《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 .docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.2抛物线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知抛物线y2=ax(a0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)解析:准线为x=-a4=-1,a=4,即y2=4x.焦点坐标为(1,0).答案:A2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.6B.4C.3D.2解析:由FA+FB+FC=0,知F为ABC的重心,由抛物线方程知,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x1+x2+x3=3.又|FA|+|FB|+|FC|=x1
2、+x2+x3+32p=3+3=6.答案:A3.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.7B.5C.8D.10解析:焦点为F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=23=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.答案:D4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|等于()A.43B.8C.83D.16解析:直线AF的方程为y=-3(x-2),联立y=-3x+23,x=-2,得y=43,所以点P
3、的坐标为(6,43).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.答案:B5.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则A1FB1为()A.45B.60C.90D.120解析:设抛物线的方程为y2=2px(p0).如图,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,AA1F=AFA1,BFB1=FB1B.又AA1OxB1B,A1FO=FA1A,B1FO=FB1B.A1FB1=12AFB=90.答案:C6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;
4、由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是(要求填写适合条件的序号).解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,适合.又抛物线的焦点坐标为F52,0,原点O(0,0),设点P(2,1),可得kPOkPF=-1,也适合.而显然不适合,通过计算可知不合题意.应填序号为.答案:7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=23x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是.解析:有两个顶点关于x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是6和56.可设三角形的边长为a,x轴上方的顶点为x0,33x0,代入抛物线方程,得x0=63.由32a=63
5、,得边长a=12.答案:128.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是.解析:点(x,y)在抛物线y2=4x上,x0.z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,当x=0时,z最小,其最小值为3.答案:39.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解将l和C的方程联立,得y=kx+1,y2=4x.消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=14,y=1.直线l与C只有一个公共点14,1,此时直线l平行于x轴.(2
6、)当k0时,方程(*)是一个一元二次方程.当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;当1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k1时,直线l与C没有公共点.10.导学号90074069已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.(1)求证:点F在直线BD上;(2)设FAFB=89,求直线l的方程.解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).由题
7、意,得l的方程为x=my-1(m0).(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,并整理,得y2-4my+4=0.从而y1+y2=4m,y1y2=4.直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得x=y1y24=1.所以点F(1,0)在直线BD上.(2)由知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,故8-4m2=89,解得m
8、=43.所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.B组1.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,Ap2,p,Bp2,-p,y1y2x1x2=-p2p24=-4.(方法二)当直线斜率不存在时,直线方程为x=p2.由x=p2,y2=2px得交点坐标p2,p.x1x2=p24,y1y2=-p2,y1y2x1x2=-p2p24=-4.当直线斜率存在时,直线方程为y=kx-p2.由y=kx-p2,y2=2px得y2-2pky-p2=0.y1
9、y2=-p2,x1x2=y122py222p=p24,则y1y2x1x2=y1y2y122py222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.答案:B2.导学号90074070如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.解析:过点A,B向准线x=-p2作垂线,垂足分别为C,D,过B点向AC作垂线,垂足为E.A,B两点在抛物线y2=2px上,|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.BEAC,|AE|=|AF|-|BF|.直线AB的倾斜角为60,在RtABE中,2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|,即2(|AF|-|B
10、F|)=|AF|+|BF|,|AF|=3|BF|.|AF|=3,|BF|=1,|AB|=|AF|+|BF|=4.设直线AB方程为y=3x-p2,代入y2=2px,得3x2-5px+3p24=0,x1+x2=5p3,|AB|=x1+x2+p=4.p=32,抛物线方程为y2=3x.答案:y2=3x3.已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=-kx+92对称,求k的取值范围.解(方法一)由题意,知k0,设M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,则MN的方程可设为y=1kx+b,代入y=x2,得x2-1kx-b=0,且=1k2+4b0.又x1+x2=1k,中点x0=12k
11、,y0=12k2+b,(x0,y0)在直线l:y=-kx+92上,12k2+b=-k12k+92,b=4-12k2.代入,得1k2+16-2k20.1k2116,k14或kx1+x222,即412k2,k2116,即k14或k0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值;(2)1|FA|+1|FB|为定值.证明(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2(k0).由y=kx-p2,y2=2px,消去y,整理,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0.由根与系数的关系,得x1x2=p24为定值.当直线的斜率不存在,即ABx轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24也成立.x1x2为定值p24.(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2(x1+x2)+x1x2+p24=x1+x2+pp2(x1+x2)+p22=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p为定值.当直线的斜率不存在,即ABx轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立.1|FA|+1|FB|为定值2p.