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1、23直线、平面垂直的判定及其性质第16课时直线与平面垂直的判定对应学生用书P43 知识点一直线与平面垂直的判定1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内一条直线垂直，则l；若直线l与平面内两条直线垂直，则l；若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l；若直线l与平面内无数条直线垂直，则lA1 B2 C3 D4答案B解析由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是，故选B2PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()APABC BBC平面PACCACPB DPCBC答案C解析由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可
2、知PABC，故排除A由题意可知BCAC，PABC因为PA平面PAC，AC平面PAC，ACPAA，所以BC平面PAC，故排除B结合B，根据直线与平面垂直的定义知BCPC，故排除D故选C知识点二直线与平面所成的角3线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30 B45 C60 D120答案C解析如右图所示，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角4若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行 B相交C异面 D以上皆有可能答案D解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD
3、所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面知识点三直线与平面垂直的证明5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PAPC，PBPD，ACBDO求证：(1)PO面ABCD；(2)AC面PBD证明(1)四边形ABCD为菱形，ACBDO，O为AC的中点，又PAPC，POAC同理可证POBD又AC面ABCD，BD面ABCD，ACBDO，PO面ABCD(2)由(1)知ACPO，又四边形ABCD为菱形，ACBD，又BD面PBD，PO面PBD，POBDO，AC面PBD6如图，在四面体ABCD中，
4、BDC90，ACBD2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF求证：BD平面ACD证明取CD的中点为G，连接EG，FGF，G分别为BC，CD的中点，FGBD又E为AD的中点，ACBD2，则EGFG1EF，EF2EG2FG2，EGFG，BDEGBDC90，BDCD又EGCDG，BD平面ACD对应学生用书P44 一、选择题1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nCmn，且n Dmn，且n答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，B符合题意；C，D中，m
5、或m或m与相交，不符合题意故选B2直线a与平面所成的角为50，直线ba，则直线b与平面所成的角等于()A40 B50 C90 D150答案B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与所成的角也是503给出下列条件(其中l为直线，为平面)：l垂直于内的一五边形的两条边；l垂直于内三条不都平行的直线；l垂直于内无数条直线；l垂直于内正六边形的三条边其中能够推出l的条件的所有序号是()A B C D答案C解析如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直都有可能垂直的是平面内的平行直线，不能推出l故选4正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值
6、为()A B C D答案D解析画出图形，如图所示，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cosDD1H5在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A B C D答案D解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点O，连接OB四边形A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1BB1平面A1B1C1D1
7、，OC1平面A1B1C1D1，OC1BB1BB1B1D1B1，OC1平面BB1D1DOB是BC1在平面BB1D1D内的射影C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角在正方形A1B1C1D1中，OC1A1C1 在矩形BB1C1C中，BC1sinC1BO二、填空题6在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是_答案垂直解析由正方体性质知ACBD，BB1AC，E，F是棱AB，BC的中点，EFAC，EFBD，EFBB1，又BDBB1B，EF平面BB1O7在矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与
8、平面ABCD所成的角是_答案30解析如图，PA平面ABCD，PCA即PC与平面ABCD所成的角，又tanPCA，PCA308已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等若点A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于_答案解析如图，设A1在底面ABC内的射影为O，O为ABC的中心，OAOBOC，则AA1A1BA1C连接AB1，A1B，设AB1A1BE，则E为A1B的中点取OB的中点D，连接ED，AD，则EDA1O由题意知A1O平面ABC，所以ED平面ABC则EAD即为AB1与底面ABC所成的角设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为a，则OAOBa在RtAA
9、1O中，A1Oa，EDA1Oa在正三角形AA1B中，AEa，在RtADE中，sinEAD，即AB1与底面ABC所成角的正弦值为三、解答题9在三棱锥PABC中，H为ABC的垂心，且PH面ABC，求证：ABPC，BCAP证明连接AH，H为ABC的垂心，AHBC，又PH面ABC，PHBC，又PHAHH，BC面PAH，又PA面PAH，BCAP，同理可证ABPC10如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明：P，Q分别为AE，AB的中点，PQEB又DCEB，因此PQDC，因为PQ平面ACD，CD平面ACD，从而PQ平面ACD(2)如图，连接CQ，DPQ为AB的中点，且ACBC，CQABDC平面ABC，EBDC，EB平面ABCCQ平面ABC，CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE由(1)有PQDC，又PQEBDC，四边形CQPD为平行四边形DPCQDP平面ABEDAP即为AD和平面ABE所成的角在RtDPA中，AD，DPCQ1，sinDAPAD和平面ABE所成角的正弦值为