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1、1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念bb2.奇函数、偶函数的性质cc知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称2学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系3学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(
2、x)，那么函数f(x)就叫做奇函数3奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称()(2)奇函数的图象关于y轴对称()(3)函数f(x)x2，x1,2是偶函数()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()答案：(1)(2)(3
3、)(4)2下列函数为奇函数的是()Ay|x| By3x Cy Dyx214解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数答案：C3若函数yf(x)，x2，a是偶函数，则a的值为()A2 B2 C0 D不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以a2.答案：B4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)；(3)f(x)； (4)f(x)【解析】(
4、1)函数的定义域为R，关于原点对称又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数f(x)是奇函数(2)由得x21，即x1.因此函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称f(x)即f(x)于是有f(x)f(x)所以f(x)为奇函数满足f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于
5、y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择、填空题中跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22); (2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x)； (4)f(x)解析：(1)xR，xR.又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，xR.又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,0)(0,1即有1x1且x0，则1x1，且x0，又f(x)f(x)，f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x
6、)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数根据函数奇偶性定义判断类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是_【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域5,5上的图象如图，由图可知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5【答案】x|2x0或2x5根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)0的解集方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征
7、求解问题跟踪训练2如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图由图象可知f(1)f(3)方法二由图象可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，所以f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)f(1)，f(3)f(3)，观察图象判断大小类型三利用函数奇偶性求参数例3(1)设函数f(x)为奇函数，则a_；(2)已知函数f(x)是奇函数，则a_.【解析】(1)方法一(定义法)由已知f(x)f(x)，即.显然x0得，x2
8、(a1)xax2(a1)xa，故a10，得a1.方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即，整理得a1.(2)(特值法)由f(x)为奇函数，得f(1)f(1)，即a(1)2(1)(121)，整理得a10，解得a1.【答案】(1)1(2)1利用定义法求a，也可利用特值法f(1)f(1)方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数跟踪训练3(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定
9、义域为a2,2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a22a0，解得a.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0，解得b0.(2)由f(x)为奇函数得f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，所以a(x)22(x)ax22x0.即2ax20，所以a0.答案：(1)0(2)0(1)函数具有函偶性，定义域必须关于(0,0)对称(2)f(0)0？类型四函数的奇偶性和单调性的综合应用例4已知奇函数yf(x)，x(1,1)，在(1,1)上是减函数，解不等式f(1x)f(13x)0.【解析】yf(x)，x(
10、1,1)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(13x)0可化为f(1x)f(13x)，即f(1x)f(3x1)又yf(x)在(1,1)上是减函数，f(1x)f(3x1)0x.即不等式x解集为.(1)由奇函数得f(x)f(x)(2)函数单调递减，若f(x1)x2.(3)定义域易忽略方法归纳1函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相同的单调性(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在b，a上也为单调函数，且具有相反的单调性2利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结
11、合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练4(1)已知函数yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围；(2)定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解析：(1)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又
12、f(x)在1,1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0,1)(2)函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象解析：(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0；当x0，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，综上，f(x)(2)图象如图：能力提升(20分钟，40分)11定义两种运算：ab，ab，则函数f(x)为()A奇函数B偶函数C奇函数且为偶函数D非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x
13、)，由4x20且|x2|20，得2x0或0x2，即函数f(x)的定义域为x|2x0或0f(m1)，则m的取值范围为_解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，则f(|x|)f(x)，不等式f(m1)f(m1)可化为f(|m1|)f(|m1|)，又f(x)在(0,2上为增函数，解得1m0.答案：1,0)13已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解析：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增综合f(x)的图象知所以1a3.故实数a的取值范围是(1,314已知定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.解析：(1)因为f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，则f(0)0，得b0.又因为f，则a1，所以f(x).(2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0得f(t1)f(2t)f(2t)所以有解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.