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1、第17课时数列求和知识点一 分组求和法1求和：(a1)(a22)(ann)(a0)解原式(aa2an)(12n)(aa2an)2求数列，的前n项和解Sn1234n(123n)1知识点二 裂项相消法3求和：1解an2，Sn214已知数列an的前n项和为Sn，a12，Snn2n(1)求数列an的通项公式；(2)设的前n项和为Tn，求证Tn1解(1)Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a12满足上式，an2n(nN*)(2)证明：Snn2nn(n1)，Tn11nN*，0，即Tn1知识点三 错位相减法5已知ann2n，bn，Sn为数列bn的前n项和，求Sn的表达式解因为
2、ann2n，bn，所以bn1，所以Snb1b2bnn，令Tn，则Tn，两式相减得Tn1，所以Tn2，即Sn2n6已知数列an是首项a1，公比q的等比数列，设bn3log4an20，数列cn满足cnanbn(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn解(1)由题意，得ann，又bn3log4an2，故bn3n2(2)由(1)知ann，bn3n2，所以cn(3n2)n所以Sn14273(3n5)n1(3n2)n，于是Sn124374(3n5)n(3n2)n1，得Sn323n(3n2)n1(3n2)n1所以Snn知识点四 倒序相加求和7已知数列an 的通项公式为ann2(nN*)，设f
3、(x)xlog2，则数列f(an)的各项之和为()A36 B33 C30 D27答案D解析由f(x)xlog2，可知0，解得2x8f(an)中2an8，又ann2，所以an1，0，1，2，7由f(6x)6xlog2可得f(x) f(6x)6且有f(3)3，数列f(an )的各项之和为f(a1 )f(a2 )f(a9 )f(1)f(0)f(7)f(1)f(7) f(0)f(6)f(1)f(5) f(2)f(4)f(3)46327故选D8已知函数f(x)x3sinx，则fff_答案2018解析 f(a)f(1a)a3sina1a3sin1a23sina3sina2，设Sfff，则Sfff得2S20
4、18ff4036，S2018易错点一 公式使用条件考虑不周全9已知数列an的前n项和为Sn3n2n1，求an易错分析公式an是分段的，因为n1时，Sn1无意义在解答中，应加上限制条件n2，然后验证n1时的值是否适合n2时的表达式本题易错解为an23n12解a1S16；当n2时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12由于a1不适合此式，故an易错点二 忽略解决问题的方法致错10已知数列an满足a12，anan12n3，求数列an的前n项和Sn易错分析本题如果由递推关系式求出数列的通项，再求前n项和，则过程较繁琐由递推关系式的特点，可考虑相邻两项并项求和，此时需对n的奇偶性作分类
5、讨论解当n为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)(213)(233)2(n1)3213(n1)3当n为奇数时，Sna1(a2a3)(a4a5)(an1an)2(223)(243)2(n1)32224(n1)3故数列an的前n项和为Sn一、选择题1数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析S10015913(4993)(41003)50(4)2002数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3690 B3660 C1845 D1830答案D解析不妨令a11，则a22，a3a
6、5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1；当n为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30230418303设数列an的通项公式为an(1)n(2n1)cos1(nN*)，其前n项和为Sn，则S120()A60 B120 C180 D240答案D解析由an(1)n(2n1)cos1，得a1cos11，a23cos12，a35cos11，a47cos218，a59cos11，a611cos3110，a713cos11，a815cos4116，由以上可知，数列an的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，S120(a1a3a119)(a2a4a118a120)60
7、306240故选D4已知数列an：，那么数列bn前n项的和为()A41 B4C1 D答案A解析an，bn4Sn41415对于数列an，定义H0为an的“优值”现已知某数列的“优值”H02n1，记数列an20的前n项和为Sn，则Sn的最小值为()A64 B68 C70 D72答案D解析由题意可知：H02n1则a12a22n1ann2n1，当n2时，a12a22n2an1(n1)2n，两式相减得：2n1ann2n1(n1)2n，an2(n1)，当n1时也成立，an202n18，当an200时，即n9，故当n8或9时，an20的前n项和为Sn，取最小值，最小值为S8S972故选D二、填空题6已知等差
8、数列an，a5，若函数f(x)sin2x1，记ynf(an)，用课本中推导等差数列前n项和的方法，求数列yn的前9项和为_答案9解析因为ynsin(2an)1，所以数列yn的前9项和为sin2a1sin2a2sin2a3sin2a8sin2a99，由等差数列an，a5，则sin2a50，由a1a92a5，所以2a12a94a52，则2a122a9，所以sin2a1 sin(22a9)sin2a9由倒序相加可得(sin2a1sin2a2sin2a3sin2a8sin2a9sin2a1sin2a2sin2a3sin2a8sin2a9)0，所以y1y2y3y8y997已知各项都为整数的数列an中，a
9、12，且对任意的nN*，满足an1an2n，an2an32n1，则a2017_答案22017解析由an1an2n，得an2an12n1，两式相加得an2an32n1，又an2an32n1，anZ，所以an2an32n，从而a2017(a2017a2015)(a2015a2013)(a3a1)a13(22015220132321)2220178设数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2abn_答案2n1n2解析易知an2n1，bn2n1，abn22n112n1，ab1ab2abn21222nn2n1n2三、解答题9已知数列an的前n项和为
10、Sn，且对任意正整数n，都有anSn2成立记bnlog2an(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn解(1)在anSn2中，令n1得a18因为对任意正整数n，都有anSn2成立，n2时，an1Sn12，得，anan1an，所以an4an1又a10，所以数列an是以a18为首项，4为公比的等比数列，即an84n122n1，经验证：n1时也成立，an22n1(nN*)，所以bnlog222n12n1(2)证明：由题意及(1)知，cn，所以Tn，Tn，易知Tn为单调增函数，则T1Tn，故Tn10已知公差不为0的等差数列an的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn2an，求数列bn的前n项和Sn，并判断是否存在n(nN*)，使得Sn1440成立？若存在，求出所有n的解；若不存在，请说明理由解(1)设an的公差为d，依题意得即解得an2n(2)bnn22nn4n，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1，两式相减，得3Sn442434nn4n1，Sn4n1令4n11440，化简得(3n1)4n3239左边为偶数，右边为奇数，方程无解，即不存在nN*，使Sn1440成立