《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 模块复习3 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 模块复习3 .docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第3课时圆锥曲线的方程、性质课后训练案巩固提升A组1.若椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()A.(13,0)B.(0,10)C.(0,13)D.(0,69)解析:由题意知椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=a2-b2=69,故焦点坐标为(0,69).答案:D2.若点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,即点P到直线x=-2的距离与到点(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线.答案:D
2、3.若双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=bax,点(3,-4)在渐近线上,ba=43,又a2+b2=c2,c2=a2+169a2=259a2,e=ca=53.答案:D4.双曲线x2m-y2n=1(mn0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为()A.316B.38C.163D.83解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),故双曲线x2m-y2n=1中,m0,n0且m+n=c2=1,又e=cm=m+nm=2,联立方程,解得m=14,n=34.故m
3、n=316.答案:A5.已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=32,则椭圆的方程是()A.x24+y23=1B.x216+y23=1C.x216+y212=1D.x216+y24=1解析:由椭圆的定义知|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=16,a=4.又e=ca=32,c=23,b2=42-(23)2=4,椭圆的方程为x216+y24=1.答案:D6.设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为.解析:因为线段PF1的中点在y轴上,
4、所以PF2与x轴垂直,且点P的坐标为2,53,所以|PF2|=53,则|PF1|=2a-|PF2|=133,|PF2|PF1|=513.答案:5137.如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上,则抛物线E的方程为.解析:依题意知,|OB|=83,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin 30=43,y=|OB|cos 30=12.因为点B(43,12)在抛物线E:x2=2py(p0)上,所以(43)2=2p12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.答案:x2=4y8.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的
5、一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为.解析:不妨设焦点F(c,0),虚轴的端点B(0,b),则kFB=-bc.又渐近线的斜率为ba,所以由直线垂直得-bcba=-1斜率为-ba的直线显然不符合,即b2=ac.又c2-a2=b2,故c2-a2=ac,两边同除以a2,得方程e2-e-1=0,解得e=5+12(负值舍去).答案:5+129.已知双曲线E与双曲线x216-y29=1共渐近线,且过点A(23,-3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴,虚轴为实轴,试求双曲线M的标准方程.解由题意,设双曲线E的方程为x216-y29=t(t0).点A(23,-3)在双曲线E上,(23)216-(-3)29
6、=t,t=-14,双曲线E的标准方程为y294-x24=1.又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线,则双曲线M的标准方程为x24-y294=1.10.导学号90074100已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得离心率e=ca=32
7、.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-
8、2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为x212+y23=1.B组1.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2解析:设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图所示,|AB|=|BM|=2a,MBA=120,过点M作MHx轴于点H,则MBH=60,|BH|=a,|MH|=3a,所以M(2a,3a).将点M的坐标代入双曲线方程x2a2-y2b2=1,得a=b,所以e=2.答案:D2.已知双曲线与椭圆x216+y264=1有共同的焦点,且双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,
9、则双曲线的方程为()A.x2-y2=50B.x2-y2=24C.x2-y2=-50D.x2-y2=-24解析:因为双曲线与椭圆x216+y264=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,且焦点坐标为(0,-43),(0,43).又双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,所以可设双曲线方程为y2-x2=(0),则2=48,=24,故所求双曲线的方程为y2-x2=24,即x2-y2=-24.答案:D3.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析:设圆锥曲线的离心率为e
10、,由|PF1|F1F2|PF2|=432,知若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=|F1F2|PF1|+|PF2|=34+2=12;若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=|F1F2|PF1|-|PF2|=34-2=32.综上,所求的离心率为12或32.故选A.答案:A4.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.5B.4C.1155D.115解析:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x+2y+10=0的垂线,则此时d1+d2取得最小值.由y2=4x知F(1,0),则(d1+d
11、2)min=|1+10|12+22=1155.故选C.答案:C5.设F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,若直线x=a2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.0,33C.22,1D.33,1解析:由垂直平分线的性质知|F1F2|=|PF2|,设直线x=a2c与x轴的交点为M,则|PF2|F2M|,即|F1F2|F2M|,则2ca2c-c,即3c2a2,所以e2=c2a213,又0e1,所以33e1.答案:D6.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=.解析:结合题意和抛物
12、线的定义得点D为抛物线的焦点,|AD|=p=a.设Dp2,0,则Fp2+b,b,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2pp2+b=a2+2ab,变形得ba2-2ba-1=0,解得ba=1+2或ba=1-2.又ab,所以ba=1+2.答案:1+27.椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析:由题意可知,直线y=3(x+c)过点F1(-c,0),且倾斜角为60,所以MF1F2=60,从而MF2F1=30,所以MF1MF2.在RtMF1F2中,|MF1|=c,|MF
13、2|=3c,所以该椭圆的离心率e=2c2a=2cc+3c=3-1.答案:3-18.导学号90074101已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使sinPF1F2sinPF2F1=ac,则该双曲线的离心率的取值范围是.解析:在PF1F2中,由正弦定理可得|PF2|sinPF1F2=|PF1|sinPF2F1,所以e=ca=sinPF2F1sinPF1F2=|PF1|PF2|,即|PF1|=ca|PF2|,则点P在双曲线的右支上,且点P不在直线F1F2上,画出草图如图所示.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,则
14、ca|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=2a2c-a.又由双曲线的性质知|PF2|c-a,则2a2c-ac-a,即c2-2ac-a20,所以e2-2e-10,解得-2+1e0,x=32,则y=532.点P的坐标是32,532.(2)直线AP的方程是x-3y+6=0.设M(m,0),则点M到直线AP的距离是|m+6|2.于是|m+6|2=|m-6|,又-6m6,解得m=2.又椭圆上的点(x,y)到点M(2,0)的距离为d,则d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49x-922+15.又-6x6,当x=92时,d取得最小值15.10.过抛物线y2=2px(p0)上一点P
15、(x0,y0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离;(2)当PA,PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2y0的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解(1)当y=p2时,x=p8,抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2.由定义知所求距离为p8-p2=58p.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则易知kPA=-kPB.由y12=2px1,y02=2px0,得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),kPA=y1-y0x1-x0=2py1+y0(x1x0),同理kPB=2py2+y0.2py1+y0=-2py2+y0.y1+y2=-2y0,y1+y2y0=-2.设直线AB的斜率为kAB.y22=2px2,y12=2px1,(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2=-py0为常数,即AB的斜率是非零常数.