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1、12.1函数概念课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的概念bb2.函数的定义域bb3.函数的值bb4.区间aa知识导图学法指导1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成2本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数yf(x)的含义，求函数的值域.知识点一函数的概念1函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)2函数的定义域与值域函数yf(x)中，x叫自变量，x的取
2、值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集,对函数概念的3点说明(1)当A ，B为非空实数集时，符号“f ：AB”表示A到B的一个函数(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)符号“f ”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样知识点二函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等知识点三区间的概念1区间的几何表示定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)关于无穷大
3、的2点说明(1)“”是一个符号，而不是一个数(2)以“”或“”为端点时，区间这一端必须是小括号小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示()(2)数集x|x2可用区间表示为2，()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2函数f(x)的定义域为()A(1，) B1，)C1,2) D1,2)(2，)解析：使函数f(x)有意义，则即x1，且x2.所以函数的定义域为x|x1且x2故选D.答案：D3下列各
4、组函数表示同一函数的是()Ay与yx3By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dyx1，xZ与yx1，xZ解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同答案：C4用区间表示下列集合：(1)_；(2)x|x1或2x3_.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则x|x5，5)(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“”，则x|x1或20，f：xy|x|；(4)AZ，B1,1，n为奇数时，f(n)1，n为偶数时，f(n)1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数(2)
5、集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集2判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析方法归纳 (1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应注意A中元
6、素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”跟踪训练1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个C2个D3个(2)下列对应是否是函数？x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.解析：(1)图号正误原因x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性同时满足任意性与唯一性x2时，对应元素y3N，不满足任意性x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)是函数因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函
7、数定义不是函数当x1时，y1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念答案：(1)B(2)是函数不是函数x0,1取不到1,2y0,3超出了N0,2范围任取一个x值，y有2个对应，不符合题意关键是否符合函数定义类型二求函数的定义域例2(1)函数f(x)的定义域是()A1,1)B1,1)(1，)C1，) D(1，)(2)求下列函数的定义域y；y.【解析】(1)由解得x1，且x1.(2)要使函数有意义，需满足即得x2且x3.所以所求函数的定义域为(2,3)(3，)要使函数有意义，需满足即所以x0且x1，所以所求函数的定义域为(0,1)(1，)【答案】(1)B(2)见解析(1)依据分式的分
8、母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解析
9、：(1)要使函数有意义，只需x23x20，即x1且x2，故函数的定义域为x|x1且x2(2)因为00无意义，所以x10，所以x1.又|x|x0，所以x0.所以定义域为(，1)(1,0)(3)要使函数有意义，则解得x2，且x0.故定义域为(0,2)(1)分母不为0(2)(3)类型三函数相等的判断例3试判断下列函数是否为同一函数(1)f(x)，g(x)x1；(2)f(x)，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x).【解析】序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)，g(x)(3)不同
10、定义域相同，对应关系不同(4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可方法归纳判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤(2)两个注意点：在化简解析式时，必须是等价变形；与用哪个字母表示无关跟踪训练3下列各组函数表示相等函数的是()Af(x)x2，g(x) Bf(x)，g(x)1Cf(x)x22x1，g(t)t22t1 Df(x)，g(x)解析：选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x2，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义
11、域为x|x0，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的答案：C1.看定义域2看对应关系类型四求函数的值域例4求下列函数的值域(1)y34x，x(1,3; (2)y；(3)yx24x5，x1,2,3; (4)yx24x5.【解析】(1)因为1x3，所以124x4，所以934x7，所以函数y34x，x(1,3的值域是9,7)(2)因为y22，所以函数y的值域为y|yR且y2(3)函数的定义域为1,2,3，当x1时，y124152，当x2时，y2242
12、51，当x3时，y324352，所以这个函数的值域为1,2，(4)因为yx24x5(x2)21，xR时，(x2)211，所以这个函数的值域为1，).(1)用不等式的性质先由x(1,3求4x的取值范围，再求34x的取值范围即为所求(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域(3)将自变量x1,2,3代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)
13、axb(其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域跟踪训练4求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5; (2)y1；(3)y； (4)yx22x3(5x2)解析：(1)将x1,2,3,4,5分别代入y2x1，计算得函数的值域为3,5,7,9,11(2)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(3)因为y1，所以函数的定义域为R，因为x211，所以00，对应关系f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”是集合M到集合N上的函数的有()A1个B2个C3个 D0个解析：M中有的
14、元素在N中无对应元素如M中的元素0；M中的元素不是实数，即M不是数集；只有满足函数的定义，故选A.答案：A2函数f(x)的定义域是()A.B.C.D.解析：由题意得解得3x且x，故选B.答案：B3已知函数f(x)1，则f(2)的值为()A2 B1C0 D不确定解析：因为函数f(x)1，所以不论x取何值其函数值都等于1，故f(2)1.故选B.答案：B4下列各组函数中，表示同一函数的是()Ayx1和yBy和y()2Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x)解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同答案：D5函数f(x)(xR)的值域是()A0,1 B0,1)C(0,
15、1 D(0,1)解析：因为x20，所以x211，所以01，所以值域为(0,1，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6用区间表示下列数集(1)x|x2_；(2)x|31且x2_.解析：由区间表示法知：(1)2，)；(2)(3,4；(3)(1,2)(2，)答案：(1)2，)(2)(3,4(3)(1,2)(2，)7函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为_，值域为_解析：由f(x)的图象可知 5x5，2y3.答案：5,52,38若Ax|y，By|yx21，则AB_.解析：由Ax|y，By|yx21，得A1，)，B1，)，AB1，)答案：1，)三、解答题(每小题10分，共20分)
16、9(1)求下列函数的定义域：y；y；y；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域解析：(1)4x0，即x4，故函数的定义域为x|x4分母|x|x0, 即|x|x，所以x0.故函数的定义域为x|x0解不等式组得故函数的定义域是x|1x5，且x3(2)设矩形一边长为x，则另一边长为(a2x)，所以yx(a2x)x2ax，函数的定义域为0x，定义域为.10求下列各函数的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6；(2)yx24x6；(3)yx.解析：(1)因为当x分别取2,3,4,5,6时，yx1分别取3,4,5,6,7，所以函数的值域为3,4,5,6,7(
17、2)函数的定义域为R.因为yx24x6(x2)222，所以该函数的值域为2，)(3)设t，则x，且t0.问题转化为求yt(t0)的值域因为yt(t1)2(t0)，所以y的取值范围为.故该函数的值域为.能力提升(20分钟，40分)11下表表示y是x的函数，则函数的值域是()xx3y101A.y|1y1 BRCy|2y3 D1,0,1解析：函数值只有1,0,1三个数值，故值域为1,0,1答案：D12设函数f(x)，若f(a)2，则实数a_.解析：因为f(x)，所以f(a)2，所以a1.答案：113(1)已知函数f(x)的定义域为1,5，求函数f(x5)的定义域；(2)已知函数f(x1)的定义域是0,3，求函数f(x)的定义域解析：(1)由1x55，得4x10，所以函数f(x5)的定义域是4,10(2)由0x3，得1x12，所以函数f(x)的定义域是1,214已知f(x)(x1)，g(x)x22.(1)求f(2)和g(2)；(2)求g(f(2)，f(g(x)；(3)若4，求x.解析：(1)f(2)，g(2)2226.(2)g(f(2)g22，f(g(x).(3)x234，即x21，解得x1.