《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 .docx（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.2椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A组1.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有解析:e=12,ca=12.a2=b2+c2,b2=34a2.x1+x2=-ba,x1x2=-ca,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+1=740,得m1.又m5,故选C.答案:C3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是等腰
2、直角三角形,则这个椭圆的离心率是()A.32B.22C.2-1D.2解析:由题意得|AF1|=b2a,|AF2|=|BF2|.ABF2是等腰直角三角形,|AF1|=|F1F2|,即b2a=2c.b2=a2-c2=2ac.整理得e2+2e-1=0,e=2-1.答案:C4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.x24+y23=1B.x24+y2=1C.y24+x23=1D.x2+y24=1解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=22-12=3,故所求椭圆的标准方程是x24+y23=1.答案:A5.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中
3、心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),则OPFP=(x0,y0)(x0+1,y0)=x02+x0+y02.P为椭圆上一点,x024+y023=1.OPFP=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2.-2x02,OPFP的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.解析:由已知,得a=2b,c=23,又a2-b2=c2,故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,故椭圆
4、方程为x216+y24=1.答案:x216+y24=17.导学号90074059已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asinPF1F2=csinPF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图所示,e=ca=sinPF2F1sinPF1F2=|PF1|PF2|=2a-|PF2|PF2|=2a|PF2|-1.|PF2|2aa+c-1,即e21+e-1,e2+2e-10.又0e1,2-1eb0).由已知a=2b,且椭圆过点(2,-6),从而有22a2+(-6)2b2=1或(-6)2a2+22b2=1.由,得a2=148,
5、b2=37,或a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为x2148+y237=1或y252+x213=1.(2)如图所示,A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,c=b=3.a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为x218+y29=1.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为b7,求椭圆的离心率.解(方法一)由题意,直线AB的方程为x-a+yb=1,即bx-ay+ab=0.焦点F1到直线AB的距离d=|-bc+ab|a2+b2,|-bc+
6、ab|a2+b2=b7.两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,解得e=12或e=54(舍去).(方法二)在AF1B中,由面积公式可得a2+b2b7=(a-c)b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B组1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A.6,10B.6,8C.8,10D.16,20解析:不妨设焦点在x轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|a=10,|y0|b=8,点M到椭圆中心的距离d=x02+
7、y02.又因为x02100+y0264=1,所以y02=641-x02100=64-1625x02,则d=x02+64-1625x02=925x02+64.因为0x02100,所以64925x02+64100,所以8d10.故选C.答案:C2.已知c是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距,则b+ca的取值范围是()A.(1,+)B.(2,+)C.(1,2)D.(1,2解析:如图,在AFO中,令AFO=,其中为锐角,则b+ca=sin +cos =2sin+4(1,2.答案:D3.如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,
8、P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.又|P4F|=a,|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.答案:354.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-12,求直线AB的方程.解依题意,直线AB的斜率存
9、在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)0,x1+x2=-6k23k2+1.由线段AB中点的横坐标是-12,得x1+x22=-3k23k2+1=-12,解得k=33,适合.所以直线AB的方程为x-3y+1=0或x+3y+1=0.5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=42,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设MF1F2=(0180),问取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?解(方法一)如图
10、,建立平面直角坐标系,则a=3,c=22,b=1,椭圆方程为x29+y2=1.当直线MN斜率不存在时,得|MN|=23,不合题意.故可设过F1的直线方程为y=k(x+22).y=k(x+22),x29+y2=1.代入,整理可得(1+9k2)x2+362k2x+72k2-9=0,x1+x2=-362k21+9k2,x1x2=72k2-91+9k2.代入|MN|=(x1+x2)2-4x1x2(1+k2),可得|MN|=6(k2+1)1+9k2.6(k2+1)1+9k2=2,k=33,即tan =33,=6或=56.(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=22,b=1.令|F1M
11、|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=42,在MF1F2中利用余弦定理得x=13-22cos,若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=42,在NF1F2中利用余弦定理得y=13+22cos,|MN|=x+y=13+22cos+13-22cos=69-8cos2,69-8cos2=2,cos =32,=6或=56.6.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,
12、以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为x2502+y2302=1.设顶点A的坐标为(x0,y0),x00,y00,则x02502+y02302=1,得y02=302502(502-x02)=352(502-x02).根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.由于x02y02=x02302502(502-x02)=352-x02-50222+5044.当x02=5022时,x02y02取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=252,y0=152,矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(252+152)=1602(m).因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距252 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为1602 m.