《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.3.2 平面与平面垂直的判定 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版必修2学案：2.3.2 平面与平面垂直的判定 .doc（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.3.2平面与平面垂直的判定知识导图学法指导1. 平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证2面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径3判定定理中的条件“一个平面经过另一个平面的一条垂线”既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用定理时，一定要注意定理的条件高考导航1.求二面角是高考理科卷的常考内容，常与线面、面面位置关系综合在一起进行考查，以解答题
2、的形式出现，分值510分2平面与平面垂直的判定定理，一般不会单独考查，通常和平行、夹角等知识综合考查，以选择题或解答题的一问的形式出现，分值5分.知识点一二面角1二面角二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面如图，记作：二面角l或二面角PABQ或二面角PlQ范围01802.二面角的平面角文字语言在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫作二面角的平面角图形语言符号语言l，Ol，OA，OB，OAl，OBlAOB为二面角l的平面角作二面角的平面角的方法方
3、法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，AOB为二面角 a 的平面角方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB为二面角 l 的平面角方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图，AFE为二面角A BC D的平面角知识点二平面与平面垂直平面与平面垂直定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：判定定
4、理文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号表示：定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.()答案：(1)(2)2.如图所示，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A2对B3对C4对 D5对解析：由PA矩形ABCD知，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD；由AB平面PAD知，平面PAB平面PAD；由BC平面PAB知，平面PBC平面PAB；由DC平面PAD知，平面PD
5、C平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对选D.答案：D3空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADC B平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBC D平面ADC平面DBC解析：因为ADBC，ADBD，BCBDB，所以AD平面DBC.又因为AD平面ADC，所以平面ADC平面DBC.故选D.答案：D4对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n解析：取正方体ABCDA1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面，平面AA1C1C作为平面.
6、对于A虽满足mn，m，n，但不垂直于，从而否定A.类似地可否定B和D.答案：C类型一求二面角例1如图，在正方体ABCDABCD中：(1)求二面角DABD的大小；(2)求二面角AABD的大小【解析】(1)在正方体ABCDABCD中，AB平面AD，所以ABAD，ABAD，因此DAD为二面角DABD的平面角在RtDDA中，DAD45，所以二面角DABD的大小为45.(2)因为AB平面AD，所以ABAD，ABAA，AAD为二面角AABD的平面角又AAD90，所以二面角AABD的大小为90.找出二面角的平面角证明所找的角即所求计算该角的大小方法归纳求二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一
7、特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求跟踪训练1如图所示，CD，P为二面角内部一点PA.PB，垂足分别为A，B.(1)证明：ABCD；(2)若PAB为等边三角形，求二面角CD的大小解析：(1)证明：CD平面PAB，又AB平面PAB，CDAB.(2)PAB为等边三角形，APB60.故二面角CD的
8、平面角为120.(1)由CD，PA，PB推出CD平面PAB，从而得出CDAB；(2)可转化为求APB，再求出二面角的大小类型二平面与平面垂直的判定例2如图，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC，求证：平面ABC平面SBC.【证明】证法一：利用定义证明BSACSA60，SASBSC，ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，SBSCa，SDa，BDa.在RtABD中，ADa.在ADS中，SD2AD2SA2，ADS90
9、，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.证法二：利用判定定理SAABAC，点A在平面SBC上的射影为SBC的外心BSC为直角三角形，A在BSC上的射影D为斜边BC的中点AD平面SBC.又平面ABC过AD，平面ABC平面SBC.方法一利用定义证明，求出平面ABC与平面SBC的平面角为90 .方法二利用平面与平面垂直的判定定理证明方法归纳1对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题2证明平面与平面垂直的方
10、法根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直跟踪训练2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC.所以DC1平面BDC.又DC1平面B
11、DC1，故平面BDC1平面BDC.要证明面面垂直，需证明线面垂直，由已知证明即可基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1在空间四边形ABCD中，ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A平面ABD平面BDCB平面ABC平面ABDC平面ABC平面ADC D平面ABC平面BED解析：由已知条件得ACDE，ACBE，于是有AC平面BED，又AC平面ABC，所以有平面ABC平面BED成立答案：D2设m，n是不同的直线，是不同的平面，已知m，n，下列说法正确的是()A若mn，则 B若mn，则C若mn，则 D若mn，则解析：若mn，则与可以平行或相交，故A，C
12、错误；若mn，则，D错，选B.答案：B3如图，已知PA垂直于ABC所在平面，且ABC90，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有()A一对B两对C三对 D四对解析：由PA平面ABC得平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，且PABC，又ABC90，所以BC平面PAB，从而平面PBC平面PAB.故选C.答案：C4.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90 B60C45 D30解析：PA平面ABC，BA，CA平面ABC，BAPA，CAPA，因此，BAC即为二面角BPAC的平面角又BAC90，故选A.答案：A5如图，设P是正方形ABCD外一点
13、，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：PA平面ABCD，BC，AD平面ABCD，PABC，PAAD.又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6已知四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD
14、，则平面PBD与平面PAC的位置关系是_解析：因为PA平面ABCD，所以PABD，在正方形ABCD中，BDAC.又ACPAA，所以BD平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.答案：平面PBD平面PAC7正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为_解析：如图，设S在底面内的射影为O，取AB的中点M，连接OM，SM，则SMO为所求二面角的平面角，在RtSOM中，OMAD1，SM，所以cosSMO，所以SMO45.答案：458已知a，b，c为三条不同的直线，为三个不同的平面，给出下列命题：若，则；若a，b，c，ab，ac，则；若a，b，ab，则.其中正确的命题是
15、_(填序号)解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记平面ADD1A1为，平面ABCD为，平面ABB1A1为，显然错误；只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知正确答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点求证：平面PAC平面PBC.证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA.PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC.10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，且PA，AB1，BC2，A
16、C，求二面角PCDB的大小解析：AB1，BC2，AC，BC2AB2AC2，BAC90，ACD90，即ACCD.又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又PAACA，CD平面PAC.又PC平面PAC，PCCD，PCA是二面角PCDB的平面角在RtPAC中，PAAC，PA，AC，PCA45.故二面角PCDB的大小为45.能力提升(20分钟，40分)11如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PAAC，则二面角PBCA的大小为()A60B30C45D15解析：易得BC平面PAC，所以PCA是二面角PBCA的平面角，在RtPAC中，PAAC，所以PCA45.
17、故选C.答案：C12.如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.解析：取BC中点M，则AMBC，由题意得AM平面BDC，AMD为直角三角形，AMMDa.ADaa.答案：a13如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到AEF的位置，连接AB，AC，P为AC的中点(1)求证：EP平面AFB；(2)求证：平面AEC平面ABC.证明：(1)因为E，P分别为AC，AC的中点，所以EPAA，又AA平面AAB，而EP平面AAB，所以EP平面AAB，即EP平面AFB.(2)因为E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，所以E
18、FBC.因为BCAC，所以EFAE，故EFAE，所以BCAE.而AE与AC相交，所以BC平面AEC.又BC平面ABC，所以平面AEC平面ABC.14在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值解析：如图所示，连接OB，OO，则四边形OOFB为直角梯形过点F作FMOB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC.可得FM3.过点M作MNBC于点N，连接FN.可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角FBCA的余弦值为.