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1、第二章单元质量测评 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列3，5，9，17，33，的通项公式an等于()A2n B2n1 C2n1 D2n1答案B解析由于321，5221，9231，所以通项公式是an2n1(或特值法，当n1时只有B项符合)2记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d()A2 B3 C6 D7答案B解析S4S2a3a420416，a3a4S2(a3a1)(a4a2)4d16412，d3
2、3在数列an中，a12，2an12an1，则a101的值为()A49 B50 C51 D52答案D解析2an12an1，an1an数列an是首项a12，公差d的等差数列a1012(1011)524在等差数列an中，若a1a2a332，a11a12a13118，则a4a10()A45 B50 C75 D60答案B解析a1a2a33a232，a11a12a133a12118，3(a2a12)150，即a2a1250，a4a10a2a12505公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于()A18 B24 C60 D90答案C解析由aa3a7得(a13
3、d)2(a12d)(a16d)，即2a13d0又S88a1d32，则2a17d8由，得d2，a13所以S1010a1d60故选C6等比数列an的通项为an23n1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列bn，那么162是新数列bn的()A第5项 B第12项 C第13项 D第6项答案C解析162是数列an的第5项，则它是新数列bn的第5(51)213项7九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多
4、少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A钱 B钱 C钱 D钱答案B解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，ad，a2d，则由题意可知，a2dadaada2d，即a6d，又a2dadaada2d5a5，a1，则a2da2a故选B8已知an是等差数列，a35，a917，数列bn的前n项和Sn3n，若amb1b4，则正整数m等于()A29 B28 C27 D26答案A解析因为an是等差数列，a917，a35，所以6d175，得d2，an2n1又因为Sn3n，所以当n1时，b13，当n2时，Sn13n1，bn3n3n123n1，由amb1b4，得2m1354
5、，得m29，故选A9在各项均为正数的等比数列an中，a12且a2，a42，a5成等差数列，记Sn是数列an的前n项和，则S5()A32 B62 C27 D81答案B解析设各项均为正数的等比数列an的公比为q，又a12，则a22q，a422q32，a52q4，a2，a42，a5成等差数列，4q342q2q4，2(q31)q(q31)，由q0，解得q2，S562故选B10已知数列an前n项和为Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值是()A13 B76 C46 D76答案B解析Sn159131721(1)n1(4n3)，S147(15)28，a1560357，S2211
6、(15)44，S3015(15)60，a311243121，S15S14a1529，S31S30a3161S15S22S3129446176故选B11已知函数f(x)把方程f(x)x的根按从小到大的顺序排列成一个数列an，则该数列的通项公式为()Aan(nN*)Bann(n1)(nN*)Cann1(nN*)Dann2(nN*)答案C解析令2x1x(x0)，易得x0当0x1时，由已知得f(x1)1x，即2x1112x1x，则x1当10，d0，设从第n项起为负数，则21，于是前21项和最大，最大值为S2110514已知等比数列an为递增数列，若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q
7、_答案2解析an是递增的等比数列，且a10，q1又2(anan2)5an1，2an2anq25anqan0，2q25q20，q2或q(舍去)，公比q为215在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则a1a2a51_答案676解析当n为正奇数时，an2an0，又a11，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，an2an2，又a22，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1a2a51(a1a3a51)(a2a4a50)26a125a2267616某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设
8、备每年生产的收入均为21万元设该设备使用了n(nN*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于_答案7解析设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列an是以2为首项，3为公差的等差数列，则an3n1设该设备使用n年的运营费用总和为Tn，则Tnn2n设n年的盈利总额为Sn，则Sn21n9n2n9由二次函数的性质可知，当n时，Sn取得最大值，又nN*，故当n7时，Sn取得最大值三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设a，b，c是实数，3a，4b，5c成等比数列，且，成等差数列，求的值解3a，4b，5c成等比数列
9、，16b215ac，成等差数列，由，得15ac64将代入，得215ac64，ac18(本小题满分12分)数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，若anSnn，cnan1(1)求证：数列cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解(1)证明：a1S1，anSnn，a1S11，得a1又an1Sn1n1，由两式相减得2(an11)an1，即，也即，故数列cn是等比数列(2)c1a11，cn，ancn11，an11故当n2时，bnanan1又b1a1也适合上式，bn19(本小题满分12分)已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列an
10、1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an23an12an，an2an12(an1an)，2a11，a23，an1an是以a2a12为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)得an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1故数列an的通项公式为an2n120(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内
11、的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、50(n1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)(2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n较大时，可用(1x)n1nx进行近似计算解(1)设第n区的火山灰为每平方米an千克，依题意，数列an为等比数列，且a11000(千克)，公比q12%098，ana1qn11000098n1离火山口1225米处的位置在第25区，a251000(10
12、02)241000(124002)520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克(2)设第n区的火山灰总质量为bn千克，且该区的火山灰总质量最大依题意，第n区的面积为(50n)250(n1)2625(2n1)，bn625(2n1)an依题意得解得495n505nN*，n50，即第50区的火山灰总质量最大21(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn2n2，数列bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn解(1)当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，当n1时，a142
13、2也适合上式，an的通项公式为an4n2，即an是a12，公差d4的等差数列设bn的公比为q，则b1qdb1，q故bnb1qn12即bn的通项公式为bn(2)cn(2n1)4n1，Tnc1c2cn1341542(2n1)4n1，4Tn14342543(2n3)4n1(2n1)4n两式相减，得3Tn12(4142434n1)(2n1)4n(6n5)4n5，Tn(6n5)4n522(本小题满分12分)已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1，2，3，(1)证明：数列lg (1an)是等比数列；(2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn；(3)记bn，求数列bn的前n项和Sn，并证明Sn32182，01Sn1