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1、课时跟踪检测（四十） 空间向量的运算及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x_.解析：由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)答案：(0,6，20)2(2019汇龙中学检测)若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n (2,0，4)，则直线l和平面的位置关系为_解析：因为a(1,0,2)，n(2,0，4)，所以n2a，即an.所以l.答案：l3(2018睢宁中学检测)已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示向量_.解析：如图所示，连结ON，AN，则()(b
2、c)，()(2)(2abc)abc，所以()abc.答案：abc4若点C(4a1,2a1,2)在点P(1,0,0)，A(1，3,2)，B(8，1, 4)所确定的平面上，则a_.解析：由题意得(0，3,2)，(7，1,4)，(4a,2a1,2)，根据共面向量定理，设xy，则(4a,2a1,2)x(0，3,2)y(7，1,4)(7y，3xy，2x4y)，所以解得x，y，a.答案：5若平面的一个法向量为u1(3，y,2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_.解析：因为，所以u1u2，所以，所以y1，z4，所以yz3.答案：36(2019滨海检测)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,
3、5,2)，C(2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为_解析：(2,3，1)，(2,1,3)4334，|，|.cosBAC.sinBAC.故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S|sinBAC6.答案：6二保高考，全练题型做到高考达标1已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点若(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：2(1)(1)2(4)(1)2240，即APAB，故正确(1)42200，即APAD，故正确又ABADA， AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量，故正确
4、(2,3,4)，(1,2，1)， ， 与不平行，故错误答案：2已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为_解析：因为abx23，所以x1，所以b(1,1,2)所以cosa，b.所以a与b的夹角为.答案：3(2019盐城中学检测)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m(x，y，z)，因为(0,1，1)，(1,0，1)，则令x1，得m(1,1,1)因为mn，所以mn，所以.答案：4已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻
5、折，当AEBD时，二面角ADEF的余弦值等于_解析：不妨设GDGE1，则GAGF，AEBD2，由已知得AGF即为二面角ADEF的平面角，设其为.则()()()(2)()()2100cos 13cos 0，所以cos ，即当AEBD时，二面角ADEF的余弦值等于.答案：5(2019南京调研)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，则对角线AC1的长度等于_解析：2()222222216925243cos 90245cos 60235cos 6050201585，即|.答案：6在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1
6、,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解析：由题意知0，|，又(6，2，3)，(x4,3，6)，所以解得x2.答案：27已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN_.解析：连结PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MNPD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，所以PD，所以MN.答案：8已知向量(1,5，2)，(3,1,2)，(x，3,6)若DE平面ABC，则x的值是_解析：DE平面ABC，存在实数m，n，使得mn，即解得x5.答案：59如图所示，在平行四边形
7、ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D间的距离解：因为ACD90，所以0.同理可得0.因为AB与CD成60角，所以，60或，120，又，所以|2|2|2|22223211cos，所以当，60时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120时，|22，此时B，D间的距离为.10如图，在多面体ABC A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1 AB C是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明：因为二面角A1 AB C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形
8、，所以AA1平面ABC.又因为ABAC，BCAB，所以CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设AB2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1) (0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)所以2n，即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)所以m0
9、12(1)210，所以m.又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端点的点，且.当BEA1为钝角时，则实数的取值范围为_解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,3,0)，C1(0，3,5)，B(2,3,0)，A1(2,0,5)因为，所以E(0,3,5)从而(2,0，5)，(2，3,55)当BEA1为钝角时，cosBEA10，所以0，即225(55)0，解得.答案：2(2019海门中学检测)如图，正方形AB
10、CD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为_解析：由题意知CD，CB，CE两两垂直，所以以C为原点，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，连结OE，则O，又E(0,0,1)，A(，0)，所以，(x，y，1)，因为AM平面BDE，AM平面ACEF，平面BDE平面ACEFOE，所以OEAM，所以即所以M.答案：3如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8，0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知AP5，又AM3，且点M在线段AP上，所以，又(4，5,0)，所以，则(0,3,4)0，所以，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，且BCBMB，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.