变形体虚功原理：说明说明：该式是结构位移计算的一般公式。该式是结构位移计算的一般公式。1)1) 适用于静定结构和超静定结构。适用于静定结构和超静定结构。2) 2) 适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同的材料。的材料。3)3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。取正。KKKKKHcRsMQNcRMQNd )()ddd(二、虚设单位荷载的方
11、法二、虚设单位荷载的方法P=11MAB1M1MABP=1P=14.4 荷载作用下的荷载作用下的位移计算位移计算一、公式的进一步推导一、公式的进一步推导dsEIMMGAQKQEANNMQNPPPKH)ddd(dddsddsEANdsEdsddsdPdsEIMdsdP1dsGAQkdsdP二、各类结构的位移公式二、各类结构的位移公式1.1.梁与刚架梁与刚架以弯曲变形为主以弯曲变形为主dsEIMMPiP 2.2.桁架桁架只有轴向变形只有轴向变形 EAlNNdsEANNPPiP3.3.组合结构组合结构4.4.拱拱EAlNNdsEIMMPPiPdsEANNdsEIMMPPiP例例1.1.求图示等截面梁求
12、图示等截面梁B端转角。端转角。 2 2）分段求）分段求MP的表达式的表达式（0 xl） xMxl m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：解：1 1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载ACAC段：段： MP=Px/2 （0 x1l/2）BCBC段：段： MP=P（lx）/2 （l/2 x2l）（ ）EIPldsEIMMPB1623 3）代入公式求）代入公式求B解：解：EAlNNiPKH)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA例例2.2.求图示桁架求图示桁架( (各杆各杆EAEA相同相同) )K点水平位移点水平位移. .PPaak00PP21111221 1）分别求出桁架各杆
13、在实际荷载）分别求出桁架各杆在实际荷载和虚设单位荷载作用下的轴力。和虚设单位荷载作用下的轴力。2 2）代入公式求）代入公式求KHdGAPRdEAPREIPRcossin20203 pp22P=1例例3.3.求图示求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移圆弧曲杆顶点的竖向位移。解解：1 1）虚拟单位荷载虚拟单位荷载 cosQ sinN sinRMcos PQPsinPNPsinPRMP虚拟荷载虚拟荷载3 3）QNMPPPGAdsQQEAdsNNEIdsMMGAPREAPREIPR4443p ppds=Rd2 2）实际荷载实际荷载Pdds钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面矩形截面, ,k=1
14、.2,I/A=h2/124001MQ2412MQRhGAREI 可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略的位移不可忽略. .h101R如2MNARI2121Rh12001MN例例4.4.求求图图示悬臂刚架示悬臂刚架C C截面的角位移截面的角位移C C。刚架。刚架EIEI为常数。为常数。解解：（1 1）取取图图(b)(b)所示虚力状态。所示虚力状态。 （2 2）实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为( (以
15、以内侧受拉为正内侧受拉为正) )横梁横梁BC(BC(以以C C为原点为原点) )MP=-Px1 (0 x1l)M=-1 (0 x1l)竖柱竖柱BA(BA(以以B B为原点为原点) )MP=-Pl (0 x2l)M=-1 (0 x2l)(3)(3)将将M MP P、M M代入位移公式代入位移公式 11200022211()( 1)()( 1)322lllpCMMdspxdxpldxEIEIEIplPlPlEIEIEIdEIsMMP一、适用范围与限制条件一、适用范围与限制条件4.5 图乘法图乘法如何利用弯矩图，如何利用弯矩图，使其计算得以简使其计算得以简化？化？1.1.适用范围适用范围: :受弯曲
16、变形为主的梁、刚架及组合结构中的梁式杆受弯曲变形为主的梁、刚架及组合结构中的梁式杆2.2.限制条件限制条件: :（1 1）杆轴是直线；）杆轴是直线；（2 2）EIEI是常数；是常数；（3 3） 至少有一是直线图形。至少有一是直线图形。MMP和二、图乘法的公式二、图乘法的公式dsPd1=sMMEIPdtan1=xMxEIPdtan=xxMEIPccyEIxEI1=tan=(EI为常数为常数)(直杆直杆)d1=xMMEIP)tan=(xM图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: :=EIyc注意图乘法的注意图乘法的应用条件应用条件说明：说明：（1 1）若两个若两个M图在杆件的同侧，图在杆件的同侧，
17、乘积取正值；反之，乘积取正值；反之， 取负值。取负值。（2 2） 应取自直线图中。应取自直线图中。（3 3） 必须分别取自两个弯矩图。必须分别取自两个弯矩图。cycycycy和三、应用图乘法时的几个具体问题三、应用图乘法时的几个具体问题3.3.当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接确定时，可当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接确定时，可采用叠加法。采用叠加法。1.1.竖标竖标yC C只能由直线弯矩图中取值。如果只能由直线弯矩图中取值。如果MP与单位与单位M图都是图都是直线，则直线，则yC C可取自其中任一个图形。可取自其中任一个图形。2.2.当结构某一根杆件的当结构某一根杆件的M图为折线
