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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【重点、难点、考点】重点：判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。【经典范例引路】例1 若关于x的一元二次方程(m2)2x2(2m1)x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A.m且m2D.m且m2（2001年山西省中考试题）【解题技巧点拨】解 C解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax2bxc0 作为一元二次方程时
2、 a0”的情形解题原理：对方程ax2bxc0 （a0）0”题型：判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，证明一元二次方程有无实根，求待定系数的值或取值范围，根与系数的关系综合运用。例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知是方程x22x70的两个实数根。求2324的值。解法1 、是方程x22x70的两实数根2270 2270 且22722722324723（72）4282（）282（2）32解法2 由求根公式得12 122324（12）23(12)24(12)943(9448)32解法3 由已知得：2 722（）2218 令2324A 2324BAB4（22）4（）4184（2
3、）64 AB2(22)4()2() ()4()0 得：2A64 A32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2x90的两个实数根，求代数式。x137x223x266的值。解 x1、x2是方程x2x90的两根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266 x129x110x23x199x110x2310(x1x2)616【同步达纲练习】一、填空题1.如果关于x的方程2x2（4k1）x2k210有两个不相等的实根，那么k的取值范围是。2.若关于x的一元二次方程kx2
4、2x10有实数根，则k的取值范围是。3.如果m为实数，方程x2mxm2m0的根的情况是。4.设x1、x2是方程2x23xm0的两根且8x12x27，则m的值是。5.已知实数a、b满足a27a20 b27b20 则。二、选择题6.关于x的方程3x22xk10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.kB.k7.已知方程组无解，那么k的取值范围是（ ）A.kB.kC.k8.以一元二次方程x22x30的两根之和与两根之积为根的一元二次方程是（ ）A.y25y60B. y25y60C. y25y60D. y25y609.若、是方程x23x50的两根，则2223的值是（ ）A.21B.24C.27
5、D.2910.甲、乙两同学在解方程x2pxq0时，甲看错了一次项系数得两根为2，7，乙看错了常数项，得两根为1，10，则原方程是（ ）A. x29x140B. x29x100C. x29x100D. x29x140三、解答题11.已知关于x的方程4x24bx7b0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2(2b)y40的两个根。求以、为根的一元二次方程。12.已知关于x的方程x2 xk0有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围（2）化简|k2|13.已知关于x的方程（a21）x22(a2)x10有实数根。求a的取值范围。（提示：分a210，a210讨论）14.已知关于x的方程x22(k
6、1)xk22k10 （1）求证，对任意实数k的方程总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程y2(x1x22k)y(x1k)(x2k)0 的根。其中x1、x2是方程的两根 求代数式（）的值。15.已知方程2x22ax(a4)a0的两实根分别为x1、x2且满足(x11)(x21)，求a的值。16.关于x的方程x2(5k1)xk220是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。17.设、是方程x2x20的两根，不解方程，求的值。18.已知关于x的方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k的值。如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得(2k1)24k20的解得k.当k 2.k1且k0 3.无实根 4.m1 5.或2 6.A 7.C 8.B 9.B 10.D 11.x23x20 12.2k2,4 13.a 14. 15. 16.k1 17. 18.有错误k k不存在 19.x2210 20.5 21.4(a1)290 a 22.5 23.k2 k3或4