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1、2.3幂函数课标要点课标要点学考要求高考要求1.幂函数的概念aa2.幂函数的图象bb3.幂函数的性质bb知识导图学法指导1.能正确区分幂函数与指数函数2学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质3会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.知识点一幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量知识点二幂函数的图象与性质函数yxyx2yx3yxy定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(，0)上递减，在(0，)上递增在R上递增在(0，)上递增在(
2、，0)和(0，)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0 , )上，当0时，yx是增函数；当1)其中幂函数的个数为()A1B2C3D4(2)若函数y(m22m2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A1 B3 C1 D3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)_.【解析】(1)为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数(2)因为函数y(m22m2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m1.(3)设f(x)x，所以3，2，所以f(4)42.【答案】(1)B(2)A(3)(1)依据幂函数的定义逐个判断(2)依
3、据幂函数的定义列方程求m .(3)先设f(x) x，再将点(3 ，)代入求 .方法归纳(1)幂函数的判断方法幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如yx(R)的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断(2)求幂函数解析式的依据及常用方法依据若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为f(x)x，根据条件求出.,跟踪训练1(1)给出下列函数：y；y3x2；yx4x2；y；y(x1)2；y0.3x.其中是
4、幂函数的有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断在所给出的六个函数中，只有yx3和yx符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数(2)根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合要求故f(x)x3.答案：(1)B(2)f(x)x3(1)利用幂函数定义判断(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证类型二幂函数的图象及应用例2(1)在同一坐标系中，函数f(x)xa(
5、x0)，g(x)logax的图象可能是()(2)幂函数yxm，yxn，yxp，yxq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“0)中a1，g(x)logax中0a0)中0a1，不符合题意；对D，f(x)xa(x0)中0a1，g(x)logax中0a0，不过原点的0，所以n1时，在直线yx上方的1，下方的1,0m1,0q1时，指数越大，图象越高，所以mq，综上所述nqmp.【答案】(1)D(2)nqmp(1)分0a1两种情况讨论 , 同时应注意幂函数的图象必过点(1,1)(2)依据0,01的幂函数图象的特征判断方法归纳根据幂函数的图象比较指数的大小，可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断，也可
6、利用特征，如令x2，作出直线x2与各图象的交点，由指数函数y2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系跟踪训练2当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限解析：幂函数yx1，yx，yx3的图象经过第一、三象限；yx的图象经过第一象限；yx2的图象经过第一、二象限所以幂函数yx的图象不可能经过第四象限答案：四,要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点类型三利用幂函数的性质比较大小例3(1)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca(2)比较下列各组数中两个数的大小与3与3.1与.【解析】(1)因为yx (x0)为增函数，所以ac.因为yx(xR)为减函
7、数，所以cb.所以acb.(2)函数yx在(0，)上单调递增，又，所以.yx在(0，)上为减函数，又33.1.因为函数y1x为减函数，又，所以.又因为函数y2x在(0，)上是增函数，且，所以，所以.【答案】(1)A(2)见解析(1)用函数yx的单调性判断a与c的大小，用函数y()x的单调性，判断c与b的大小(2)在解决与幂函数有关的比较大小的问题时，可借助幂函数、指数函数的单调性或取中间量进行比较方法归纳比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂
8、函数与指数函数的图象跟踪训练3比较下列各题中两个幂值的大小(1)3.11.3与2.91.3；(2)与；(3)与.解析：(1)函数yx1.3在(0，)上为增函数，又因为3.12.9，所以3.11.32.91.3.(2)方法一函数yx在(0，)上为减函数，又因为.方法二4，3.而函数yx在(0，)上单调递增，且43，所以43，即.(3)因为01；所以.(1)利用函数yx1.3的单调性来判断(2)利用函数yx的单调性来判断(3)找中间量判断.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列结论正确的是()A幂函数图象一定过原点B当1时，幂函数yx是增函数D函数yx2既是二次函数，
9、也是幂函数解析：函数yx1的图象不过原点，故A不正确；yx1在(，0)及(0，)上是减函数，故B不正确；函数yx2在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，故C不正确答案：D2幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)()A8 B6C4 D2解析：设幂函数f(x)x(为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得3，则幂函数f(x)x，f(8)84.答案：C3设，则使函数yx的定义域为R且函数yx为奇函数的所有的值为()A1,3 B1,1C1,3 D1,1,3解析：yx，yx2，yx3，yx，yx1是常见的五个幂函数，显然yx为奇函数时，1,1,3，又函数的定义域为R，所以1，故1,3.答案：C
10、4在下列四个图形中，yx的图象大致是()解析：函数yx的定义域为(0，)，是减函数故选D.答案：D5已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab解析：因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6已知幂函数f(x)x (mZ)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是_解析：函数的图象与x轴，y轴都无交点，m210，解得1m2.5，则的取值范围是_解析：02.42.5，yx在(0，)上为减函数，故0.答案：(，0)8已知幂函数f(x)x的部分对应
11、值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是_解析：由表中数据知，f(x)x，|x|2，即|x|4，故4x4.答案：x|4x4三、解答题(每小题10分，共20分)9已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数解析：(1)f(x)是幂函数，故m2m11，即m2m20，解得m2或m1.(2)若f(x)是正比例函数，则5m31，解得m.此时m2m10，故m.(3)若f(x)是反比例函数，则5m31，则m，此时m2m10， 故m.(4)若f(x)是二次函数，则5m32，即m1，此时m2m10，故m1.10
12、比较下列各题中两个值的大小；(1)2.3，2.4；(2)()，()；(3)(0.31)，0.35.解析：(1)yx为0，)上的增函数，且2.32.4，2.32.4.(2)yx为(0，)上的减函数，且().(3)yx为R上的偶函数，(0.31) 0.31.又函数yx为0，)上的增函数，且0.310.35，0.310.35，即(0.31) 0.35.能力提升(20分钟，40分)11已知函数yxa，yxb，yxc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()Acba BabcCbca Dcab解析：由幂函数的图象特征知，c0，b0.由幂函数的性质知，当x1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则ab.综上所述，可知cb，.(2)yx在(0，)上为减函数，又33.1.(3)函数yx是偶函数yx在(0，)为减函数.(4)函数取中间值0.20.4，函数y0.2x在(0，)上为减函数，所以0.20.60.20.4；又函数yx0.4在(0，)为增函数，所以0.20.40.30.4.0.20.6f(a1)的实数a的取值范围解析：幂函数f(x)经过点(2，)，2，即22.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数由f(2a)f(a1)，得解得1a.a的取值范围为.