18、形时，或者各杆段的截面图为折线形时，或者各杆段的截面不相等时，均应分段图乘，然后进行叠加。不相等时，均应分段图乘，然后进行叠加。图1 例如，例如，图图1(a)1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必所示两个梯形应用图乘法，可不必求梯形的形心位置，而将其中一个梯形求梯形的形心位置，而将其中一个梯形( (设为设为MP P图图) )分分成两个三角形，分别图乘后再叠加。成两个三角形，分别图乘后再叠加。对于对于图图2 2所示由于均布荷载所示由于均布荷载q所引起的所引起的MP P图，可以把图，可以把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDCABDC与相应简支梁与相应简支梁在均布
19、荷载作用下的弯矩图叠加而成。在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。四、几种常见图形的面积和形心的位置四、几种常见图形的面积和形心的位置(1)(1) 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP P；(2)(2) 据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图矩图M；(3)(3) 分段计算一个弯矩图形的面积分段计算一个弯矩图形的面积及其形心所对及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标应的另一个弯矩图形的竖标yC C；(4)(4) 将将 、yC C代入图乘法公式计算所求位移。代入图乘法公式计算所求位移。五、图乘法计算位移的解题步骤五、图乘法计算
20、位移的解题步骤【例例1 1】求求图图(a)(a)所示简支梁所示简支梁A A端角位移端角位移A A及跨中及跨中C C点的竖向位点的竖向位移移CVCV。EIEI为常数。为常数。【解解】(1)(1) 求求A A 实际荷载作用下的弯矩图实际荷载作用下的弯矩图MP P如如图图(b)(b)所示。所示。 在在A A端加单位力偶端加单位力偶m=1m=1，其单位弯矩图，其单位弯矩图M M如图如图(c)(c)所示。所示。 MP P图面积及其形心对应单位图面积及其形心对应单位M图竖标分别为图竖标分别为 计算计算A A321218132qllql21cyEIqlqlEIEIyCA2421121133(2)(2) 求求
21、CVCV MP P图仍如图图仍如图(b)(b)所示。所示。 在在C C点加单位力点加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如图如图(d)(d)所示。所示。 计算计算、yC C。由于单位。由于单位M图是折线形，故应分段图乘图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。 计算计算CVCV3224128132qllqlllyc325485 EIqllqlEIEIyCCV58453252412233【例例2 2】试求试求图图(a)(a)所示的梁在已知荷载作用下，所示的梁在已知荷载作用下，A A截面的截面的角位移角位
22、移A A及及C C点的竖向线位移点的竖向线位移CVCV。EIEI为常数。为常数。【解解】(1)(1) 分别建立在分别建立在m=1m=1及及P=1P=1作用下的虚设状态，如作用下的虚设状态，如图图(c)(c)、(d)(d)所示。所示。(2)(2) 分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图图(b)(b)、(c)(c)、(d)(d)。(3)(3) 图形相乘。将图图形相乘。将图(b)(b)与图与图(c)(c)相乘，则得相乘，则得A=-1/EI(Pa2/6+qa3/12)结果为负值，表示结果为负值，表示A A的方向与的方向与m=1m=1的方向相反。的方向相反。
23、图18.16 计算计算CVCV时，将图时，将图(b)(b)与图与图(d)(d)相乘，这里必须注意相乘，这里必须注意的是的是MP P图图BCBC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加，则得后叠加，则得CVCV=1/EI(2/3=1/EI(2/3Pa3 3+7/24+7/24qa4 4)()() 【例例3 3】计算计算图图(a)(a)所示悬臂刚架所示悬臂刚架D D点的竖向位移点的竖向位移DVDV。各杆各杆EIEI如图示。如图示。【解解】(1)(1)实际荷载作用
24、下的弯矩图实际荷载作用下的弯矩图MP P如如图图(b)(b)所示。所示。(2)(2)在在D D端加单位力端加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如如图图(c)(c)所示。所示。(3)(3)计算计算、yC C图乘时应分图乘时应分ABAB、BCBC、CDCD三段进行，由于三段进行，由于CDCD段段M=0=0，可不必计入。故只计算可不必计入。故只计算ABAB、BCBC两段。两段。ABAB段：段： 1= 2/3l2 ( (取自单位取自单位M图图) ) y1 1=P=Pl/4/4 BC BC段：段： 2 2=2=2l2 2/9/9 y2 2=P=Pl/4/4 (4) (4)计算计算DV DV
25、 DVDV=1/EI(=1/EI(1 1yC1C1)+1/2EI()+1/2EI(2 2yC2C2) ) =-5P=-5Pl3 3/(36EI) ()/(36EI) ()【例例4 4】计算计算图图(a)(a)所示外伸梁所示外伸梁C C点的竖向位移点的竖向位移CVCV。EIEI为常数。为常数。【解解】(1)(1) 实际荷载作用下的弯矩图实际荷载作用下的弯矩图MPMP如如图图(b)(b)所示。所示。(2)(2) 在在C C处加竖向单位力处加竖向单位力P=1P=1，其弯矩图，其弯矩图M M如如图图(f)(f)所示。所示。(3)(3) 计算计算、yC CBCBC段：段： 1 1= =ql3 3/48/48 y1 1=3/8=3/8l ABAB段：段： 2=ql3/16/16 y2=1/3=1/3 3=ql3/24/24 y3=1/4=1/4l (4)(4) 计算计算CVCVCVCV=1/EI(=1/EI(1 1y1 1+ +2 2y2 2+ +3 3y3 3)=)=ql4 4/(128EI)()/(128EI)()