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1、课时作业54抛物线一、选择题1已知抛物线x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点坐标为(A)A(0,1) B(0,2)C(1,0) D(2,0)解析：由抛物线x22py(p0)的准线为y1，得p2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)2(2019河北五名校联考)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p
2、4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.3设抛物线C：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若QAF的面积为2，则点P的坐标为(A)A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4)C(1,2) D(1,4)解析：设点P的坐标为(x0，y0)因为QAF的面积为2，所以2|y0|2，即|y0|2，所以x01，所以点P的坐标为(1,2)或(1，2)4(2019福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|8，M为抛物线C准线上一点，则ABM的面积为(A)
3、A16 B18C24 D32解析：不妨设抛物线C：y22px(p0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p8，p4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以ABM的面积为8416，故选A.5(2019陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(B)A. B
4、C D解析：将y1代入y24x，可得x，即A(，1)由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k.故选B.6抛物线y22px(p0)的焦点为F，点N在x轴上且在点F的右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135，O为坐标原点，则直线OM的斜率为(A)A22 B21C.1 D34解析：解法1：设点M(，m)(m0)，因为点M在FN的垂直平分线上且点N在焦点F的右侧，所以N(，0)，又MN的倾斜角为135，所以1，解得m(1)p，所以点M(p，(1)p)，所以直线OM的斜率为22，故选A.解法2：如图，设直线L为抛物线的准线，过点M
5、向准线引垂线，垂足为A，交y轴于点B，设|MF|t，因为点M在FN的垂直平分线上，且直线MN的倾斜角为135，所以直线MF的倾斜角为45，由抛物线的定义得t|MA|pt，即t(2)p，所以|OB|t(1)p，|BM|t，设直线OM的倾斜角为，则OMB，所以直线OM的斜率为tan22，故选A.7如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为(B)Ay2x By23xCy2x Dy29x解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD
6、30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，所以633a，从而得a1，因为BDFG，所以.即，解得p，因此抛物线方程为y23x.二、填空题8已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为2.解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.9(2019合肥市质量检测)抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周
7、长为16，则点P的坐标为(4,4)解析：设P(x，y)，其中x0，y0，由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知|AF|2，|QA|y，则或(舍去)所以点P的坐标为(4,4)10(2019潍坊市统一考试)已知抛物线y24x与直线2xy30相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则的值为.解析：设A(，y1)，B(，y2)，易知y1y20，则k1，k2，所以，将x代入y24x，得y22y60，所以y1y22，.三、解答题11过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛
8、物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED，y2(x11)y1(x21)y2(1)y1(1)(y1y2)(y1y2)(y1y2)(1)由(1)知x1x21，(y1y2)216x1x216，又
9、y1与y2异号，y1y24，即10，kEBkED，又ED与EB有公共点E，B，D，E三点共线12(2019洛阳高三统考)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则(A)A16 B4C. D.解析：解法1：因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|CF|，所以.由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD.由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16.故选A.解法2：同解法1得.过A，D作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，D1，该
10、直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FNAA1得，由直线AF的斜率为得tanA1AF，故.又|AA1|AF|，故，所以|AF|AA1|NF|p.同理可得，又|DD1|DF|，所以，故|DF|DD1|NF|p，故16.故选A.13(2019河北名校联考)如果点P1，P2，P3，P10是抛物线y22x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，x10，F是抛物线的焦点，若x1x2x3x105，则|P1F|P2F|P3F|P10F|10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y22px(p0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1
11、x2x105p10.14(2019惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由解：(1)证法1：当直线AB垂直于x轴时，不妨取y12，y22，所以y1y28(定值)当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为yk(x2)，由得ky24y8k0，所以y1y28.综上可得，y1y28为定值证法2：设直线AB的方程为myx2.由得y24my80，所以y1y28.因
12、此有y1y28为定值(2)存在理由如下：设存在直线l：xa满足条件，则AC的中点E(，)，|AC|，因此以AC为直径的圆的半径r|AC|，点E到直线xa的距离d|a|，所以所截弦长为22，当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x1.15(2019福州市测试)已知圆C：(x5)2(y)28，抛物线E：x22py(p0)上两点A(2，y1)与B(4，y2)，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为(C)Ax By1Cy Dx1解析：由题意知，A(2，)，B(4，)，kAB，设抛物线E上的切点为(x0，y0)，由y，得y，x01，切点为(1，)，切线方程为y(x1)，即2x2py10，切线2x2py10与圆C相切，圆心C(5，)到切线的距离为2，即2，31p218p490，(p1)(31p49)0，p0，p1.抛物线x22y的准线方程为y，故选C.